Diagrama de Cos Lliure del Bolquet
ENUNCIAT
Dibuixa el diagrama de cos lliure (DCL) del bolquet D del camió, que té un pes de \( 22.24 \, \text{kN} \) i un centre de gravetat a G. Està suportat per un pivot a A i un cilindre hidràulic connectat per pivot BC (enllaç curt). Explica la significació de cada força en el diagrama.
Dades del problema:
- Pes del bolquet (W): \( W = 22.24 \, \text{kN} \approx 5000 \, \text{lb} \)
- Centre de gravetat: Punt G
- Suports: Pivot a A i cilindre hidràulic BC
- Tipus d’enllaç BC: Enllaç curt (membre de dues forces)
- Angles (de la figura):
- Inclinació del bolquet: \( 20^\circ \) respecte a l’horitzontal
- Direcció del cilindre BC: \( 30^\circ \) respecte a l’horitzontal
- Unitats: Sistema Internacional (SI) – forces en kN (kilonewtons), longituds en metres
RESOLUCIÓ
PAS 1: Entendre el sistema i aïllar el cos
El bolquet D és la part del camió que s’aixeca per descarregar material. Per realitzar l’anàlisi estàtica, el primer pas és aïllar el bolquet de la resta del sistema. Això significa eliminar totes les connexions externes i substituir-les per les forces de reacció corresponents.
Característiques del sistema:
- El bolquet està inclinat \( 20^\circ \) respecte a l’horitzontal
- El pivot o punt de gir A permet la rotació però impedeix la translació
- El cilindre hidràulic BC és un “enllaç curt” o “membre de dues forces”
- El centre de gravetat G és el punt d’aplicació del pes propi
PAS 2: Identificar totes les forces externes
Sobre el bolquet aïllat actuen les següents forces externes:
1. Pes propi (\( W \))
Magnitud: \( W = 22.24 \, \text{kN} \)
Direcció: Vertical cap avall
Punt d’aplicació: Centre de gravetat G
Naturalesa: Força gravitatòria
2. Reacció horitzontal al pivot A (\( A_x \))
Magnitud: Desconeguda (a determinar)
Direcció: Horitzontal
Punt d’aplicació: Pivot A
Naturalesa: Força de reacció del pivot
3. Reacció vertical al pivot A (\( A_y \))
Magnitud: Desconeguda (a determinar)
Direcció: Vertical
Punt d’aplicació: Pivot A
Naturalesa: Força de reacció del pivot
4. Força del cilindre hidràulic (\( F_{BC} \))
Magnitud: Desconeguda (a determinar)
Direcció: Al llarg de l’eix BC (\( 30^\circ \) respecte horitzontal)
Punt d’aplicació: Connexió B del cilindre
Naturalesa: Força axial (tensió o compressió)
PAS 3: Dibuixar el Diagrama de Cos Lliure (descripció detallada)
Instruccions per dibuixar el DCL:
- Dibuixeu el contorn del bolquet simplificat, inclinat \( 20^\circ \)
- Marqueu els punts característics:
- A: Pivot inferior esquerra
- B: Connexió del cilindre hidràulic
- G: Centre de gravetat
- Apliqueu les forces externes com a fletxes:
- A G: Fletxa vertical cap avall (\( W = 22.24 \, \text{kN} \))
- A A: Dues fletxes perpendiculars (\( A_x \) horitzontal i \( A_y \) vertical)
- A B: Fletxa al llarg de BC a \( 30^\circ \) (\( F_{BC} \))
- Etiqueteu totes les forces amb la seva notació i magnitud coneguda
- Indiqueu els angles característics (\( 20^\circ \) i \( 30^\circ \))
Observació important: El cilindre hidràulic BC és un membre de dues forces. Això significa que la força \( F_{BC} \) té necessàriament la direcció de la línia que uneix B i C, independentment de la seva magnitud.
PAS 4: Significat físic de cada força
| Força | Significat Físic | Funció en l’equilibri |
|---|---|---|
| \( W = 22.24 \, \text{kN} \) | Representa l’atracció gravitatòria terrestre sobre la massa del bolquet. És la càrrega principal que el sistema ha de suportar. | Proporciona el moment que tendeix a girar el bolquet respecte al pivot A. Ha de ser equilibrat pel moment de \( F_{BC} \). |
| \( A_x \) | Reacció horitzontal del pivot A. Impedeix el desplaçament lateral del bolquet. | Equilibra la component horitzontal de \( F_{BC} \). Sense \( A_x \), el bolquet es desplaçaria horitzontalment. |
| \( A_y \) | Reacció vertical del pivot A. Suporta part del pes del bolquet. | Equilibra la component vertical de \( F_{BC} \) i part del pes \( W \). Evita el moviment vertical del punt A. |
| \( F_{BC} \) | Força del cilindre hidràulic. És l’element actuador que permet aixecar i mantenir el bolquet. | Proporciona el moment necessari per contrarestar el moment del pes respecte a A. Determina la posició d’equilibri. |
PAS 5: Equacions d’equilibri estàtic (en SI)
Per què el bolquet estigui en equilibri estàtic, s’han de complir tres condicions:
1. Equilibri de forces horitzontals:
\[ \sum F_x = 0 \quad \Rightarrow \quad A_x + F_{BC} \cos 30^\circ = 0 \]
2. Equilibri de forces verticals:
\[ \sum F_y = 0 \quad \Rightarrow \quad A_y + F_{BC} \sin 30^\circ – W = 0 \]
on \( W = 22.24 \, \text{kN} \).
3. Equilibri de moments (respecte a A):
\[ \sum M_A = 0 \quad \Rightarrow \quad F_{BC} \cdot d_{BC} – W \cdot d_W \cos 20^\circ = 0 \]
on \( d_{BC} \) i \( d_W \) són les distàncies perpendiculars des d’A a les línies d’acció de \( F_{BC} \) i \( W \), respectivament.
Amb aquestes tres equacions es podrien calcular les tres incògnites: \( A_x \), \( A_y \) i \( F_{BC} \), sempre que es coneguin les dimensions geomètriques en metres.
Consideracions importants (Unitats SI)
1. Membre de dues forces: El fet que BC sigui un “enllaç curt” simplifica l’anàlisi perquè la força \( F_{BC} \) sempre té la direcció de la línia BC, independentment de la càrrega.
2. Pivot A: A l’ésser un pivot, només pot transmetre força però no moment. Per això apareixen \( A_x \) i \( A_y \) però no un parell.
3. Unitats SI: S’utilitzen newtons (N) o kilonewtons (kN) per a forces, i metres (m) per a longituds. En aquest problema, el pes s’ha convertit de lliures a kilonewtons: \( 5000 \, \text{lb} \times 4.448 \, \text{N/lb} = 22240 \, \text{N} = 22.24 \, \text{kN} \).
4. Sentit de les forces: Els sentits mostrats al DCL són supòsits inicials. Si en la resolució numèrica algun valor surt negatiu, vol dir que el sentit real és contrari al suposat.
PAS 6: Verificació del DCL complet
Un bon Diagrama de Cos Lliure ha de complir:
- ✓ Mostrar només el cos aïllat (bolquet D)
- ✓ Incloure totes les forces externes que actuen sobre ell
- ✓ Indicar punts d’aplicació correctes
- ✓ Mostrar direccions conegudes (\( W \) vertical, \( F_{BC} \) a \( 30^\circ \))
- ✓ Etiquetar totes les forces clarament
- ✓ Incloure magnituds conegudes (\( W = 22.24 \, \text{kN} \))
- ✓ Indicar angles rellevants (\( 20^\circ \) i \( 30^\circ \))
- ✓ Utilitzar unitats consistents (SI en aquest cas)
El DCL resultant és l’eina fonamental per a qualsevol anàlisi estàtica posterior, com el càlcul de les forces desconegudes mitjançant les equacions d’equilibri.