Determinació de les Reaccions en A i B

Modelatge

Una grua fixa de massa \(1000 \, \text{kg}\) es fa servir per aixecar una caixa de \(2400 \, \text{kg}\). La grua està fixada amb un perno en A i un balancí en B. El centre de gravetat de la grua es troba en G.

Multiplicant les masses per \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\), obtenim els pesos:

\[
W_G = (1000)(9.81) = 9.81 \, \text{kN}, \quad W_C = (2400)(9.81) = 23.5 \, \text{kN}
\]

La reacció en A té components \(A_x\) i \(A_y\), mentre que la reacció en B és horitzontal.

Equacions d’Equilibri

1. Determinació de \(B\)

Sumant moments respecte d’A:

\[
\sum M_A = 0 \Rightarrow B(1.5) – (9.81)(2) – (23.5)(6) = 0
\]
\[
B = \frac{(9.81)(2) + (23.5)(6)}{1.5} = 107.1 \, \text{kN}
\]

2. Determinació de \(A_x\)

Sumant forces horitzontals:

\[
\sum F_x = 0 \Rightarrow A_x + B = 0
\]
\[
A_x = -107.1 \, \text{kN}
\]

(Negatiu, el sentit és oposat al suposat.)

3. Determinació de \(A_y\)

Sumant forces verticals:

\[
\sum F_y = 0 \Rightarrow A_y – 9.81 – 23.5 = 0
\]
\[
A_y = 33.3 \, \text{kN}
\]

Resultats Finals

La magnitud de la reacció en A és:

\[
A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{(107.1)^2 + (33.3)^2} = 112.2 \, \text{kN}
\]

I l’angle respecte a l’horitzontal és:

\[
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{A_y}{|A_x|} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{33.3}{107.1} \right) = 17.3^\circ
\]

Verificació

Verificant moments respecte a \(B\):

\[
-(9.81)(2) – (23.5)(6) + (107.1)(1.5) = 0
\]

L’equilibri es compleix, confirmant els resultats.