Patinet elèctric
Una persona té un patinet elèctric que utilitza una bateria ideal de tensió
\( U = 24\,\mathrm{V} \) i energia \( E_{\text{bat}} = 250\,\mathrm{Wh} \) per alimentar un motor
de rendiment \( \eta_{\text{mot}} = 0.85 \). La roda motriu del patinet, de diàmetre
\( d_{\text{roda}} = 140\,\mathrm{mm} \) (o \( 0.14\,\mathrm{m} \)), està connectada directament a l’eix
de sortida del motor. En les condicions d’estudi, la persona i el patinet tenen una massa
conjunta \( m = 70\,\mathrm{kg} \) i recorren \( s = 2\,\mathrm{km} \) a velocitat constant \( v = 8\,\mathrm{km/h} \)
per una pujada amb un angle \( \alpha = 7^\circ \). Al començament el sistema té la bateria totalment carregada.
Es pot negligir qualsevol pèrdua excepte la associada al rendiment del motor.
a) Potència elèctrica consumida, \( P_{\text{elèc}} \)
En pujar a una inclinació, a velocitat constant, la potència mecànica necessària per al moviment és la que
es dedica a augmentar l’energia potencial gravitatòria, que es calcula com:
\[
P_{\text{mec}} = m \, g \, v \, \sin\alpha.
\]
Pas 1. Conversió de la velocitat:
La velocitat donada és
\[
v = 8\,\mathrm{km/h} = \frac{8}{3.6}\,\mathrm{m/s} \approx 2.22\,\mathrm{m/s}.
\]
Pas 2. Càlcul de la potència mecànica:
Prenent \( g = 9.81\,\mathrm{m/s^2} \) i \( \sin(7^\circ) \approx 0.12187 \), tenim:
\[
P_{\text{mec}} = 70\,\mathrm{kg} \times 9.81\,\mathrm{m/s^2} \times 2.22\,\mathrm{m/s} \times 0.12187.
\]
Calculem pas a pas:
\( m \, g = 70 \times 9.81 \approx 686.7\,\mathrm{N} \).
\( 686.7\,\mathrm{N} \times 2.22\,\mathrm{m/s} \approx 1523.3\,\mathrm{W} \).
\( 1523.3\,\mathrm{W} \times 0.12187 \approx 185.8\,\mathrm{W} \).
Pas 3. Càlcul de la potència elèctrica consumida:
Atès que el motor té rendiment \( \eta_{\text{mot}} \), la potència elèctrica aportada a la bateria serà:
\[
P_{\text{elèc}} = \frac{P_{\text{mec}}}{\eta_{\text{mot}}} = \frac{185.8\,\mathrm{W}}{0.85} \approx 218.6\,\mathrm{W}.
\]
Per tant, la potència elèctrica consumida és:
\[
\boxed{P_{\text{elèc}} \approx 219\,\mathrm{W}}.
\]
b) Velocitat de rotació de l’eix del motor, \( \omega_{\text{mot}} \), i parell, \( \Gamma \)
La roda del patinet està connectada directament a l’eix del motor, així que la velocitat angular de la roda
és la mateixa que la de l’eix del motor.
Pas 1. Càlcul de la velocitat angular \( \omega \):
La relació entre la velocitat lineal \( v \) i la velocitat angular \( \omega \) és:
\[
v = r \, \omega,
\]
on \( r \) és el radi de la roda. Donat que el diàmetre és \( d_{\text{roda}} = 0.14\,\mathrm{m} \), el radi és:
\[
r = \frac{0.14}{2} = 0.07\,\mathrm{m}.
\]
Per tant:
\[
\omega_{\text{mot}} = \frac{v}{r} = \frac{2.22\,\mathrm{m/s}}{0.07\,\mathrm{m}} \approx 31.7\,\mathrm{rad/s}.
\]
Pas 2. Càlcul del parell \( \Gamma \):
La potència mecànica està relacionada amb el parell i la velocitat angular per:
\[
P_{\text{mec}} = \Gamma \, \omega_{\text{mot}}.
\]
Despejant el parell:
\[
\Gamma = \frac{P_{\text{mec}}}{\omega_{\text{mot}}} = \frac{185.8\,\mathrm{W}}{31.7\,\mathrm{rad/s}} \approx 5.87\,\mathrm{N \cdot m}.
\]
Així, tenim:
\[
\boxed{\omega_{\text{mot}} \approx 31.7\,\mathrm{rad/s} \quad \text{ i } \quad \Gamma \approx 5.87\,\mathrm{N \cdot m}}.
\]
c) Percentatge d’energia consumida de la bateria, \( \Delta \)
La bateria té una energia total de:
\[
E_{\text{bat}} = 250\,\mathrm{Wh}.
\]
Per calcular el percentatge d’energia consumida, hem de determinar l’energia elèctrica total utilitzada en el trajecte.
Pas 1. Càlcul del temps de recorregut:
El recorregut és \( s = 2\,\mathrm{km} = 2000\,\mathrm{m} \) i la velocitat és \( v = 2.22\,\mathrm{m/s} \). Per tant:
\[
t = \frac{s}{v} = \frac{2000\,\mathrm{m}}{2.22\,\mathrm{m/s}} \approx 900\,\mathrm{s} \quad (\text{aprox. } 0.25\,\mathrm{h}).
\]
Pas 2. Energia consumida durant el trajecte:
La potència elèctrica consumida és \( P_{\text{elèc}} \approx 218.6\,\mathrm{W} \). L’energia utilitzada en Joules és:
\[
E_{\text{consumida}} = P_{\text{elèc}} \times t = 218.6\,\mathrm{W} \times 900\,\mathrm{s} \approx 196740\,\mathrm{J}.
\]
Convertim aquesta energia a Wh (recordant que \( 1\,\mathrm{Wh} = 3600\,\mathrm{J} \)):
\[
E_{\text{consumida}} \approx \frac{196740\,\mathrm{J}}{3600\,\mathrm{J/Wh}} \approx 54.65\,\mathrm{Wh}.
\]
Pas 3. Càlcul del percentatge d’energia consumida:
\[
\Delta = \frac{E_{\text{consumida}}}{E_{\text{bat}}} \times 100\% = \frac{54.65\,\mathrm{Wh}}{250\,\mathrm{Wh}} \times 100\% \approx 21.86\%.
\]
Per tant, el percentatge d’energia consumida de la bateria és:
\[
\boxed{\Delta \approx 21.9\%}.
\]
FEU SEMPRE el desenvolupament complet de l’exercici, amb totes les unitats intermèdies i fórmules explicades.