Una igualtat plena de bellesa

Richard  Feynman   deia que les matemàtiques són el llenguatge en què parla la natura, i per això la seva bellesa és la de la mateixa natura. Aquesta frase sempre m’ha agradat, perquè és així com jo entenc las matemàtiques. Va ser un físic nord-americà que va revolucionar la manera en què la ciència entenia la naturalesa de les ones i les partícules elementals, considerat un dels físics més importants del seu país al segle XX.  També va fer moltes reflexions sobre la vida, perquè realment la vida és ciència. Alguna d’aquestes reflexions que més m’agrade és:«Enamora’t d’alguna activitat i fes-ho! Mai ningú realment es dóna compte del que es tracta la vida en realitat, i això no importa. Explora el món. Pràcticament tot al nostre voltant és realment interessant, si ho observes profundament. Treballa dur i com puguis en les coses que més t’agrada fer. No pensis en el que vols ser, sinó el que tu vols fer ».

No és una equació ni una fórmula, és una  identitat . La identitat d’Euler és una igualtat que relaciona d’una manera preciosa cinc dels nombres més importants i representatius de les matemàtiques: 0, 1, e, i i π.En aquest article s’explica   com es va arribar a aquesta meravellosa relació.

Per si algú li resulta una identitat estranya, a més de deduir el seu origen, l’article  ens recorda també com apareix amb molts més llocs que no ens pensem…

La identidad de Euler en 'Los Simpson'

http://elpais.com/elpais/2017/03/29/el_aleph/1490804008_573165.html

Al igual que en otras disciplinas, como la literatura, el arte o la música, dentro de las matemáticas también podemos encontrar belleza, mucha belleza. La geometría es, posiblemente, una de las ramas donde se pueden encontrar resultados más bellos (como, por ejemplo, el de la circunferencia de Feuerbach), pero también podemos encontrar bellezas matemáticas jugando con números (los cuadrados mágicos habituales y los menos habituales son buenos ejemplos de ello).

Pero estoy convencido de que la igualdad que os traigo hoy es, para muchos, el culmen de la belleza matemática. Me refiero, cómo no, a la identidad de Euler:

Identidad de Euler
Identidad de Euler

Ni ecuación (no hay en ella ninguna incógnita) ni fórmula (no hay ninguna relación entre magnitudes): igualdad o identidad de Euler. La identidad de Euler es una igualdad que relaciona de una manera preciosa cinco de los números más importantes y representativos de las matemáticas: 0, 1, e, i y π. Y hoy vamos a explicar cómo se llegó a esa maravillosa relación.

La identidad de Euler es un caso particular de la conocida como fórmula de Euler (no confundir con la fórmula de Euler para poliedros), aunque Roger Cotes ya publicó algo relacionado con ella antes que Euler (aunque no escrita de la forma habitual). La fórmula en cuestión aparece en Introductio in analysin infinitorum, posiblemente la obra más conocida e importante del gran Leonhard Euler. En la página 104 del Volumen I de la misma podemos ver cómo un desarrollo anterior culmina en la siguiente expresión:

Fórmula de Euler que aparece en la obra de Leonhard Euler
Fórmula de Euler que aparece en la obra de Leonhard Euler

Tomando v como un ángulo, y sabiendo que en la actualidad a √-1 se representa con la letra i, tenemos la que ahora conocemos como fórmula de Euler:

Fórmula de Euler en la forma que suele mostrrse en la actualidad
Fórmula de Euler en la forma que suele mostrrse en la actualidad

Aunque en este blog nos dedicamos a la divulgación matemática a nivel general, no queremos renunciar a los desarrollos matemáticos. Por ello, a continuación presentamos una demostración de dicha fórmula.


Partimos de la expresión de ex como serie de potencias:

Una igualdad rebosante de belleza 

En ella, sustituimos x por iz. Usando que i1=i, i2=-1, i3=-I y que i4=1 (y que el ciclo se repite de ahí en adelante), y separando después los términos de exponente par por un lado y los de exponente impar por otro tenemos lo siguiente:

Una igualdad rebosante de belleza

Y da la maravillosa casualidad de que los desarrollos en serie de cos(z) y sen(z)son exactamente esas dos últimas series (y en ese orden). Por tanto, ya tenemos la esperada y buscada fórmula de Euler:

Una igualdad rebosante de belleza

La identidad de Euler, protagonista de este artículo, sale de la fórmula de Euler al sustituir z por π, sabiendo que cos(π)=-1 y sen(π)=0 y sumando 1 a ambos lados de la ecuación:

Una igualdad rebosante de belleza

La tremenda belleza que rodea a esta identidad hace que aparezca de manera recurrente en muchos lugares. Es magnífica para aparecer en obras de arte, y los grafitis dan una buena prueba de ello. Hay muchos que tienen a la identidad de Euler como protagonista, y concretamente en Granada podemos encontrar unos cuantos. En la imagen tenéis un par de ejemplos. A la izquierda tenéis una que se puede ver en la calle Gonzalo Gallas, saliendo por la puerta trasera de la Facultad de Ciencias (muchísimas gracias a Antonio Bueno por acercarte a hacer la foto y por enviármela). Y a la derecha tenéis otra en la pared de una casa en el campo que encuentra en alguna de las salidas que hay en la autovía Jaen-Granada:

Una igualdad rebosante de belleza

Tengo que agradecer a Modesto, el autor de la foto, que se haya preocupado por buscarla y mandármela. Espero que pararas para hacerla, ya que admirar tanta belleza matemática en una sola expresión podría provocar un accidente.

Por cierto, en Pintando Granada podéis ver otro grafiti de la identidad de Eulerque puede contemplarse en esta maravillosa ciudad.

También podemos encontrarla en esa maravillosa serie de humor que lleva retratando a la sociedad americana (bueno, y a la mundial) desde hace muchos muchos años: Los Simpson. El frikismo científico es una característica común a gran parte de sus guionistas (Manuel Ansede nos habló de ello, centrado en las matemáticas, en Los diez mejores momentos matemáticos de ‘Los Simpson’), y ello ha propiciado que esta identidad aparezca en varios capítulos. Aquí tenéis algunas imágenes de los mismos:

La identidad de Euler en 'Los Simpson'
La identidad de Euler en ‘Los Simpson’

Y, cómo no, es también perfecta para modificaciones corporales. Es habitual verla en tatuajes, como éste que Eva me envió hace tiempo:

Una igualdad rebosante de belleza

o en éste del gran Eugenio, autor del blog Ciencia en el XXI:

Una igualdad rebosante de belleza

Y también es protagonista es escarificaciones, como puede verse en esta impactante imagen:

Una igualdad rebosante de bellezapulsa en la foto
CORY DOCTOROW

Seguro que vosotros conocéis otros lugares en los que aparece. Os agradeceremos muchos que compartáis vuestras experiencias y vuestras imágenes en los comentarios.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà Els camps necessaris estan marcats amb *