Disseny del Control Automàtic de Persianes
Enunciat del Problema
Es vol dissenyar el circuit electrònic que controla les persianes d’una casa domòtica. La persiana puja si hi ha llum intensa a l’exterior i la temperatura interior no és alta, excepte si el mode nocturn està activat. A més, també puja si hi ha persones a l’habitació i la temperatura interior és alta, independentment de la llum exterior o el mode nocturn. En qualsevol altre cas, la persiana baixarà o romandrà immòbil. Es defineixen les variables d’estat següents: llum exterior: $l = \begin{cases} 1: \text{hi ha llum} \\ 0: \text{no hi ha llum} \end{cases}$; mode nocturn: $n = \begin{cases} 1: \text{activat} \\ 0: \text{desactivat} \end{cases}$; temperatura interior: $t = \begin{cases} 1: \text{alta } (\ge 21 \text{°C}) \\ 0: \text{baixa } (< 21 \text{°C}) \end{cases}$; presència d’individus: $i = \begin{cases} 1: \text{sí} \\ 0: \text{no} \end{cases}$; moviment de la persiana: $p = \begin{cases} 1: \text{puja} \\ 0: \text{baixa o roman immòbil} \end{cases}$. Dissenyeu un sistema de control que permeti controlar el moviment de la persiana. Com a resultat, proporcioneu un diagrama de portes lògiques que representi visualment el funcionament del sistema. Per a fer-ho, és recomanable elaborar la taula de veritat del sistema, determinar la funció lògica entre aquestes variables (i, si escau, simplificar-la) i, finalment, dibuixar el diagrama de portes lògiques.
Es vol dissenyar un circuit per controlar una persiana ($p$) basat en quatre variables:
- $l$: Llum exterior (1 = Sí, 0 = No)
- $n$: Mode nocturn (1 = Activat, 0 = Desactivat)
- $t$: Temperatura interior (1 = Alta $\ge 21^\circ$C, 0 = Baixa)
- $i$: Presència d’individus (1 = Sí, 0 = No)
- Hi ha llum ($l=1$) I la temperatura no és alta ($t=0$) I mode nocturn desactivat ($n=0$).
- Hi ha persones ($i=1$) I la temperatura és alta ($t=1$).
1. Identificació de Variables
Primer, traduïm l’enunciat a variables lògiques binàries. El sistema té 4 entrades i 1 sortida.
- Entrades:
- $l$: Llum exterior ($1=$ Si, $0=$ No).
- $n$: Mode nocturn ($1=$ Activat, $0=$ Desactivat).
- $t$: Temperatura interior ($1=$ Alta $\ge 21^\circ$, $0=$ Baixa).
- $i$: Presència d’individus ($1=$ Si, $0=$ No).
- Sortida:
- $p$: Persiana ($1=$ Puja, $0=$ Baixa/Immòbil).
2. Anàlisi de les Condicions
L’enunciat ens dóna dues condicions independents perquè la persiana pugi ($p=1$). Si es compleix qualsevol de les dues (operació OR), la persiana puja.
Condició A: Llum i temperatura
“Puja si hi ha llum intensa ($l=1$) i la temperatura no és alta ($t=0$), excepte si mode nocturn activat ($n=1$).”
Això significa que $n$ ha de ser 0. Matemàticament:
$$ A = l \cdot \bar{t} \cdot \bar{n} $$
Condició B: Persones i temperatura
“També puja si hi ha persones ($i=1$) i la temperatura és alta ($t=1$).”
Aquí les altres variables no importen.
$$ B = i \cdot t $$
3. Taula de Veritat
Representem els 16 estats possibles ($2^4$). Les files marcades en verd indiquen quan la persiana puja ($p=1$).
| Dec | $l$ (Llum) | $n$ (Nocturn) | $t$ (Temp) | $i$ (Individus) | $p$ (Sortida) | Comentari |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Fosc, sense ningú |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | Temp alta però sense gent |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | Condició B ($i \cdot t$) |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | Mode nocturn ON |
| 5 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 6 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 7 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | Condició B ($i \cdot t$) |
| 8 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | Condició A ($l \cdot \bar{t} \cdot \bar{n}$) |
| 9 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | Condició A ($l \cdot \bar{t} \cdot \bar{n}$) |
| 10 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | Llum, però temp alta |
| 11 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | Condició B ($i \cdot t$) |
| 12 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | Nocturn bloqueja Llum |
| 13 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | Nocturn bloqueja Llum |
| 14 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 15 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | Condició B ($i \cdot t$) |
4. Funció Lògica Simplificada
Unint les dues condicions analitzades al Pas 2, obtenim la funció de sortida final com una suma de productes:
$$ P = (l \cdot \bar{n} \cdot \bar{t}) + (i \cdot t) $$
Justificació de la simplificació:
No cal utilitzar Mapes de Karnaugh complexos perquè els dos termes són disjunts respecte a la variable $t$ (un requereix $\bar{t}$ i l’altre $t$), i representen directament les especificacions funcionals del problema sense redundàncies evidents.
5. Diagrama de Portes Lògiques
Aquest és el circuit digital resultant que implementa la funció $P$.
- Porta AND 1 (Superior): Detecta si hi ha llum, no és de nit i fa fred.
- Porta AND 2 (Inferior): Detecta si hi ha algú i fa calor.
- Porta OR (Final): Activa el motor si es compleix qualsevol dels casos anteriors.