Propietats Tèrmiques dels Materials

Conductivitat tèrmica (\(k\)):

La conductivitat tèrmica és la capacitat d’un material per transmetre calor. Es calcula amb la fórmula:

\( k = \frac{Q}{A \cdot \Delta T} \cdot \frac{d}{\Delta T} \)

On:

• \(k\) = conductivitat tèrmica \([W/m \cdot K]\)
• \(Q\) = quantitat de calor transferida \([J]\)
• \(d\) = distància entre els dos plans isotèrmics \([m]\)
• \(A\) = àrea de la superfície \([m^2]\)
• \(\Delta T\) = diferència de temperatura \([K]\)

Problemes

Dilatació tèrmica (\( \alpha \)):

La dilatació tèrmica és el canvi relatiu de longitud d’un material en funció del canvi de temperatura:

On:

• \(\Delta L\) és el canvi de longitud (m)
• \(L_0\) és la longitud inicial (m)
• \(\alpha\) és el coeficient de dilatació tèrmica (°C⁻¹ o K⁻¹)
• \(\Delta T\) és el canvi de temperatura (K)

Capacitat calorífica (\(C\)):

La capacitat calorífica mesura la quantitat de calor necessària per augmentar la temperatura d’un material. La fórmula és:

On:

• \(Q\) és la quantitat de calor (J)
• \(C\) és la capacitat calorífica (J/K)
• \(\Delta T\) és el canvi de temperatura (K)

Difusivitat tèrmica (\( \alpha \)):

La difusivitat tèrmica determina com de ràpid es propaga la calor a través d’un material:

On:

• \(k\) és la conductivitat tèrmica (W/m·K)
• \(\rho\) és la densitat del material (kg/m³)
• \(c_p\) és la capacitat calorífica específica (J/kg·K)

Unitats en el Sistema Internacional (SI):

• Conductivitat tèrmica: \(k\) en W/m·K
• Coeficient de dilatació tèrmica: \(\alpha\) en K⁻¹
• Capacitat calorífica: \(C\) en J/K
• Quantitat de calor: \(Q\) en joules (J)
• Difusivitat tèrmica: \(\alpha\) en m²/s

Dilatació Tèrmica dels Materials

La dilatació tèrmica és el fenomen pel qual els materials augmenten les seves dimensions quan augmenta la temperatura. La variació de longitud d’un objecte es pot calcular amb la fórmula següent:

\[ \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T \]

• \( \Delta L \): Increment de la longitud.
• \( L_0 \): Longitud inicial del material.
• \( \alpha \): Coeficient de dilatació lineal del material (en \( \text{°C}^{-1} \)).
• \( \Delta T \): Variació de la temperatura (en °C).

Exemple 1: Barra d’acer

Una barra d’acer de longitud inicial \( L_0 = 2 \, \text{m} \) s’escalfa des d’una temperatura inicial de \( 20 \, \text{°C} \) fins a \( 100 \, \text{°C} \). El coeficient de dilatació lineal de l’acer és \( \alpha = 1.2 \times 10^{-5} \, \text{°C}^{-1} \). Calcula la dilatació de la barra.

Solució pas a pas:

1. Calcula la variació de temperatura:

\[ \Delta T = T_f – T_i = 100 \, \text{°C} – 20 \, \text{°C} = 80 \, \text{°C} \]

2. Aplica la fórmula de la dilatació:

\[ \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T \]

\[ \Delta L = 2 \, \text{m} \cdot (1.2 \times 10^{-5} \, \text{°C}^{-1}) \cdot 80 \, \text{°C} \]

\[ \Delta L = 0.00192 \, \text{m} = 1.92 \, \text{mm} \]

Per tant, la barra augmenta la seva longitud en \( 1.92 \, \text{mm} \).

Exemple 2: Tub d’alumini

Un tub d’alumini té una longitud inicial de \( L_0 = 1.5 \, \text{m} \) a \( 15 \, \text{°C} \). S’escalfa fins a \( 85 \, \text{°C} \). El coeficient de dilatació de l’alumini és \( \alpha = 2.4 \times 10^{-5} \, \text{°C}^{-1} \). Troba la nova longitud del tub.

Solució pas a pas:

1. Calcula la variació de temperatura:

\[ \Delta T = 85 \, \text{°C} – 15 \, \text{°C} = 70 \, \text{°C} \]

2. Calcula la dilatació del tub:

\[ \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T \]

\[ \Delta L = 1.5 \, \text{m} \cdot (2.4 \times 10^{-5} \, \text{°C}^{-1}) \cdot 70 \, \text{°C} \]

\[ \Delta L = 0.00252 \, \text{m} = 2.52 \, \text{mm} \]

3. Calcula la nova longitud del tub:

\[ L_f = L_0 + \Delta L \]

\[ L_f = 1.5 \, \text{m} + 0.00252 \, \text{m} = 1.50252 \, \text{m} \]

La nova longitud del tub és \( 1.50252 \, \text{m} \).