Exercici 3 – Energia i Potència

Enunciat

Una cistella de bàsquet està solidària a una barra homogènia de longitud \( 4l \) i massa total \( m = 100 \) kg. La barra està articulada en \( O \) i es plega mitjançant un mecanisme de tambor. S’estudia la maniobra de plegament quan l’angle passa de \( \varphi_1 = 45^\circ \) a \( \varphi_2 = 15^\circ \). El motor té un rendiment \( \eta = 0.8 \) i la velocitat angular és constant \( \omega = 0.1745 \) rad/s.

a) Energia mecànica i energia consumida pel motor

\[
\Delta E_{\text{mec}} = mg \Delta h
\]

On l’altura del centre de massa varia segons:

\[
\Delta h = d (\sin 45^\circ – \sin 15^\circ) = 1.345m
\]

Substituint:

\[
E_{\text{mec}} = 100 \times 9.81 \times 1.345 = 1319 J
\]

L’energia consumida pel motor és:

\[
E_{\text{mot}} = \frac{E_{\text{mec}}}{\eta} = \frac{1319}{0.8} = 1649 J
\]

b) Velocitat vertical del centre d’inèrcia a \( \varphi = 30^\circ \)

\[
v_{\text{vert}} = 3l \omega \cos 30^\circ
\]

\[
v_{\text{vert}} = 3 \times l \times 0.1745 \times 0.866 = 0.4534 \text{ m/s}
\]

c) Potència consumida pel motor

\[
P_{\text{mec}} = mg v_{\text{vert}}
\]

\[
P_{\text{mot}} = \frac{P_{\text{mec}}}{\eta} = \frac{100 \times 9.81 \times 0.4534}{0.8} = 555.8 W
\]

d) La potència és constant?

Com que \( v_{\text{vert}} \) depèn de \( \cos \varphi \), la potència varia amb l’angle, per tant, la potència no és constant.