Estudi està tic d’un carretó
Enunciat
Un carretó està recolzat al terra mitjançant una roda al punt A.
S’aplica una força F al mà nec en el punt B, inclinada
30° cap avall.
Se sap que el moment produït per la força F respecte del punt
A és:
$$
M_A = 200\;\text{N·m}
$$
M_A = 200\;\text{N·m}
$$
El pes total del carretó i la cà rrega actua en el centre de masses G.
Es demana:
- La força F (mòdul i angle).
- La massa total situada a G.
- La força de reacció en A (mòdul i angle).
Dades geomètriques (segons el dibuix)
- Distà ncia horitzontal A → G: $0.3\ \text{m}$
- Distà ncia horitzontal G → B: $1.2\ \text{m}$
- Distà ncia horitzontal A → B: $1.5\ \text{m}$
- Angle de la força aplicada: $30^\circ$
- Acceleració de la gravetat: $g = 9.81\ \text{m/s}^2$
1. Cà lcul de la força F
Només el component vertical de F produeix moment respecte A,
ja que el braç és horitzontal.
$$
F_y = F \sin 30^\circ
$$
F_y = F \sin 30^\circ
$$
Equació de moments respecte A:
$$
M_A = F_y \cdot x_B
$$
M_A = F_y \cdot x_B
$$
$$
200 = (F \sin 30^\circ)\cdot 1.5
$$
200 = (F \sin 30^\circ)\cdot 1.5
$$
$$
200 = 0.5F \cdot 1.5
$$
200 = 0.5F \cdot 1.5
$$
$$
\boxed{F = 267\;\text{N}}
$$
\boxed{F = 267\;\text{N}}
$$
Angle de la força:
$$
\boxed{\theta_F = -30^\circ}
$$
\boxed{\theta_F = -30^\circ}
$$
2. Massa total en el punt G
Equilibri de moments respecte A (pes contra moment aplicat):
$$
W \cdot 0.3 = 200
$$
W \cdot 0.3 = 200
$$
$$
\boxed{W = 667\;\text{N}}
$$
\boxed{W = 667\;\text{N}}
$$
Massa total:
$$
m = \frac{W}{g} = \frac{667}{9.81}
$$
m = \frac{W}{g} = \frac{667}{9.81}
$$
$$
\boxed{m = 68.0\;\text{kg}}
$$
\boxed{m = 68.0\;\text{kg}}
$$
3. Força de reacció en A
Components de la força F
$$
F_x = F\cos30^\circ = 267\cdot0.866 = 231\;\text{N}
$$
F_x = F\cos30^\circ = 267\cdot0.866 = 231\;\text{N}
$$
$$
F_y = F\sin30^\circ = 267\cdot0.5 = 133.5\;\text{N}\quad(\text{cap avall})
$$
F_y = F\sin30^\circ = 267\cdot0.5 = 133.5\;\text{N}\quad(\text{cap avall})
$$
Equilibri de forces
Horitzontal:
$$
A_x – F_x = 0
$$
A_x – F_x = 0
$$
$$
\boxed{A_x = 231\;\text{N}}
$$
\boxed{A_x = 231\;\text{N}}
$$
Vertical:
$$
A_y – W – F_y = 0
$$
A_y – W – F_y = 0
$$
$$
A_y = 667 + 133.5 = 800.5\;\text{N}
$$
A_y = 667 + 133.5 = 800.5\;\text{N}
$$
Mòdul de la reacció
$$
|\vec A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}
$$
|\vec A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}
$$
$$
|\vec A| = \sqrt{231^2 + 800.5^2}
$$
|\vec A| = \sqrt{231^2 + 800.5^2}
$$
$$
\boxed{|\vec A| = 833\;\text{N}}
$$
\boxed{|\vec A| = 833\;\text{N}}
$$
Angle de la reacció
$$
\theta_A = \tan^{-1}\left(\frac{A_y}{A_x}\right)
$$
\theta_A = \tan^{-1}\left(\frac{A_y}{A_x}\right)
$$
$$
\boxed{\theta_A = 74.0^\circ}
$$
\boxed{\theta_A = 74.0^\circ}
$$
Resultats finals
- Força aplicada: $F = 267\;\text{N}$ a $-30^\circ$
- Massa total: $m = 68.0\;\text{kg}$
- Reacció en A: $833\;\text{N}$ a $74.0^\circ$