Càlcul del Gel Necessari per Refredar Begudes

Enunciat:

Es vol refredar una beguda amb gel, i cal calcular la quantitat de gel necessària per aconseguir-ho. Considerarem dos casos diferents:
una beguda sense alcohol (Coca-Cola) i una beguda amb 45% d’alcohol.

Exemple 1: Coca-Cola (33 cl, 25°C a 5°C)

Suposarem que la beguda és aigua pura i que la volem refredar des de 25°C fins a 5°C.
El gel s’ha de fondre a 0°C i comença a -18°C.

Dades:

• Volum de la beguda: 33 cl = 0.33 L
• Temperatura inicial de la beguda: 25°C
• Temperatura final de la beguda: 5°C
• Calor específica de l’aigua: \( c_{\text{aigua}} = 4186 \, \text{J/kg·°C} \)
• Calor latent de fusió del gel: \( L_f = 334000 \, \text{J/kg} \)
• Capacitat calorífica del gel: \( c_{\text{gel}} = 2090 \, \text{J/kg·°C} \)
• Temperatura inicial del gel: -18°C

Exemple 2: Beguda amb 45% d’Alcohol (33 cl, 25°C a 5°C)

En aquest cas, la beguda és una mescla de 45% d’alcohol i 55% d’aigua.
La capacitat calorífica de la beguda serà una mitjana ponderada tenint en compte les propietats de l’aigua i l’alcohol.

Dades:

• Volum de la beguda: 33 cl = 0.33 L
• Temperatura inicial de la beguda: 25°C
• Temperatura final de la beguda: 5°C
• Calor específica de l’aigua: \( c_{\text{aigua}} = 4186 \, \text{J/kg·°C} \)
• Calor específica de l’alcohol etílic: \( c_{\text{alcohol}} = 2400 \, \text{J/kg·°C} \)
• Densitat de l’aigua: \( \rho_{\text{aigua}} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)
• Densitat de l’alcohol etílic: \( \rho_{\text{alcohol}} = 789 \, \text{kg/m}^3 \)

Què s’ha de calcular:

Per a ambdós casos, cal calcular la quantitat de gel necessària per refredar la beguda des de 25°C fins a 5°C.
Per això, caldrà resoldre els següents passos:

1. Calcular l’energia que s’ha de dissipar per refredar la beguda. La fórmula per a la calor dissipada per la beguda és:
   \[
   Q_{\text{beguda}} = m_{\text{beguda}} \cdot c_{\text{beguda}} \cdot \Delta T
   \]
2. Calcular l’energia absorbida pel gel, tenint en compte que el gel es fon i es calenta fins a 0°C. La fórmula per a l’energia absorbida pel gel és:
   \[
   Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot L_f + m_{\text{gel}} \cdot c_{\text{gel}} \cdot \Delta T
   \]
3. Equilibrar les dues energies per obtenir la massa de gel necessària:
   \[
   Q_{\text{beguda}} = Q_{\text{gel}}
   \]

Resol les equacions per trobar la massa de gel necessària en cada cas.

Exemple 1: Coca-Cola (33 cl, 25 °C a 5 °C)

Afegint el terme d’escalfament del gel:

Energia a dissipar per la beguda:

\[
Q_{\text{beguda}} = m_{\text{beguda}} \cdot c_{\text{beguda}} \cdot \Delta T
\]
On:
– \(m_{\text{beguda}} = 0.33\,\text{kg}\)
– \(c_{\text{beguda}} = 4186\,\text{J/kg·°C}\) (capacitat calorífica de l’aigua)
– \(\Delta T = 25\,°C – 5\,°C = 20\,°C\)

\[
Q_{\text{beguda}} = 0.33\,\text{kg} \cdot 4186\,\text{J/kg·°C} \cdot 20\,°C = 27628.8 \, \text{J}
\]

Energia absorbida pel gel:

\[
Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot c_{\text{gel}} \cdot \Delta T_{\text{gel}} + m_{\text{gel}} \cdot L_f + m_{\text{gel}} \cdot c_{\text{aigua}} \cdot \Delta T_{\text{aigua}}
\]
On:
– \(c_{\text{gel}} = 2090\,\text{J/kg·°C}\) (capacitat calorífica del gel)
– \(\Delta T_{\text{gel}} = 0\,°C – (-18\,°C) = 18\,°C\)
– \(L_f = 334000\,\text{J/kg}\) (calor latent de fusió de l’aigua)
– \(c_{\text{aigua}} = 4186\,\text{J/kg·°C}\)
– \(\Delta T_{\text{aigua}} = 5\,°C – 0\,°C = 5\,°C\)

Substituint:
\[
Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot (2090\,\text{J/kg·°C} \cdot 18\,°C + 334000\,\text{J/kg} + 4186\,\text{J/kg·°C} \cdot 5\,°C)
\]
\[
Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot (37620\,\text{J/kg} + 334000\,\text{J/kg} + 20930\,\text{J/kg})
\]
\[
Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot 392550\,\text{J/kg}
\]

Equilibri tèrmic:

\[
Q_{\text{beguda}} = Q_{\text{gel}}
\]

Resolent per \(m_{\text{gel}}\):
\[
m_{\text{gel}} = \frac{27628.8\,\text{J}}{392550\,\text{J/kg}} = 0.07 \, \text{kg} = 70 \, \text{g}
\]

Exemple 2: Beguda amb 45% d’Alcohol (33 cl, 25 °C a 5 °C)

1. Càlcul de la densitat de la beguda:

\[
\rho_{\text{beguda}} = x_{\text{aigua}} \cdot \rho_{\text{aigua}} + x_{\text{alcohol}} \cdot \rho_{\text{alcohol}}
\]
On:
– \(x_{\text{aigua}} = 0.55\), \(x_{\text{alcohol}} = 0.45\)
– \( \rho_{\text{aigua}} = 1000\,\text{kg/m}^3 \), \( \rho_{\text{alcohol}} = 789\,\text{kg/m}^3 \)

\[
\rho_{\text{beguda}} = (0.55 \cdot 1000\,\text{kg/m}^3) + (0.45 \cdot 789\,\text{kg/m}^3) = 905.05\,\text{kg/m}^3
\]

2. Massa de la beguda (per 0.33 L):

\[
V = 0.33\,\text{L} = 0.00033\,\text{m}^3
\]
\[
m_{\text{beguda}} = \rho_{\text{beguda}} \cdot V = 905.05\,\text{kg/m}^3 \cdot 0.00033\,\text{m}^3 = 0.2987\,\text{kg} = 298.7\,\text{g}
\]

3. Càlcul de la calor específica de la barreja:

\[
c_{\text{mixt}} = x_{\text{aigua}} \cdot c_{\text{aigua}} + x_{\text{alcohol}} \cdot c_{\text{alcohol}}
\]
On:
– \(c_{\text{aigua}} = 4186\,\text{J/kg·°C}\), \(c_{\text{alcohol}} = 2400\,\text{J/kg·°C}\)

\[
c_{\text{mixt}} = (0.55 \cdot 4186\,\text{J/kg·°C}) + (0.45 \cdot 2400\,\text{J/kg·°C}) = 3402\,\text{J/kg·°C}
\]

4. Energia a dissipar per la beguda:

\[
Q_{\text{beguda}} = m_{\text{beguda}} \cdot c_{\text{mixt}} \cdot \Delta T
\]
On:
– \(m_{\text{beguda}} = 0.2987\,\text{kg}\)
– \(c_{\text{mixt}} = 3402\,\text{J/kg·°C}\)
– \(\Delta T = 25\,°C – 5\,°C = 20\,°C\)

\[
Q_{\text{beguda}} = 0.2987\,\text{kg} \cdot 3402\,\text{J/kg·°C} \cdot 20\,°C = 20306.3\,\text{J}
\]

5. Energia absorbida pel gel:

\[
Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot (37620\,\text{J/kg} + 334000\,\text{J/kg} + 20930\,\text{J/kg}) = m_{\text{gel}} \cdot 392550\,\text{J/kg}
\]

6. Equilibri tèrmic:

\[
Q_{\text{beguda}} = Q_{\text{gel}}
\]

Resolent per \(m_{\text{gel}}\):
\[
m_{\text{gel}} = \frac{20306.3\,\text{J}}{392550\,\text{J/kg}} = 0.0517\,\text{kg} = 51.7\,\text{g}
\]

Resultat Final:

Per refredar una beguda amb 45% d’alcohol de 25 °C a 5 °C, es necessiten aproximadament 51.7 g de gel.

Càlcul de la Temperatura Final amb Diferents Quantitats de Glaçons

Dades Inicials

Considerem dues begudes de 33 cl a 25 °C:

• Coca-Cola: aigua pura amb capacitat calorífica específica \(c_{\text{aigua}} = 4186\,\text{J/kg·°C}\).
• Beguda amb 45% d’alcohol: mescla amb calor específica calculada més avall.

Cada glaçó té una massa de 55 g i està a -18 °C.

Fórmules Generals

Energia absorbida pel gel (per glaçó):

\[
Q_{\text{gel}} = m_{\text{gel}} \cdot c_{\text{gel}} \cdot \Delta T_{\text{gel}} + m_{\text{gel}} \cdot L_f + m_{\text{gel}} \cdot c_{\text{aigua}} \cdot (T_f – 0)
\]
On:

• \(m_{\text{gel}} = 0.055\,\text{kg}\)
• \(c_{\text{gel}} = 2090\,\text{J/kg·°C}\)
• \(\Delta T_{\text{gel}} = 0 – (-18) = 18\,°C\)
• \(L_f = 334000\,\text{J/kg}\)
• \(c_{\text{aigua}} = 4186\,\text{J/kg·°C}\)

1. Càlcul de la Temperatura Final de la Coca-Cola

Energia necessària per fondre i escalfar el gel:

\[
Q_{\text{gel per glaçó}} = 0.055 \cdot (2090 \cdot 18 + 334000) = 0.055 \cdot (37620 + 334000) = 20491.1\,\text{J}
\]

Si el gel es fon completament i arriba a l’equilibri tèrmic amb la beguda, l’energia cedida per la beguda serà:

\[
Q_{\text{beguda}} = m_{\text{beguda}} \cdot c_{\text{aigua}} \cdot (T_i – T_f)
\]
On:

• \(m_{\text{beguda}} = 0.33\,\text{kg}\)
• \(T_i = 25\,°C\)

Càlculs per 1, 2 i 3 glaçons:

Amb 1 glaçó:

\[
Q_{\text{gel total}} = 20491.1\,\text{J}
\]
\[
20491.1 = 0.33 \cdot 4186 \cdot (25 – T_f)
\]
\[
20491.1 = 1381.38 \cdot (25 – T_f)
\]
\[
25 – T_f = \frac{20491.1}{1381.38} = 14.83\,°C
\]
\[
T_f = 25 – 14.83 = 10.17\,°C
\]

Amb 2 glaçons:

\[
Q_{\text{gel total}} = 2 \cdot 20491.1 = 40982.2\,\text{J}
\]
\[
40982.2 = 1381.38 \cdot (25 – T_f)
\]
\[
25 – T_f = \frac{40982.2}{1381.38} = 29.66\,°C
\]
\[
T_f = 25 – 29.66 = -4.66\,°C
\]
La temperatura final no pot ser inferior a 0 °C perquè l’aigua no pot mantenir-se líquida sota aquesta temperatura. Per tant, part del gel no es fondrà i la temperatura final serà 0 °C.

Amb 3 glaçons:

\[
Q_{\text{gel total}} = 3 \cdot 20491.1 = 61473.3\,\text{J}
\]
Aquesta energia excedeix el necessari per portar la Coca-Cola a 0 °C, així que la temperatura final serà de 0 °C i quedaran glaçons sense fondre.

2. Càlcul de la Temperatura Final de la Beguda amb 45% d’Alcohol

1. Densitat de la beguda:

\[
\rho_{\text{beguda}} = 0.55 \cdot 1000 + 0.45 \cdot 789 = 905.05\,\text{kg/m}^3
\]
\[
m_{\text{beguda}} = 905.05 \cdot 0.00033 = 0.2987\,\text{kg}
\]

2. Calor específica de la beguda:

\[
c_{\text{mixt}} = 0.55 \cdot 4186 + 0.45 \cdot 2400 = 3402\,\text{J/kg·°C}
\]

3. Energia cedida per la beguda:

\[
Q_{\text{beguda}} = 0.2987 \cdot 3402 \cdot (25 – T_f)
\]
\[
Q_{\text{beguda}} = 1016.6 \cdot (25 – T_f)
\]

Amb 1 glaçó:

\[
20491.1 = 1016.6 \cdot (25 – T_f)
\]
\[
25 – T_f = \frac{20491.1}{1016.6} = 20.15\,°C
\]
\[
T_f = 25 – 20.15 = 4.85\,°C
\]

Amb 2 glaçons:

\[
40982.2 = 1016.6 \cdot (25 – T_f)
\]
\[
25 – T_f = \frac{40982.2}{1016.6} = 40.30\,°C
\]
\[
T_f = 25 – 40.30 = -15.3\,°C
\]
Com que la beguda amb alcohol pot romandre líquida a temperatures negatives, la temperatura final serà de -15.3 °C.

Resultats Finals

Gràfic de la Temperatura Final vs Nombre de Glaçons

Fórmules Generals

Relació entre temperatura i nombre de glaçons:

\[
T_f = T_i – \frac{n \cdot Q_{\text{gel per glaçó}}}{m_{\text{beguda}} \cdot c_{\text{beguda}}}
\]
On:

• \(n\) és el nombre de glaçons.
• Per begudes amb alcohol: \(c_{\text{beguda}}\) varia segons el percentatge d’alcohol.

Càlcul de la Capacitat Calorífica de la Beguda

La capacitat calorífica específica de la beguda es pot calcular amb la següent fórmula:

\[
c_{\text{beguda}} = (1 – x) \cdot c_{\text{aigua}} + x \cdot c_{\text{alcohol}}
\]

On:

• \( x \) és la fracció d’alcohol en la beguda (per exemple, \( x = 0.45 \) per un 45% d’alcohol).
• \( c_{\text{aigua}} = 4186 \, \text{J/kg·°C} \) és la calor específica de l’aigua.
• \( c_{\text{alcohol}} = 2400 \, \text{J/kg·°C} \) és la calor específica de l’alcohol etílic.

Exemple per a una beguda amb un 45% d’alcohol:

\[
c_{\text{beguda}} = (1 – 0.45) \cdot 4186 + 0.45 \cdot 2400
\]

\[
c_{\text{beguda}} = 0.55 \cdot 4186 + 0.45 \cdot 2400 = 3402 \, \text{J/kg·°C}
\]

Punt de Congelació de Mescles d’Alcohol i Aigua

1. Fórmula del Descens Crioscòpic

El punt de congelació d’una mescla d’aigua i alcohol es pot calcular utilitzant la fórmula del descens crioscòpic:

\[
\Delta T_f = K_f \cdot m
\]
On:

• \(\Delta T_f\) és el descens en el punt de congelació (°C).
• \(K_f\) és la constant crioscòpica de l’aigua, \(1.86\,°C\,\text{kg/mol}\).
• \(m\) és la molalitat de la solució (mol d’alcohol per kg d’aigua).

2. Càlcul del Descens Crioscòpic per una Beguda amb 45% d’Alcohol

Suposem que tenim una beguda amb un 45% d’alcohol (etanol) i 55% d’aigua. El procés és el següent:

1. Massa de la mescla (per 1 kg de solució):

• Massa d’aigua: \(0.55\,\text{kg}\)
• Massa d’etanol: \(0.45\,\text{kg}\)

2. Quantitat de mols d’etanol:

La massa molar de l’etanol és \(46.07\,\text{g/mol}\).

\[
n_{\text{etanol}} = \frac{0.45\,\text{kg}}{46.07\,\text{g/mol}} = \frac{450\,\text{g}}{46.07\,\text{g/mol}} \approx 9.77\,\text{mol}
\]

3. Molalitat de la solució:

\[
m = \frac{9.77\,\text{mol}}{0.55\,\text{kg}} \approx 17.76\,\text{mol/kg}
\]

4. Descens en el punt de congelació:

\[
\Delta T_f = 1.86\,\frac{°C \cdot \text{kg}}{\text{mol}} \cdot 17.76\,\frac{\text{mol}}{\text{kg}} \approx 33.02\,°C
\]

5. Punt de congelació de la mescla:

El punt de congelació de l’aigua pura és \(0\,°C\), així que:

\[
T_f = 0\,°C – 33.02\,°C = -33.02\,°C
\]

Això indica que una mescla amb un 45% d’alcohol té un punt de congelació al voltant de -33 °C. Tanmateix, en la pràctica, el punt de congelació pot ser una mica menys extrem degut a la no idealitat de la solució. Valors experimentals suggereixen un punt de congelació proper als -24 °C a -25 °C.

3. Exemples Pràctics

La següent taula mostra punts de congelació aproximats per diferents percentatges d’alcohol en aigua:

4. Fórmula General Aproximada per Estimar el Punt de Congelació

Una fórmula aproximada basada en dades experimentals per mescles d’alcohol i aigua és:

\[
T_f \approx -0.3 \cdot \% \text{Alcohol} – 0.05 \cdot (\% \text{Alcohol})^2
\]

On \( \% \text{Alcohol} \) és el percentatge d’alcohol en volum.

Exemple per 45% d’alcohol:

\[
T_f \approx -0.3 \cdot 45 – 0.05 \cdot (45)^2
\]
\[
T_f \approx -13.5 – 101.25 = -24.75\,°C
\]

Aquest resultat coincideix amb els valors experimentals.

5. Conclusió

Amb un 45% d’alcohol, una beguda no es congelarà a -15 °C, ja que el seu punt de congelació és al voltant de -24 °C a -25 °C. Per tant, la beguda seguirà estant líquida a aquesta temperatura.

Taxa de Fusió i Temps de Fusió d’un Glaçó

Suposem que la taxa de fusió és de 5 W (és a dir, 5 joules per segon). Això vol dir que cada segon es proporcionen 5 J per fondre el glaçó.

L’energia total necessària per fondre un glaçó depèn de la seva massa i del calor latent de fusió de l’aigua. La fórmula és:

$$ Q = m \cdot L_f $$

On:

• \( m \) és la massa del glaçó (en kg).
• \( L_f \) és el calor latent de fusió, que per a l’aigua és aproximadament \( 334\,000 \, \text{J/kg} \).

Per exemple, si tenim un glaçó de 55 g (és a dir, \( m = 0.055 \, \text{kg} \)), l’energia necessària serà:

$$ Q = 0.055 \, \text{kg} \times 334\,000 \, \text{J/kg} = 18\,370 \, \text{J} $$

Amb una potència de fusió de 5 W, el temps necessari per fondre completament el glaçó es pot calcular com:

$$ t = \frac{Q}{P} $$

On \( P = 5 \, \text{W} \). Substituïm:

$$ t = \frac{18\,370 \, \text{J}}{5 \, \text{J/s}} = 3\,674 \, \text{s} $$

Això equival a aproximadament:

$$ \frac{3\,674 \, \text{s}}{3600 \, \text{s/hora}} \approx 1.02 \, \text{hores} $$

Per tant, trigaria uns 3,674 segons, o aproximadament 1.02 hores, a fondre completament el glaçó.