Fórmules generals amb i sense fricció per als 4 objectes en un pla inclinat

Suposem un pla inclinat amb altura vertical \( H \) i acceleració per la gravetat \( g \). Tots els objectes parteixen del repòs.
Es consideren dues situacions:

1. Objecte que llisca (sense rotació):
   Aquí la fricció, si n’hi ha, és cinètica i dissipa energia.
2. Objecte que roda sense lliscament:
   La fricció estàtica garanteix la condició \( v = \omega R \) i, idealment, no dissipa energia.
   Tanmateix, per comparar, s’inclou la versió amb pèrdues (amb coeficient \( \mu_r \) de fricció rodant).

1. Objecte que llisca (sense girar)

Sense fricció

Amb fricció cinètica

Suposem que el pla té angle \( \theta \) (la distància recorreguda és \( d=\frac{H}{\sin\theta} \)) i un coeficient de fricció cinètica \( \mu_k \).
La força de fricció és \( f_k = \mu_k\, mg\cos\theta \) i el treball dissipatiu és:

L’equació d’energia és:

Per tant, la velocitat final és:

2. Objectes que roden sense deslizar

La conservació de l’energia per un objecte rodant sense deslizar (on, idealment, la fricció estàtica no fa treball) és:

Utilitzant \( v = \omega R \) i escrivint el moment d’inèrcia com \( I_{\text{CM}} = k\, mR^2 \), obtenim:

Si, en canvi, considerem una pèrdua d’energia deguda a fricció rodant (amb un coeficient \( \mu_r \) —normalment molt petit— que representa les pèrdues per deformació o altres efectes), el treball dissipatiu seria similar:

L’equació d’energia amb pèrdues és:

De manera que la velocitat final queda donada per:

Aplicació als 4 objectes

Els valors del factor \( k \) per als diferents objectes rodants són:

• Canica esfèrica: \( k=0.4 \)
• Cilindre sòlid: \( k=0.5 \)
• Llauna de beguda de cola: \( k\approx0.9 \)

A) Caixa engrasada (objecte lliscant)

• Sense fricció:
  \( v = \sqrt{2gH} \)
• Amb fricció cinètica:
  \( v = \sqrt{2gH\Bigl(1-\mu_k\,\cot\theta\Bigr)} \)

B) Canica esfèrica

• Sense fricció (rodant ideal):
  \( v = \sqrt{\frac{2gH}{1+0.4}} = \sqrt{\frac{2gH}{1.4}} \)
• Amb fricció rodant:
  \( v = \sqrt{\frac{2gH\Bigl(1-\mu_r\,\cot\theta\Bigr)}{1.4}} \)

C) Cilindre sòlid

• Sense fricció (rodant ideal):
  \( v = \sqrt{\frac{2gH}{1+0.5}} = \sqrt{\frac{2gH}{1.5}} \)
• Amb fricció rodant:
  \( v = \sqrt{\frac{2gH\Bigl(1-\mu_r\,\cot\theta\Bigr)}{1.5}} \)

D) Llauna de beguda de cola

• Sense fricció (rodant ideal):
  \( v = \sqrt{\frac{2gH}{1+0.9}} = \sqrt{\frac{2gH}{1.9}} \)
• Amb fricció rodant:
  \( v = \sqrt{\frac{2gH\Bigl(1-\mu_r\,\cot\theta\Bigr)}{1.9}} \)

Nota: En els casos de rodadura ideal (sense pèrdues), la fricció estàtica només garanteix la condició de no lliscar i no dissipa energia, per això s’usa la fórmula sense \( \mu_r \).
Si es consideren pèrdues per fricció rodant (coeficient \( \mu_r \)), la velocitat final es redueix segons les fórmules “amb fricció”.

Comparació moments inèrcia i velocitat

Si el moment d’inèrcia més petit significa que és més fàcil de girar, hauria de significar que gira més ràpid, però això no sempre implica que baixi més ràpid. La clau està en com es reparteix l’energia entre rotació i translació.

Per què un objecte amb més moment d’inèrcia baixa més lent?

Quan un objecte roda sense lliscar, l’energia potencial \( mgh \) es divideix en dues parts:

• Energia cinètica translacional \( K_{\text{lin}} = \frac{1}{2} m v^2 \)
• Energia cinètica rotacional \( K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2 \)

Amb la relació \( \omega = v / R \), l’energia total es pot escriure com:

\[
mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \frac{v^2}{R^2}
\]

Factoritzant \( v^2 \):

\[
mgh = \frac{1}{2} v^2 \left(m + \frac{I}{R^2} \right)
\]

D’aquí surt la fórmula de la velocitat final:

\[
v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{I}{mR^2}}}
\]

Ara connectem això amb el moment d’inèrcia

• El terme \( \frac{I}{mR^2} \) (que també es pot escriure com \( k \)) indica quina part de l’energia es destina a la rotació.
• Com més gran sigui aquest factor, més energia es destina a la rotació i menys queda per a la translació → per això baixa més lent.
• Com més petit sigui aquest factor, menys energia es destina a la rotació i més a la translació → per això baixa més ràpid.

Tornem a l’exemple de la llauna i la canica

• La canica massissa té \( k = \frac{2}{5} \), per tant una gran part de la seva energia es dedica a la translació, i baixa ràpid.
• Una llauna buida té \( k = 1 \), per tant una gran part de la seva energia va a la rotació, i baixa més lent.
• Però si la llauna té líquid a dins, el líquid no roda amb la llauna → això fa que el moment d’inèrcia efectiu sigui menor, per això pot baixar més ràpid que una canica!

Resumint: inèrcia de rotació vs. velocitat lineal

El moment d’inèrcia mesura la facilitat per girar, però en un pla inclinat el que importa és com es reparteix l’energia. Un moment d’inèrcia més petit vol dir que més energia va a la translació i, per tant, l’objecte arriba més ràpid al final del pla.