Problema 1: Assaig Charpy

Dades:

• Massa de la maça: 25 kg
• Altura inicial: 1,20 m
• Altura final: 50 cm
• Secció de la proveta: 10 mm x 10 mm
• Profunditat de l’entalla: 2 mm

a) Energia emprada en la ruptura

L’energia emprada en la ruptura és la diferència entre l’energia potencial inicial i final de la maça:

$$E = E_i – E_f = mgh_i – mgh_f = mg(h_i – h_f)$$

On \(m\) és la massa, \(g\) és l’acceleració de la gravetat (9,81 m/s²), i \(h\) són les altures.

$$E = 25 \cdot 9,81 \cdot (1,20 – 0,50) = 171,675 \text{ J}$$

b) Esquema de l’assaig i càlcul de la resiliència

Esquema de l’assaig Charpy:

    |
    |   Maça
    |   (25 kg)
    |
    |   ^
    |   |
    |   | 1,20 m
    |   |
    |   v
    |
    |---[Proveta]---
    |
        

La resiliència es calcula dividint l’energia absorbida per l’àrea de la secció transversal de la proveta a l’entalla:

$$R = \frac{E}{A} = \frac{171,675}{(10 – 2) \cdot 10} = 2,146 \text{ J/mm²}$$

Problema 2: Barra sotmesa a tracció

Dades:

• Longitud de la barra: 50 cm
• Límit elàstic: 250 MPa
• Mòdul d’elasticitat: 21 x 10⁴ MPa

a) Diàmetre mínim per a un allargament màxim de 0,50 mm

Utilitzarem la llei de Hooke: \(\sigma = E \cdot \varepsilon\)

On \(\sigma\) és la tensió, \(E\) és el mòdul d’elasticitat i \(\varepsilon\) és la deformació unitària.

Deformació unitària: \(\varepsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{0,50}{500} = 0,001\)

Tensió: \(\sigma = E \cdot \varepsilon = 21 \cdot 10^4 \cdot 0,001 = 210 \text{ MPa}\)

Àrea mínima: \(A = \frac{F}{\sigma} = \frac{12500}{210 \cdot 10^6} = 5,952 \cdot 10^{-5} \text{ m}^2\)

Diàmetre mínim: \(d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 5,952 \cdot 10^{-5}}{\pi}} = 8,71 \text{ mm}\)

b) Deformació plàstica amb càrrega de 25000 N i diàmetre 10 mm

Àrea de la secció: \(A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \cdot 10^2}{4} = 78,54 \text{ mm}^2\)

Tensió: \(\sigma = \frac{F}{A} = \frac{25000}{78,54 \cdot 10^{-6}} = 318,31 \text{ MPa}\)

Com que la tensió (318,31 MPa) és superior al límit elàstic (250 MPa), es produirà deformació plàstica.

Problema 3: Peça d’acer sotmesa a força F

Dades:

• Límit elàstic: 630 MPa
• Coeficient de seguretat: 4
• Mòdul d’elasticitat: 210 GPa

a) Valor màxim de la força a aplicar

Tensió màxima admissible: \(\sigma_{adm} = \frac{\sigma_e}{CS} = \frac{630}{4} = 157,5 \text{ MPa}\)

Àrea de la secció: \(A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \cdot 20^2}{4} = 314,16 \text{ mm}^2\)

Força màxima: \(F_{max} = \sigma_{adm} \cdot A = 157,5 \cdot 314,16 \cdot 10^{-6} = 49,48 \text{ kN}\)

b) Allargament total

Utilitzant la llei de Hooke: \(\varepsilon = \frac{\sigma}{E}\)

Deformació unitària: \(\varepsilon = \frac{157,5 \cdot 10^6}{210 \cdot 10^9} = 7,5 \cdot 10^{-4}\)

Allargament total: \(\Delta L = \varepsilon \cdot L = 7,5 \cdot 10^{-4} \cdot 200 = 0,15 \text{ mm}\)

Problema 4: Assaig Brinell

Dades:

• Diàmetre de la bola: 2,5 mm
• Diàmetre de l’empremta: 1,5 mm
• Constant d’assaig: 30

a) Càrrega aplicada en l’assaig

La càrrega aplicada es calcula amb la fórmula: \(P = k \cdot D^2\)

On \(k\) és la constant d’assaig i \(D\) és el diàmetre de la bola.

$$P = 30 \cdot 2,5^2 = 187,5 \text{ kgf} = 1839,38 \text{ N}$$

b) Valor de la duresa del material

La duresa Brinell es calcula amb la fórmula:

$$HB = \frac{2P}{\pi D(D – \sqrt{D^2 – d^2})}$$

On \(P\) és la càrrega aplicada, \(D\) és el diàmetre de la bola i \(d\) és el diàmetre de l’empremta.

$$HB = \frac{2 \cdot 187,5}{\pi \cdot 2,5(2,5 – \sqrt{2,5^2 – 1,5^2})} = 95,54 \text{ HB}$$

Problema 5: Varilla d’acer sotmesa a càrrega vertical

Dades:

• Mòdul elàstic: 200 GPa
• Límit elàstic: 360 MPa
• Secció: 12 mm²
• Longitud: 80 cm
• Càrrega vertical: 1800 N

a) Recuperació de la longitud inicial

Calculem la tensió aplicada:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{1800}{12 \cdot 10^{-6}} = 150 \text{ MPa}$$

Com que la tensió aplicada (150 MPa) és menor que el límit elàstic (360 MPa), la varilla recuperarà la seva longitud inicial en retirar la càrrega.

b) Diàmetre mínim per evitar deformació permanent amb càrrega de 50 kN

Per evitar deformació permanent, la tensió ha de ser menor o igual al límit elàstic:

$$\sigma = \frac{F}{A} \leq \sigma_e$$

Àrea mínima necessària:

$$A_{min} = \frac{F}{\sigma_e} = \frac{50000}{360 \cdot 10^6} = 1,389 \cdot 10^{-4} \text{ m}^2 = 138,9 \text{ mm}^2$$

Diàmetre mínim:

$$d_{min} = \sqrt{\frac{4A_{min}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 138,9}{\pi}} = 13,3 \text{ mm}$$

Problema 6: Assaig Brinell

Dades:

• Diàmetre de la bola: 10 mm
• Càrrega aplicada: 3000 kp
• Duresa Brinell (HB): 150

a) Càlcul del diàmetre de la huella

$$HB = \frac{2P}{\pi D \cdot \left(D – \sqrt{D^2 – d^2}\right)}$$

$$150 = \frac{2 \cdot (3000 \cdot 9,81)}{\pi \cdot 10 \cdot \left(10 – \sqrt{10^2 – d^2}\right)}$$

Resolent per \(d\), obtenim:

$$d \approx 4,91 \text{ mm}$$

b) Diàmetre de la bola per a una càrrega de 187,5 kp

La constant d’assaig \(k = \frac{P}{D^2}\):

$$k = \frac{3000}{10^2} = 30$$

Per \(P = 187,5\), el diàmetre serà:

$$D = \sqrt{\frac{P}{k}} = \sqrt{\frac{187,5}{30}} \approx 2,5 \text{ mm}$$

Problema 7: Barra sotmesa a tracció

Dades:

• Diàmetre de la barra: 30 mm
• Mòdul d’elasticitat (\(E\)): 700 MPa
• Resistència a tracció (\(\sigma_t\)): 20 MPa
• Límit elàstic (\(\sigma_e\)): 10 MPa
• Força aplicada (\(F\)): 1500 N

a) Tensió unitaria i recuperació de longitud inicial

La tensió unitària és:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{1500}{\frac{\pi (30)^2}{4}} = 2,12 \text{ MPa}$$

Com que \(2,12 \text{ MPa} < \sigma_e (10 \text{ MPa})\), la barra recuperarà la seva longitud inicial.

b) Longitud inicial per a un allargament de \(1,25\) mm

L’allargament es calcula com:

$$\Delta L = \varepsilon L_0$$

On:

$$\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{2,12}{700} = 0,00303$$

Resolent per \(L_0\):

$$L_0 = \frac{\Delta L}{\varepsilon} = \frac{1,25}{0,00303} \approx 412,87 \text{ mm}$$

Problema 8: Assaig Brinell amb bola de penetrador

Dades:

• Duresa Brinell (HB): 40
• Diàmetre de la bola (\(D\)): 5 mm
• Diàmetre de la huella (\(d\)): 1,2 mm

a) Càrrega aplicada en l’assaig

Utilitzem la fórmula:

$$HB = \frac{2P}{\pi D(D – \sqrt{D^2 – d^2})}$$

Resolent per \(P\):

$$P = HB \cdot \pi D(D – \sqrt{D^2 – d^2}) / 2$$

Substituint valors:

$$P = 40 \cdot \pi \cdot 5 (5 – \sqrt{5^2 – 1,2^2}) / 2$$

$$P \approx 122,52 N$$

Problema 9: Barra cilíndrica sotmesa a tracció

Dades:

• Longitud inicial (\(L_0\)): 80 mm
• Secció transversal (\(A\)): \(8~\text{mm}^2\)
• Força aplicada (\(F\)): \(4000~\text{N}\)
• Mòdul d’elasticitat (\(E\)): \(4 \times 10^4~\text{MPa}\)
• Límit elàstic (\(\sigma_e\)): \(250~\text{MPa}\)

a) Alargament unitari en el límit elàstic

La tensió en el límit elàstic és:

$$\sigma_e = \frac{F}{A}$$

$$\sigma_e = \frac{4000}{8 \cdot 10^{-6}} = 500~\text{MPa}$$

Aquesta tensió supera el límit elàstic (\(250~\text{MPa}\)), per tant, cal recalcular per al límit elàstic:

$$\varepsilon = \frac{\sigma_e}{E} = \frac{250}{4 \times 10^4} = 0,00625$$

L’alargament unitari en el límit elàstic és \(0,00625\).

b) Recuperació de la longitud inicial i diàmetre mínim

Com que la tensió aplicada (\(500~\text{MPa}\)) supera el límit elàstic, la barra no recuperarà la seva longitud inicial.

Per evitar deformació permanent, cal que la tensió sigui inferior o igual al límit elàstic:

$$A_{min} = \frac{F}{\sigma_e} = \frac{4000}{250 \cdot 10^6} = 1,6 \cdot 10^{-5}~\text{m}^2$$

$$d_{min} = \sqrt{\frac{4A_{min}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 1,6 \cdot 10^{-5}}{\pi}} = 4,51~\text{mm}$$

Problema 10: Assaig Charpy

Dades:

• Massa de la maça: \(30~\text{kg}\)
• Altura inicial: \(1,00~\text{m}\)
• Altura final: \(0,60~\text{m}\)
• Secció transversal de la proveta: \(10~\text{mm} \times 10~\text{mm}\)
• Profunditat de l’entalla: \(2~\text{mm}\)

a) Energia emprada en la ruptura

L’energia emprada en la ruptura es calcula com la diferència entre l’energia potencial inicial i final:

$$E = m g (h_i – h_f)$$

$$E = 30 \cdot 9,81 \cdot (1,00 – 0,60) = 117,72~\text{J}$$

b) Resiliència del material

La resiliència es calcula dividint l’energia absorbida per l’àrea de la secció transversal de la proveta:

$$R = \frac{E}{A}$$

$$A = (10 – 2) \cdot 10 = 80~\text{mm}^2$$

$$R = \frac{117,72}{80} = 1,47~\text{J/mm}^2$$