Problema del Cartell penjat

Una biga de massa \( m = 25.0 \) kg està muntada mitjançant una frontissa sobre una paret, com es mostra a la figura. La biga es manté en posició horitzontal gràcies a un cable que forma un angle de \( \theta = 30.0^\circ \). La biga sosté un senyal de massa \( M = 28.0 \) kg suspès a l’extrem.

Plantejament

Les forces que actuen sobre la biga són:

• El pes de la biga, \( W_v = mg \), aplicat al centre.
• El pes del senyal, \( W_s = Mg \), aplicat a l’extrem.
• La tensió \( F_T \) del cable, formant angle \( \theta \).
• Les forces de reacció a la frontissa: \( F_{Bx} \) i \( F_{By} \).

Equacions d’equilibri

Sumant forces en la direcció vertical:

\[
F_{By} + F_T \sin\theta = W_v + W_s
\]

Sumant forces en la direcció horitzontal:

\[
F_{Bx} = F_T \cos\theta
\]

Equació de moments respecte a la frontissa (prenent el sentit antihorari com positiu):

\[
W_v \frac{L}{2} + W_s L – F_T L \sin\theta = 0
\]

Solució

Despejant \( F_T \):

\[
F_T = \frac{W_v \frac{L}{2} + W_s L}{L \sin\theta}
\]

Substituint valors (prenent \( g = 9.8 \) m/s²):

\[
W_v = 25.0 \times 9.8 = 245 \text{ N}, \quad W_s = 28.0 \times 9.8 = 274.4 \text{ N}
\]

\[
F_T = \frac{(245) \frac{L}{2} + (274.4) L}{L \sin 30^\circ}
\]

\[
F_T = \frac{(122.5L + 274.4L)}{0.5L} = \frac{396.9L}{0.5L} = 793.8 \text{ N}
\]

Calculant \( F_{By} \) i \( F_{Bx} \):

\[
F_{By} = W_v + W_s – F_T \sin\theta
\]

\[
F_{By} = 245 + 274.4 – (793.8 \times 0.5) = 123 \text{ N}
\]

\[
F_{Bx} = F_T \cos\theta = 793.8 \cos 30^\circ = 687 \text{ N}
\]

Resultats finals

Els components de la força a la frontissa són:

\[
F_{Bx} = 687 \text{ N}, \quad F_{By} = 123 \text{ N}
\]

La tensió en el cable és:

\[
F_T = 793.8 \text{ N}
\]