Càlcul del Gel Necessari per Refredar Begudes

Hipòtesis del model

• El sistema està tèrmicament aïllat (sense pèrdues de calor).
• La beguda està perfectament barrejada.
• S’assoleix l’equilibri tèrmic.
• El gel comença a −18 °C.
• El gel que es fon es comporta com a aigua líquida.
• En begudes alcohòliques, les propietats són mitjanes ponderades.

---

Dades físiques utilitzades

• Calor específica de l’aigua: $c_{\text{aigua}} = 4186\ \text{J/kg·°C}$
• Calor específica del gel: $c_{\text{gel}} = 2090\ \text{J/kg·°C}$
• Calor latent de fusió del gel: $L_f = 334000\ \text{J/kg}$

---

Exemple 1: Beguda sense alcohol (33 cl)

Beguda assimilada a aigua pura, refredada de 25 °C a 5 °C.

Energia que ha de perdre la beguda

$$
Q_{\text{beguda}} = m\,c\,\Delta T
$$

$$
Q_{\text{beguda}} = 0.33 \cdot 4186 \cdot 20 = 27629\ \text{J}
$$

Energia absorbida pel gel

$$
Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}}
\left(
c_{\text{gel}}\cdot 18
+ L_f
+ c_{\text{aigua}}\cdot 5
\right)
$$

$$
Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot 392550
$$

Equilibri tèrmic

$$
m_{\text{gel}} = \frac{27629}{392550} = 0.070\ \text{kg}
$$

Resultat: es necessiten aproximadament 70 g de gel.

---

Exemple 2: Beguda amb 45% d’alcohol (33 cl)

Densitat mitjana

$$
\rho = 0.55\cdot1000 + 0.45\cdot789 = 905\ \text{kg/m}^3
$$

$$
m = 905 \cdot 0.00033 = 0.299\ \text{kg}
$$

Calor específica de la mescla

$$
c = 0.55\cdot4186 + 0.45\cdot2400 = 3402\ \text{J/kg·°C}
$$

Energia a dissipar

$$
Q_{\text{beguda}} = 0.299 \cdot 3402 \cdot 20 = 20306\ \text{J}
$$

Massa de gel necessària

$$
m_{\text{gel}} = \frac{20306}{392550} = 0.052\ \text{kg}
$$

Resultat: es necessiten aproximadament 52 g de gel.

---

Temperatura final amb glaçons (55 g cadascun)

Energia absorbida per un glaçó

$$
Q_{\text{glaçó}} = 0.055 \cdot (2090\cdot18 + 334000) = 20491\ \text{J}
$$

Coca-Cola

$$
T_f = 25 – \frac{n\cdot20491}{0.33\cdot4186}
$$

Glaçons	$T_f$
1	10.2 °C
2	0 °C (gel restant)
3	0 °C (més gel)

Beguda amb 45% d’alcohol

$$
T_f = 25 – \frac{n\cdot20491}{0.299\cdot3402}
$$

Glaçons	$T_f$
1	4.9 °C
2	-15.3 °C

La beguda amb alcohol pot romandre líquida fins a temperatures pròximes als
-24 °C, segons dades experimentals.

---

Punt de congelació de mescles aigua–alcohol

Per concentracions elevades d’etanol, el descens crioscòpic ideal
no és aplicable.
Els valors correctes s’obtenen experimentalment.

% alcohol (v/v)	Punt de congelació
30%	-12 °C
40%	-23 °C
45%	-24 a -25 °C
50%	-26 °C

---

Conclusió

• Begudes alcohòliques necessiten menys gel per refredar-se.
• Amb prou gel, poden assolir temperatures negatives sense congelar-se.
• Els resultats són coherents amb la termodinàmica i dades experimentals.