3 variables





Solució Pas a Pas amb Grups de Karnaugh de Colors


Solució Pas a Pas

1. Circuit d’Alarma Contra Robatoris

Es dissenya una alarma per a un banc amb 4 entrades:

  • A: Interruptor secret de control (A = 1 quan està tancat).
  • B: Sensor de pressió de la caixa forta (B = 1 quan està en posició normal).
  • C: Rellotge (C = 1 quan l’hora és entre les 10:00 i les 14:00).
  • D: Interruptor de la porta de la caixa forta (D = 1 quan la porta està tancada).

La alarma (F = 1, timbre sonant) s’activa en qualsevol d’aquestes situacions:

  1. La caixa es mou amb el control tancat:
    Com que la caixa es mou si B = 0 i el control està tancat (A = 1), la condició és:

    A · B
  2. La habitació de la caixa forta s’obre fora d’hores hàbils:
    Fora d’hores hàbils implica que el rellotge no marca entre les 10 i les 14 (C = 1) i, com que la caixa forta s’obre, la porta està oberta (D = 1). La condició és:

    C · D
  3. La caixa forta s’obre amb el control obert:
    Aquí, la caixa forta està oberta (D = 1) i el control també està obert (A = 1), donant:

    A · D

Per evitar confusions, en aquesta representació els símbols s’interpreten així:
– La negació d’una variable X es mostra com X.
– El producte lògic s’indica amb ·.

La funció lògica resultant és: 

F(A, B, C, D) = A · B + C · D + A · D

Construcció del Map de Karnaugh

Es numeraran els minterms corresponents. Tenim 4 variables (A, B, C, D) i utilitzarem l’ordre de Gray per les files i columnes:

  • Files (AB): 00, 01, 11, 10.
  • Columnes (CD): 00, 01, 11, 10.

Minterms inclosos en F:

  • A · B: A = 1, B = 0, sense restricció sobre C i D → minterms: 8, 9, 10, 11.
  • C · D: C = 0, D = 0, qualsevol A i B → minterms: 0, 4, 8, 12.
  • A · D: A = 0, D = 0, qualsevol B i C → minterms: 0, 2, 4, 6.

La unió dels minterms és: 0, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12.

Taula del Karnaugh per l’Alarma:

AB \ CD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1

Explicació dels Grups:

  •   Grup 1 (vermell): Totes les cel·les de la fila “10” corresponen a A · B (minterms 8, 9, 10, 11).
  •   Grup 2 (verd): La columna “00” completa té cel·les on C = 0 i D = 0 (minterms 0, 4, 8, 12) corresponent a C · D.
  •   Grup 3 (blau): Les cel·les de les primeres dues files en les columnes “00” i “10” (minterms 0, 2, 4, 6) corresponen a A · D.

D’aquesta forma, la simplificació amb els mapes de Karnaugh confirma la funció:
F(A, B, C, D) = A · B + C · D + A · D

2. Circuit de Votació Familiar per Triar el Restaurant

La família Pérez (on en Juan i la Maria són els pares i en José i la Susanna els fills) vota per triar entre:

  • Hamburgueses (representat per 1)
  • Pollastre (representat per 0)

Les regles són:

  • Si els pares estan d’acord, el seu vot determina el resultat.
  • Si no hi ha acord entre els pares, guanya la majoria (la suma dels 4 vots ha de ser majoritària).
  • En cas d’empat, es tria pollastre (0).

Variables:

  • A: vot d’en Juan.
  • B: vot de la Maria.
  • C: vot de l’en José.
  • D: vot de la Susanna.

Una expressió lògica que compleix aquestes regles és: 

F(A, B, C, D) = A · B + (A ⊕ B) · C · D

On:

  • A · B cobreix el cas en què els pares estan d’acord (si voten hamburgueses, F = 1; si voten pollastre, F = 0).
  • A ⊕ B (XOR) és 1 quan els pares estan en desacord.
  • En cas de desacord, només si ambdós fills voten hamburgueses (C · D = 1) es decideix per hamburgueses (F = 1). En qualsevol altre cas, el resultat serà pollastre (0).

Construcció del Map de Karnaugh per la Votació

També s’utilitzen 4 variables (A, B, C, D) amb:

  • Files (AB): 00, 01, 11, 10.
  • Columnes (CD): 00, 01, 11, 10.

Minterms on F = 1:

  • Term 1: A · B: Per A = 1 i B = 1 (sense restricció sobre C i D) → minterms: 12, 13, 14, 15.
  • Term 2: (A ⊕ B) · C · D:

    – Per A = 0, B = 1, C = 1, D = 1 → minterm: 7.

    – Per A = 1, B = 0, C = 1, D = 1 → minterm: 11.

La unió dels minterms és: 7, 11, 12, 13, 14, 15.

Taula del Karnaugh per la Votació:

AB \ CD 00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 0 1 0
11 1 1 1 1
10 0 0 1 0

Explicació dels Grups:

  •   Grup 1 (vermell): Tota la fila “11” (A = 1, B = 1) representa el cas en què els pares estan d’acord (A · B).
  •   Grup 2 (taronja): Les cel·les de la columna “11” a les files “01” i “10” corresponen als minterms 7 i 11, provinents de (A ⊕ B) · C · D.

Raonament del Grup Taronja

El grup taronja es correspon amb la part de la funció que prové de la situació en què els pares estan en desacord (és a dir, la funció XOR: A ⊕ B) i, a més, els dos fills voten per hamburgueses (és a dir, C = 1 i D = 1).

  1. Definició de variables en el context de la votació:

    • A: vot d’en Juan.
    • B: vot de la Maria.
    • C: vot d’en José.
    • D: vot de la Susanna.
  2. Cas en què els pares estan en desacord:
    La funció XOR, A ⊕ B, és 1 quan un dels pares vota 1 i l’altre vota 0.
  3. Condició addicional per a la decisió:
    Per triar hamburgueses en cas de desacord, és necessari que els fills votin per hamburgueses, és a dir, C = 1 i D = 1.
  4. Combinació en la funció:
    La part de la funció que representa aquesta situació és (A ⊕ B) · C · D.
  5. Representació en el mapa de Karnaugh:
    Els minterms associats a (A ⊕ B) · C · D són aquells on C i D són 1 (la columna 11) i les files corresponents a les combinacions on A ⊕ B = 1 (és a dir, AB = 01 i AB = 10). Aquest grup es destaca amb el color taronja.

Per tant, el grup taronja en el mapa de Karnaugh representa exactament la combinació de condicions: els pares en desacord i els fills votant per hamburgueses, donant com a expressió (A ⊕ B) · C · D.

Així, el mapa de Karnaugh confirma la funció:
F(A, B, C, D) = A · B + (A ⊕ B) · C · D

Resumeixo:

S’han dissenyat dos circuits lògics:

  • Alarma Contra Robatoris: La funció és
    F(A, B, C, D) = A · B + C · D + A · D,
    analitzada amb un mapa de Karnaugh amb tres grups de colors.
  • Circuit de Votació Familiar: La funció és
    F(A, B, C, D) = A · B + (A ⊕ B) · C · D,
    amb un mapa de Karnaugh que ressalta el cas dels pares i el cas de desacord amb el vot dels fills.


Altre lloc XTECBlocs