Exercici 2: Control d’encesa del llum
El sistema digital rep un número codificat en binari amb quatre bits (variables a, b, c, d, on a és el bit més significatiu i d el menys significatiu). El llum (l) s’ha d’encendre si el número és 0 (0000) o si és un número senar (és a dir, si d = 1 perquè les sortides van de 0 a 15).
1. Taula de Veritat
Es mostra la taula de veritat amb totes les 16 combinacions possibles:
| a | b | c | d | l |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2. Expressió Lògica
La condició per encendre el llum és que el nombre sigui 0 (0000) o que sigui un número senar (amb d = 1). Utilitzant la notació d’àlgebra booleana amb:
- La suma (+) per a la disjunció.
- La multiplicació (· o implícita) per a la conjunció.
- La prima (‘) per a la negació.
L’expressió no simplificada és:
l = a'b'c'd' + d
On:
a’b’c’d’ representa la combinació 0000 (nombre 0)
i d representa tots els casos en què d = 1 (nombres senars).
3. Simplificació amb el Mapa de Karnaugh
Mitjançant el mapa de Karnaugh s’ha identificat que:
- Tots els minterms amb d = 1 es poden agrupar en un bloc que es representa per d.
- El minterm 0000 (a’b’c’d’) queda aïllat i s’ha de tenir en compte de manera independent.
La forma simplificada és:
l = d + a'b'c'd'
4. Mapa de Karnaugh amb Grups de Colors
A continuació es mostra el mapa de Karnaugh amb els grups identificats:
| ab | cd | |||
|---|---|---|---|---|
| 00 | 01 | 11 | 10 | |
| 00 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 01 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 11 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 10 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Explicació dels grups:
- Grup 1 (color verd clar): Totes les cel·les amb d = 1 (col. 01 i 11), que representen els nombres senars.
- Grup 2 (color blau clar): La cel·la corresponent al minterm 0000 (a’b’c’d’).
Resum
- Taula de veritat: Mostra les 16 combinacions possibles dels bits d’entrada i el resultat l.
- Expressió no simplificada: l = a’b’c’d’ + d.
- Simplificació amb Karnaugh: S’obté l’expressió simplificada: l = d + a’b’c’d’.
- Mapa de Karnaugh: Es destaquen els grups amb colors: verd clar per als minterms amb d = 1 i blau clar per al minterm 0000.