Esforços i Assaigs dels Materials

Secció	Contingut detallat
1. Tipus d’esforços i d’assaigs	Deformació elàstica: el material torna a la forma original després de l’esforç Deformació plàstica: el material queda deformat permanentment 5 tipus d’esforços bàsics: Tracció: tendència a estirar (ex: cable de grua) Compressió: tendència a aixafar (ex: pilar de formigó) Flexió: tendència a doblegar (ex: bigues) Torsió: tendència a girar sobre si mateix (ex: tornavís) Cisallament: forces perpendiculars de sentit contrari (ex: cargol unint planxes) Esforç de fatiga: esforç variable aplicat més de 10⁶ vegades Classificació d’assaigs: destructius i no destructius
1.1. Assaig de tracció i compressió	Assaig de tracció: estirar una proveta fins que es trenca Assaig de compressió: aixafar una proveta Fórmules importants: Esforç unitari: $$\sigma = \frac{F}{A}$$ Allargament unitari: $$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$ Diagrama de tracció: 4 zones (elàstica, fluència, plàstica, trencament) Coeficient de seguretat: $$n = \frac{\sigma_e}{\sigma_t}$$
1.2. Esforç de flexió	Combinació d’esforços de tracció i compressió Distribució dels esforços en una peça sotmesa a flexió: Part superior: compressió Línia neutra: sense esforç Part inferior: tracció
1.3. Esforç tallant	Aplicat perpendicular a la secció Fórmula: $$\tau = \frac{F}{A}$$
1.4. Assaig de duresa	Duresa: resistència a ser ratllat o penetrat Assaig de duresa Brinell: Fórmula: $$HBW = \frac{0,102 \cdot 2F}{\pi D^2} \left(1 – \sqrt{1 – \left(\frac{d}{D}\right)^2}\right)^{-1}$$ Relació amb resistència a tracció en acers: $$\sigma_R \approx 3,55 \cdot HBW$$
1.5. Assaig de tenacitat	Tenacitat: resistència al xoc Assaig de Charpy: Energia perduda: $$E = m \cdot g \cdot (h – h_1)$$ Resiliència: $$K = \frac{E}{A}$$
1.6. Assaigs no destructius	Assaigs magnètics: detecció de defectes per canvis en el camp magnètic Assaigs per raigs X: visualització de defectes interns Assaigs per ultrasons: detecció de defectes per canvis en la propagació d’ones

Problemes Resolts

Problema 1: Duresa Brinell

Una peça d’acer és sotmesa a un assaig de duresa Brinell. S’aplica una força de 3000 N amb una bola de 10 mm de diàmetre. El diàmetre de la marca resultant és de 3,5 mm. Calcula la duresa Brinell de la peça.

$$HBW = \frac{0.102 \cdot 2F}{\pi D^2} \left(1 – \sqrt{1 – \left(\frac{d}{D}\right)^2}\right)^{-1}$$

On:
– \(F = 3000 \, \text{N}\)
– \(D = 10 \, \text{mm}\)
– \(d = 3.5 \, \text{mm}\)

Substituint els valors:

$$HBW = \frac{0.102 \cdot 2 \cdot 3000}{\pi \cdot 10^2} \left(1 – \sqrt{1 – \left(\frac{3.5}{10}\right)^2}\right)^{-1}$$

El resultat és aproximadament:

$$HBW = 312$$

La duresa Brinell és \(312 \, HBW\).

Problema 2: Pèndol de Charpy

En un assaig de Charpy, un pèndol de massa \(22 \, kg\) es deixa caure des d’una altura de \(1.6 \, m\). Després de trencar la proveta, el pèndol puja fins a una altura de \(1.2 \, m\). La secció de la proveta en el punt de l’entalla és \(80 \, mm^2\). Calcula la resiliència del material.

L’energia perduda pel pèndol es calcula com:

$$E = m \cdot g \cdot (h – h_1)$$

Substituint les dades:

$$E = 22 \cdot 9.81 \cdot (1.6 – 1.2)$$

$$E = 86.33 \, J$$

La resiliència es calcula com:

$$K = \frac{E}{A}$$

Substituint:

$$K = \frac{86.33}{80 \cdot 10^{-6}}$$

$$K = 1.079 \cdot 10^6 \, J/m^2$$

La resiliència del material és aproximadament \(1.079 \, J/mm^2\).

Problema 3: Esforços

Un cable d’acer d’un ascensor suporta una càrrega de 1500 kg. El cable té una secció transversal de 10 mm² i una longitud inicial de 5 m. Es vol calcular:

1. L’esforç unitari aplicat al cable.
2. L’allargament unitari en la zona elàstica.
3. L’allargament total del cable en la zona elàstica.
4. Comparació amb altres materials (alumini i coure).
5. Si el cable supera el límit elàstic o es trenca.

Dades

• Massa suspesa (\(m\)): 1500 kg
• Gravetat (\(g\)): 9.81 m/s²
• Secció del cable (\(A\)): 10 mm² = \(10 \cdot 10^{-6} \, m^2\)
• Longitud inicial (\(L_0\)): 5 m
• Mòdul de Young (\(E\)) i límit elàstic (\(\sigma_e\)) dels materials:
  

  Material	Mòdul de Young (\(E\)) [GPa]	Límit elàstic (\(\sigma_e\)) [MPa]	Tensió de trencament (\(\sigma_R\)) [MPa]
  Acer	207	300	425
  Alumini	69	85	110
  Coure	110	68	220

Solució

1. Esforç unitari aplicat al cable (\(\sigma\))

$$F = m \cdot g = 1500 \cdot 9.81 = 14715 \, \text{N}$$

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{14715}{10 \cdot 10^{-6}} = 1.4715 \cdot 10^9 \, \text{Pa} = 1471.5 \, \text{MPa}$$

L’esforç unitari aplicat al cable és \(1471.5 \, MPa\).

2. Allargament unitari en la zona elàstica (\(\varepsilon\))

En la zona elàstica:

$$\varepsilon = \frac{\sigma}{E}$$

Per l’acer:

$$\varepsilon = \frac{1471.5}{207000} = 0.00711$$

L’allargament unitari és \(0.00711\) (sense unitats).

3. Allargament total del cable en la zona elàstica (\(\Delta L\))

$$\Delta L = \varepsilon \cdot L_0$$

$$\Delta L = 0.00711 \cdot 5 = 0.03555 \, m = 35.55 \, mm$$

L’allargament total del cable és \(35.55 \, mm\).

4. Comparació amb altres materials (alumini i coure)

Per l’alumini:

$$\varepsilon_{Al} = \frac{\sigma}{E_{Al}} = \frac{1471.5}{69000} = 0.02133$$

$$\Delta L_{Al} = \varepsilon_{Al} \cdot L_0 = 0.02133 \cdot 5 = 0.10665 \, m = 106.65 \, mm$$

Per al coure:

$$\varepsilon_{Cu} = \frac{\sigma}{E_{Cu}} = \frac{1471.5}{110000} = 0.01338$$

$$\Delta L_{Cu} = \varepsilon_{Cu} \cdot L_0 = 0.01338 \cdot 5 = 0.0669 \, m = 66.9 \, mm$$

Comparant els materials:

– Acer: \(35.55\,mm\)
– Alumini: \(106.65\,mm\)
– Coure: \(66.9\,mm\)

5. Superació del límit elàstic o trencament

El límit elàstic de l’acer és \(300\,MPa\), però l’esforç aplicat és \(1471.5\,MPa > 300\,MPa\). Això significa que el cable supera la zona elàstica i es comportarà plàsticament.

A més, com que l’esforç aplicat també supera la tensió de trencament (\(425\,MPa\)), el cable es trencarà.

Per l’alumini i el coure, també es superen tant els límits elàstics com les tensions de trencament.