Comparació de la segona llei de Newton en moviment lineal i circular

1. Forma Lineal: \(\vec{F} = m\vec{a}\)

Conceptes:

• \(\vec{F}\): Força neta (N)
• \(m\): Massa (kg), resistència al canvi de moviment.
• \(\vec{a}\): Acceleració lineal (m/s²), canvi en velocitat (\(a = \frac{dv}{dt}\)).

2. Adaptació al Moviment Circular

En rotació, les magnituds es substitueixen per anàlegs angulars:

• Força → Moment (torque en anglès): \(\tau = rF\sin\theta\) (N·m)
• Massa → Moment d’inèrcia: \(I = \sum m_i r_i^2\) (kg·m²)
• Acceleració → Acceleració angular: \(\alpha = \frac{d\omega}{dt}\) (rad/s²)

3. Forma Rotacional: \(\vec{\tau} = I\vec{\alpha}\)

Relació directa:

• El moment net (torque en anglès) (\(\tau\)) determina l’acceleració angular (\(\alpha\)).
• El moment d’inèrcia (\(I\)) actua com la “massa rotacional”.

4. Taula de Comparació

Lineal	Circular	Relació
\(F\) (N)	\(\tau = r \times F\) (N·m)	\(\tau = rF\) (força tangencial)
\(m\) (kg)	\(I = mr^2\) (kg·m²)	Depèn de la distribució radial
\(a = \frac{dv}{dt}\)	\(\alpha = \frac{d\omega}{dt}\)	\(a = r\alpha\) (acceleració tangencial)

5. Relació entre Ambdues Lleis

Per a una partícula en moviment circular:
\[
F = ma \implies F = m(r\alpha) \implies \underbrace{rF}_{\tau} = \underbrace{mr^2}_{I}\alpha \implies \tau = I\alpha
\]
Això connecta directament les dues formulacions.

6. Conclusió

Tant en moviment lineal com circular, la segona llei relaciona la “força” amb la “inèrcia” i l'”acceleració”, adaptant-se a les magnituds del sistema. La clau és entendre com \(r\) (radi) connecta el món lineal i angular.

Principals moments d’inèrcia

Objecte	Moment d’inèrcia	Eix de rotació
Esfera massissa	\( I = \frac{2}{5}MR^2 \)	Eix que passa pel centre
Esfera buida	\( I = \frac{2}{3}MR^2 \)	Eix que passa pel centre
Cilindre massís	\( I = \frac{1}{2}MR^2 \)	Eix longitudinal central
Cilindre buit	\( I = MR^2 \)	Eix longitudinal central
Barra prima	\( I = \frac{1}{12}ML^2 \)	Eix perpendicular pel centre
Barra prima	\( I = \frac{1}{3}ML^2 \)	Eix perpendicular per un extrem
Placa rectangular	\( I = \frac{1}{12}M(a^2 + b^2) \)	Eix perpendicular pel centre
Disc prim	\( I = \frac{1}{2}MR^2 \)	Eix perpendicular pel centre

On: \( M \) = massa, \( R \) = radi, \( L \) = longitud, \( a,b \) = costats de la placa