Problema de 5 Variables – Taula de Veritat, Karnaugh i Simplificació

Problema de 5 Variables

Enunciat del problema: Un sistema activa una sortida F segons les condicions següents. Se’ns demana obtenir la funció lògica no simplificada (en forma de suma de minterms), representar-la en taula de la veritat, dissenyar els mapes de Karnaugh per a cada capa (segons el valor de la variable E) amb grups ressaltats en colors (tenint en compte costats i cantonades), i finalment optimitzar-la pas a pas.

1. Taula de la Veritat

Considerem les variables A, B, C, D, E. Definim la funció no simplificada per minterms de la següent manera:

F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)

És a dir, la funció és 1 en els següents casos:

Per E = 0: quan les parelles de les primeres dues variables (A B) són iguals, és a dir, 00 o 11. Això dóna els minterms:
m(0), m(2), m(4), m(6) (fila amb AB = 00) i
m(24), m(26), m(28), m(30) (fila amb AB = 11).
Per E = 1: quan A B són diferents, és a dir, 01 o 10. Això dóna els minterms:
m(9), m(11), m(13), m(15) (fila amb AB = 01) i
m(17), m(19), m(21), m(23) (fila amb AB = 10).

La funció no simplificada s’expressa com la suma de tots aquests minterms.

2. Mapes de Karnaugh per a 5 Variables

Dividim el problema en dues capes segons el valor de la variable E.

Capa E = 0

En la capa E = 0, la taula de Karnaugh (per a les variables A, B, C, D) es construeix amb les files ordenades per AB: 00, 01, 11, 10 i les columnes per CD: 00, 01, 11, 10.
Aquí F = 1 quan AB = 00 o AB = 11; per tant, marquem totes les cel·les de la fila 00 i de la fila 11 amb 1.

Karnaugh per E = 0
AB	CD
AB	00	01	11	10
00	1	1	1	1
01	0	0	0	0
11	1	1	1	1
10	0	0	0	0

Capa E = 1

En la capa E = 1, la funció és 1 quan AB = 01 o AB = 10; per tant, totes les cel·les de les files corresponents es marquen amb 1.

Karnaugh per E = 1
AB	CD
AB	00	01	11	10
00	0	0	0	0
01	1	1	1	1
11	0	0	0	0
10	1	1	1	1

3. Simplificació Pas a Pas

Observem que en cada capa la funció depèn únicament del patró de les primeres dues variables A i B:

Per E = 0: F = 1 quan AB = 00 o 11. Això és equivalent a la condició que A i B siguin iguals, és a dir, A XNOR B.
Per E = 1: F = 1 quan AB = 01 o 10, és a dir, quan A i B són diferents, o A XOR B.

Per tant, podem expressar la funció global com:

F = (E' · (A XNOR B)) + (E · (A XOR B))

Aquesta expressió també es pot reescriure combinant els termes en una sola operació XOR:

F = (A XNOR B) XOR E

Justificació: Quan E = 0, la sortida coincideix amb A XNOR B; quan E = 1, la sortida és l’invers de A XNOR B (és a dir, A XOR B). Aquesta propietat és la mateixa que la definició de l’operació XOR aplicada entre (A XNOR B) i E.

4. Resum Final

Funció no simplificada:
F(A, B, C, D, E) = Σ m(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30)

Funció simplificada:
F = (E' · (A XNOR B)) + (E · (A XOR B)) = (A XNOR B) XOR E

Com Funcionen les Capes en un Mapa de Karnaugh de 5 Variables

1. Per què es fan capes?

Un mapa de Karnaugh de 4 variables té 16 cel·les (perquè 2⁴ = 16).

Amb una cinquena variable, el nombre total de combinacions possibles és 32 (perquè 2⁵ = 32).

Com que un mapa tradicional només pot mostrar 16 cel·les, es divideix en dues capes diferents.

2. Organització de les Capes

Capa	Condició
Capa 1	E = 0
Capa 2	E = 1

3. Agrupaments entre Capes

Les cel·les de la mateixa posició en cada capa es poden agrupar per formar blocs més grans i simplificar la funció.

Exemple: Si en la posició (0,0) del mapa E=0 i en la mateixa posició del mapa E=1 hi ha un 1, es poden agrupar verticalment.

Tecnologia i Enginyeria

5-6 Variables