De la Taula de Veritat al Circuit Lògic
De la Taula de Veritat al Circuit Lògic
Enunciat del problema: Un sistema activa una sortida (F) segons les condicions següents de la taula de la veritat.
1. Creació de la Taula de Veritat
La taula de veritat conté totes les combinacions possibles de les entrades i els seus resultats:
| A | B | C | D | F(A, B, C, D) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
La següent funció lògica s’obté directament de la taula de veritat, sense simplificar, i està expressada com la suma de minterms.
F(A, B, C, D) = A'B'C'D' + A'B'CD' + A'BC'D + A'BCD + AB'C'D' + AB'CD' + ABC'D + ABCD
Cada minterm correspon a una combinació d’entrades per les quals la funció val 1.
2. Creació del Mapa de Karnaugh
Es col·loquen els valors de la taula de veritat en un mapa de Karnaugh per identificar agrupacions:
Els grups es formen amb potències de 2 (1, 2, 4, 8…). Agrupem els 1s adjacents per simplificar l’expressió.
2.1. Mapa de Karnaugh amb 4 grups
| CD | ||||
|---|---|---|---|---|
| AB | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 01 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 11 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
- Grup 1: →
B'C'D' - Grup 2: →
B C D - Grup 3: →
B C' D - Grup 4: →
B' C D'
Combinant els termes simplificats, l’expressió resultant és:
F(A, B, C, D) = B'C'D' + BCD + BC'D + B'CD'
2.2 Mapa de Karnaugh amb 3 grups
| CD | ||||
|---|---|---|---|---|
| AB | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 01 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 11 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Combinant els termes simplificats, l’expressió resultant és:
F(A, B, C, D) = BCD + BC'D + B'D'
El següent pas és construir el circuit utilitzant:
- Portes AND per cada terme.
- Portes OR per combinar-los.
El circuit resultant és més eficient i requereix menys portes lògiques.
Simplificació Total amb regles Booleanes després de Karnaugh
Encara es pot simplificar més l’expressió booleana:
\[F(A, B, C, D) = BCD + BC’D + B’D’\]
Pas 1: Factorització per termes comuns
Observem que podem agrupar termes:
\[F = BCD + BC’D + B’D’\]
Agrupem els dos primers termes:
\[F = B D (C + C’) + B’D’\]
Com que \( C + C’ = 1 \), es redueix a:
\[F = BD + B’D’\]
Pas 2: Aplicació de la propietat XNOR
L’expressió final es pot escriure com:
\[F = B \odot D\]
Així doncs, la simplificació final de l’expressió és:
\[F(A, B, C, D) = B \odot D\]
Fixa’t que podríem haver fet l’agrupació de 4 “1” interna i l’agrupació de les 4 cantonades de la taula de Karnaugh (recorda que és un toroide de taula) i ja ho tenim tot simplificat.
2.3. Mapa de Karnaugh amb 2 grups
Aquest mapa agrupa els 4 uns de les cantonades i els 4 uns centrals, resultant en la funció simplificada:
F(A, B, C, D) = B ⊙ D
| AB | CD | |||
|---|---|---|---|---|
| 00 | 01 | 11 | 10 | |
| 00 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 01 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 11 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Grup de cantonades (4 uns): Determina el terme B' · D' (ja que en les cantonades B=0 i D=0 són constants).
Grup central (4 uns): Determina el terme B · D (on B=1 i D=1 són constants).
Així, la funció simplificada és:
F(A, B, C, D) = B’·D’ + B·D = B ⊙ D
Simplificació de Funcions Lògiques
En l’àlgebra de Boole, la simplificació de funcions lògiques permet reduir el nombre de termes per optimitzar circuits digitals.
Regles bàsiques
- Identitat:
A · 1 = A,A + 0 = A - Complementació:
A · A' = 0,A + A' = 1 - Idempotència:
A · A = A,A + A = A - Distributiva:
A · (B + C) = A · B + A · C - Absorció:
A + A · B = A - Associativa:
(A + B) + C = A + (B + C),(A · B) · C = A · (B · C) - De Morgan:
(A · B)' = A' + B',(A + B)' = A' · B'
Definicions de portes lògiques
Definició de NOT
NOT (¯): La sortida és la inversa del valor d’entrada.
Regla booleana: Y = A'
Taula de veritat NOT
| A | A’ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Definició de AND
AND (·): La sortida és 1 si totes les entrades són 1.
Regla booleana: A · B = AB
Taula de veritat AND
| A | B | A · B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Definició de OR
OR (+): La sortida és 1 si almenys una de les entrades és 1.
Regla booleana: A + B
Taula de veritat OR
| A | B | A + B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Definició de NAND
NAND: La sortida és 0 només si totes les entrades són 1.
Regla booleana: A NAND B = (A · B)'
Taula de veritat NAND
| A | B | A NAND B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Definició de NOR
NOR: La sortida és 1 només si totes les entrades són 0.
Regla booleana: A NOR B = (A + B)'
Taula de veritat NOR
| A | B | A NOR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Definició de XOR i XNOR
XOR (⊕): La sortida és 1 si exactament un dels valors d’entrada és 1.
Regla booleana: A ⊕ B = (A · B') + (A' · B)
XNOR (⊙): La sortida és 1 si els valors d’entrada són iguals.
Regla booleana: A ⊙ B = (A · B) + (A' · B')
Taula de veritat XOR
| A | B | A ⊕ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Taula de veritat XNOR
| A | B | A ⊙ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Pots trobar si has fet la simplificació de portes lògiques correcta introduint els minterms de la teva funció lògica no simplificada en el meu simplificador online.
Explicació senzilla de l’algorisme Quine-McCluskey.
Agrupaments b i c de cobertura equivalent i simplificació millor que d