Determinació de la Tensió \(T\) i la Reacció en \(A\)

Modelatge

Un home aixeca una bigueta de \(10 \, \text{kg}\) i \(4 \, \text{m}\) de longitud mitjançant una corda. La vigueta està subjecta a tres forces:

• El seu pes \(W\)
• La tensió \(T\) exercida per la corda
• La reacció \(R\) del suport en \(A\)

El pes de la vigueta és:

\[
W = mg = (10)(9.81) = 98.1 \, \text{N}
\]

Anàlisi Geomètrica

Per a l’anàlisi geomètrica, es defineixen les distàncies següents:

\[
AF = BF = (4 \cos 45^\circ) = 2.828 \, \text{m}
\]
\[
CD = EF = AE = \frac{1}{2} AF = 1.414 \, \text{m}
\]
\[
BD = CD \tan(20^\circ) = (1.414)(\tan 20^\circ) = 0.515 \, \text{m}
\]
\[
CE = DF = BF – BD = 2.828 – 0.515 = 2.313 \, \text{m}
\]

Es determina l’angle \(\alpha\):

\[
\tan \alpha = \frac{CE}{AE} = \frac{2.313}{1.414} = 1.636
\]
\[
\alpha = 58.6^\circ
\]

Determinació de les Forces

Utilitzant un triangle de forces:

\[
\frac{T}{\sin 31.4^\circ} = \frac{R}{\sin 110^\circ} = \frac{98.1}{\sin 38.6^\circ}
\]

Resolent per \(T\) i \(R\):

\[
T = \frac{98.1 \sin 31.4^\circ}{\sin 38.6^\circ} = 81.9 \, \text{N}
\]
\[
R = \frac{98.1 \sin 110^\circ}{\sin 38.6^\circ} = 147.8 \, \text{N}
\]

Resultats Finals

Tensió en la corda: \(T = 81.9 \, \text{N}\)

Reacció en A: \(R = 147.8 \, \text{N}\) amb un angle de \(58.6^\circ\)

Conclusió

Aquest problema il·lustra com el mètode del triangle de forces permet trobar les forces en un sistema en equilibri amb només tres forces actuant.