Solució Exercici 4 – PAU 2025
Exercici 4 – Anàlisi d’Estructures
Enunciat
Es vol determinar les forces que actuen sobre l’articulació de l’espatlla durant un exercici d’aixecament de pesos. Es considera un braç amb:
- Massa del braç: \( m_b = 5 \) kg
- Massa del pes: \( m_p = 2 \) kg
- Angle del múscul deltoide: \( \theta = 20^\circ \)
a) Diagrama de cos lliure
El braç està sotmès a les forces següents:
- Pes del braç: \( F_b = m_b g = 5 \times 9.81 = 49.05 \) N
- Pes del pes sostingut: \( F_p = m_p g = 2 \times 9.81 = 19.62 \) N
- Força del múscul deltoide: \( F_m \) (incògnita)
- Reaccions en l’articulació: \( R_x, R_y \)
Per obtenir la màxima puntuació (0,50 punts de l’apartat), al diagrama hi han d’aparèixer totes les forces indicades a la figura. Els pesos han de tenir la direcció i el sentit indicats, com també la força Fm. Les forces d’enllaç OV i OH, a priori, poden tenir qualsevol sentit.
b) Càlcul de la força del múscul
Equació de moments respecte a \( O \):
\[
F_m a \sin \theta – F_b b – F_p c = 0
\]
\[
F_m = \frac{F_b b + F_p c}{a \sin \theta} = \frac{(49.05 \times b) + (19.62 \times c)}{a \sin 20^\circ} = 688.2 N
\]
S’assignen 0,50 punts si es planteja correctament l’equació i 0,50 punts més si s’obté correctament el resultat final.
c) Forces a l’espatlla
Equacions d’equilibri:
\[
R_x – F_m \cos \theta = 0
\]
\[
R_y – F_m \sin \theta + F_b + F_p = 0
\]
Aïllant les forces:
\[
R_x = F_m \cos \theta = 688.2 \cos 20^\circ = 646.7 N
\]
\[
R_y = – F_b – F_p + F_m \sin \theta = – (49.05 + 19.62) + (688.2 \sin 20^\circ) = – 166.7 N
\]
El signe negatiu de Ry indica que té sentit oposat al dibuixat al diagrama de cos lliure. Cal plantejar dues equacions amb dues incògnites. Pel plantejament correcte de les equacions s’assignen 0,50 punts, i per l’obtenció de les forces d’enllaç, 0,5 punts més.
d) Conclusió
La força del múscul deltoide ha de ser molt gran per compensar el pes del braç i la càrrega, i les reaccions a l’articulació mostren forces considerables en direccions oposades.