Dinàmica d’un Sistema de Politja amb Fricció

Plantejament del problema

Tenim una cubeta de massa \( m = 1.53 \) kg penjada d’una corda lligada a una politja de radi \( R = 0.330 \) m. La corda és inextensible i no llisca sobre la politja. Existeix un parell de fricció \( \tau_{fr} = 1.10 \) N·m a l’eix. Calcula el moment d’inèrcia de la politja ideal suposant que és un cilindre i el moment inèrcia real. Es demana calcular l’acceleració lineal de la cubeta i l’acceleració angular de la politja.

Càlcul del moment d’inèrcia d’una politja

1. Representació del sistema

La politja i el cordó unit a ella es representen en la figura de més amunt.

2. Elecció del sistema

Triem com a sistema la politja.

3. Diagrama de cos lliure

Les forces que actuen sobre la politja són:

• La força que exerceix el cordó sobre la politja.
• La força de fregament, de la qual només coneixem el seu moment.

Altres forces com la gravetat \( mg \) i les que mantenen el seu eix en lloc no contribueixen al moment, ja que el seu braç de palanca és zero.

4. Càlcul dels moments

La força de la corda actua a l’extrem de la politja, per tant el seu braç de palanca és \( R \).

El moment de la força aplicada per la corda és:

\[
\tau = R F_T
\]

El moment de fregament és conegut: \( \tau_{\text{fr}} = 1.10 \, \text{N·m} \).

5. Aplicació de la segona llei de Newton per la rotació

El moment net és:

\[
\tau_{\text{net}} = R F_T – \tau_{\text{fr}}
\]

6. Càlcul de l’acceleració angular

Sabem que la politja accelera des del repòs fins a una velocitat angular de 30.0 rad/s en 3.00 s. Això ens permet calcular l’acceleració angular:

\[
\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{30.0 \, \text{rad/s} – 0}{3.00 \, \text{s}} = 10.0 \, \text{rad/s}^2
\]

7. Resolució del moment d’inèrcia \( I \)

Utilitzem la relació entre moment i moment d’inèrcia:

\[
\tau_{\text{net}} = I \alpha
\]

Substituïm els valors:

\[
I = \frac{\tau_{\text{net}}}{\alpha} = \frac{(0.330 \, \text{m}) (15.0 \, \text{N}) – 1.10 \, \text{N·m}}{10.0 \, \text{rad/s}^2}
\]
\[
I = \frac{3.85 \, \text{N·m}}{10.0 \, \text{rad/s}^2} = 0.385 \, \text{kg·m}^2
\]

8. Estimació del moment d’inèrcia

Podem estimar el moment d’inèrcia suposant que la politja és un cilindre uniforme:

\[
I = \frac{1}{2} M R^2
\]

Substituïm \( M = 4.00 \) kg i \( R = 0.330 \) m:

\[
I = \frac{1}{2} (4.00) (0.330)^2 = 0.218 \, \text{kg·m}^2
\]

Aquest resultat és menor que el càlcul real, cosa que té sentit perquè la politja real pot tenir més massa concentrada cap al seu exterior.

Anàlisi de les forces i moments

1. Forces sobre la cubeta

Les forces que actuen sobre la cubeta són el seu pes \( mg \) cap avall i la tensió \( F_T \) de la corda cap amunt. Aplicant la segona llei de Newton:

\[
mg – F_T = ma
\]

On \( a \) és l’acceleració lineal de la cubeta (positiva cap avall).

2. Moments sobre la politja

A la politja, la tensió \( F_T \) exerceix un moment respecte al seu centre, i també hi ha un moment de fricció \(\tau_{fr} \):

\[
I\alpha = F_T R – \tau_{fr}
\]

On \( \alpha \) és l’acceleració angular de la politja.

3. Relació entre acceleracions

Com que la corda no llisca, la relació entre acceleració lineal i angular és:

\[
a = R\alpha
\]

Derivació de la fórmula per l’acceleració

Aïllament de \( \alpha \) en l’equació del moviment rotacional

Pas 1: Equació inicial

Partim de l’equació del moviment rotacional:

\[
I \alpha = \tau = R F_T – \tau_{\text{fr}}
\]

Substituïm \( F_T \) per \( mg – m R \alpha \):

\[
I \alpha = R (mg – m R \alpha) – \tau_{\text{fr}}
\]

Pas 2: Expandim els termes

Multipliquem el parèntesi:

\[
I \alpha = mg R – m R^2 \alpha – \tau_{\text{fr}}
\]

Pas 3: Agrupem els termes que contenen \( \alpha \)

Portem tots els termes amb \( \alpha \) al mateix costat:

\[
I \alpha + m R^2 \alpha = mg R – \tau_{\text{fr}}
\]

Pas 4: Factoritzem \( \alpha \)

Factoritzem \( \alpha \) a l’esquerra:

\[
\alpha (I + m R^2) = mg R – \tau_{\text{fr}}
\]

Pas 5: Aïllem \( \alpha \)

Dividim per \( (I + m R^2) \) per obtenir \( \alpha \):

\[
\alpha = \frac{mg R – \tau_{\text{fr}}}{I + m R^2}
\]

Pas 6: Relació amb acceleració lineal \( a \)

Recordem que la relació entre acceleració angular i lineal és:

\[
a = R \alpha
\]

Substituïm \( \alpha \):

\[
a = R \cdot \frac{mg R – \tau_{\text{fr}}}{I + m R^2}
\]

Hem aïllat \( \alpha \) i també trobat \( a \) en termes dels paràmetres del sistema.

Substituint els valors numèrics:

\[
a = \frac{(1.53)(9.81)(0.330) – 1.10}{0.385 + (1.53)(0.330)^2}
\]

\[
a = \frac{4.95 – 1.10}{0.385 + 0.167} = \frac{3.85}{0.552} = 6.98 \text{ m/s}^2
\]

L’acceleració angular corresponent és:

\[
\alpha = \frac{a}{R} = \frac{6.98}{0.330} = 21.15 \text{ rad/s}^2
\]

Discussió sobre l’energia cinètica

L’energia cinètica d’un cos en rotació ve donada per:

\[
E_{k,rot} = \frac{1}{2}I\omega^2
\]

Aquesta expressió és anàloga a l’energia cinètica de translació \(E_{k,trans} = \frac{1}{2}mv^2 \), establint un paral·lelisme entre els paràmetres de moviment lineal i rotacional.

Conclusions

Hem determinat que l’acceleració lineal de la cubeta és \( a = 6.98 \text{ m/s}^2 \) cap avall, i l’acceleració angular de la politja és \( \alpha = 21.15 \text{ rad/s}^2 \). Aquests resultats tenen en compte tant la força gravitatòria sobre la cubeta com la fricció a l’eix de la politja.

Cal observar que la tensió a la corda \( F_T = mg – ma = 15.0 – (1.53)(6.98) = 4.32 \text{ N} \) és menor que el pes de la cubeta, com és d’esperar en un sistema accelerat.

Segona Llei de Newton per a la Rotació

Enunciat

La segona llei de Newton per a la rotació estableix que el moment de força net (\(\tau\)) que actua sobre un cos és igual al producte del seu moment d’inèrcia (\(I\)) i la seva acceleració angular (\(\alpha\)):

\[
\tau = I \alpha.
\]

Justificació i Relació amb la Llei Translacional

Aquesta llei és l’equivalent rotacional de la segona llei de Newton per al moviment translacional, que s’expressa com:

\[
F = m a.
\]

On:

• \(F\) és la força neta aplicada sobre el cos,
• \(m\) és la massa del cos,
• \(a\) és l’acceleració lineal resultant.

En el cas rotacional, la força es substitueix pel moment de força (\(\tau\)), la massa pel moment d’inèrcia (\(I\)) i l’acceleració lineal per l’acceleració angular (\(\alpha\)). Així, la relació equivalent és:

\[
\tau = I \alpha.
\]

Derivació Intuïtiva

Considerem un cos rígid que gira al voltant d’un eix fix. Per a un element de massa infinitesimal \(dm\) situat a una distància \(r\) de l’eix, la seva contribució al moment d’inèrcia és:

\[
dI = r^2\,dm.
\]

L’acceleració angular \(\alpha\) és la mateixa per a tot el cos, i la força d’inèrcia per a aquest element, deguda a l’acceleració angular, és:

\[
dF = dm \, (r\alpha).
\]

El moment de força elemental sobre aquest element és donat per:

\[
d\tau = r \, dF = r \, (dm \, r\alpha) = r^2\, \alpha\, dm.
\]

Integrant sobre tot el cos obtenim el moment de força total:

\[
\tau = \int d\tau = \alpha \int r^2\,dm = I \alpha.
\]

Interpretació Físiques

Aquesta expressió indica que per a un cos donat, amb un moment d’inèrcia \(I\), qualsevol moment de força net \(\tau\) aplicat fa que el cos experimenti una acceleració angular \(\alpha\) proporcional a \(\tau\) i inversament proporcional a \(I\). Així, un cos amb un gran moment d’inèrcia requereix més moment de força per aconseguir la mateixa acceleració angular que un cos amb un moment d’inèrcia menor.

Conclusió

La segona llei de Newton per a la rotació, expressada com \(\tau = I \alpha\), és fonamental per entendre el comportament dels sistemes rotacionals. La seva justificació es basa en la suma dels efectes d’inèrcia de les parts d’un cos rígid i estableix la relació directa entre el moment de força aplicat i la resposta rotacional del cos.