Problema de Frenada d’un Cotxe amb Fregament

Enunciat

Quan un cotxe que es mou a 80 km/h per una carretera asfaltada recta prem completament el pedal del fre, s’atura en 50 m.
Quina serà la seva distància de frenada en una carretera idèntica però inclinada amb un angle de 5° respecte de l’horitzontal?
Analitzarem tant el cas en què frena pujant com baixant per la pendent.
Suposarem que les rodes no rellisquen i que la resistència de l’aire és negligible.

Càlculs

1. Paràmetres donats

• Velocitat inicial: \( v_0 = 80 \) km/h \( = \frac{80 \times 1000}{3600} = 22.22 \) m/s
• Distància de frenada en un pla horitzontal: \( d_0 = 50 \) m
• Angle de la pendent: \( \theta = 5^\circ \)
• Gravetat: \( g = 9.81 \) m/s²

2. Determinació de la desacceleració per fregament

En el cas horitzontal, les forces sobre el cotxe són la força de fregament i la reacció normal.
L’equació de moviment segons la segona llei de Newton és:

\[
m a = -\mu m g
\]

On \( \mu \) és el coeficient de fregament. De la cinemàtica:

\[
v^2 = v_0^2 + 2 a d
\]

Com que el cotxe s’atura, \( v = 0 \):

\[
0 = v_0^2 + 2 a d_0
\]

\[
a = -\frac{v_0^2}{2 d_0}
\]

Substituint els valors:

\[
a = -\frac{(22.22)^2}{2 \times 50} = -4.93 \text{ m/s}^2
\]

Per tant, la força de fregament és:

\[
\mu m g = 4.93 m
\]

\[
\mu g = 4.93
\]

\[
\mu = \frac{4.93}{9.81} = 0.503
\]

3. Cas de la pendent ascendent

Les forces sobre el cotxe són:

• Fregament: \( F_f = \mu m g \cos\theta \)
• Pes component en la pendent: \( F_p = m g \sin\theta \)

La segona llei de Newton en la direcció de la pendent:

\[
m a = -\mu m g \cos\theta – m g \sin\theta
\]

\[
a = -\mu g \cos\theta – g \sin\theta
\]

Substituint valors:

\[
a = – (0.503 \times 9.81 \cos 5^\circ + 9.81 \sin 5^\circ)
\]

\[
a = – (4.93 \cos 5^\circ + 9.81 \sin 5^\circ)
\]

\[
a = – (4.93 \times 0.9962 + 9.81 \times 0.0872)
\]

\[
a = – (4.91 + 0.86) = -5.77 \text{ m/s}^2
\]

Utilitzant la mateixa equació de cinemàtica:

\[
0 = v_0^2 + 2 a d
\]

\[
d = \frac{-v_0^2}{2 a}
\]

\[
d = \frac{-(22.22)^2}{2 \times (-5.77)}
\]

\[
d = \frac{493.8}{11.54} = 42.8 \text{ m}
\]

4. Cas de la pendent descendent

Les forces ara són:

\[
m a = -\mu m g \cos\theta + m g \sin\theta
\]

\[
a = -\mu g \cos\theta + g \sin\theta
\]

Substituint valors:

\[
a = – (4.93 \cos 5^\circ – 9.81 \sin 5^\circ)
\]

\[
a = – (4.91 – 0.86) = -4.05 \text{ m/s}^2
\]

Calculant la distància de frenada:

\[
d = \frac{-(22.22)^2}{2 \times (-4.05)}
\]

\[
d = \frac{493.8}{8.1} = 61.0 \text{ m}
\]

Conclusions

• En un pla horitzontal: \( d_0 = 50 \) m
• Si el cotxe frena pujant una pendent de 5°: \( d = 42.8 \) m
• Si el cotxe frena baixant una pendent de 5°: \( d = 61.0 \) m

Això mostra que una carretera inclinada afecta significativament la distància de frenada del cotxe.