Hi ha determinat tipus de problemes en què convé procedir a la inversa. Són aquells en els quals se’ns dona una situació final i volem saber com era la situació inicial. A aquesta manera de procedir en George Pólya (autor de llibres cabdals sobre resolució de problemes) l’anomena raonament regressiu. Consisteix a partir de la solució per anar retrocedint, pas a pas, cap a les dades inicials.
Al llarg d’aquesta activitat presentarem una col·lecció de jocs i problemes als quals l’aplicació d’aquest mètode per trobar l’estratègia guanyadora o la solució d’un problema ens pot servir de gran ajuda.
| Índex | ||
| Abellot i Golf | Problemes | Problemes de moviments |
| Un torneig de tenis | Dos jocs més | Activitat en pdf |
| Els jocs de l’Abellot i el Golf |
El joc de l’abellot
És un joc força senzill i ràpid i la seva estratègia no és gaire costosa de trobar. Per jugar-hi només cal un tauler i una sola fitxa. L’abellot ha d’anar d’un extrem a l’altre del rusc sense retrocedir i guanya el jugador que fa arribar l’abellot. Les regles exactes són les següents:
- El tauler és una trama de caselles hexagonals de tres files com la de l’esquema inferior. A un extrem del tauler es posa la fitxa.
- Cada jugador mou la fitxa alternativament a una casella buida adjacent. Sempre s’ha d’avançar. No es pot retrocedir mai. Al primer esquema es veu el tauler i les tres possibilitats per a moure la fitxa. Al segon, es veuen les opcions de moviment, per a l’altre jugador, si el primer ha mogut a la casella superior.
- Guanya el jugador que fa arribar la fitxa a l’extrem contrari.
Pots practicar el joc amb aquest applet.
Per a trobar una estratègia guanyadora el millor és estudiar el joc al revés: des del final retrocedint cap al principi.
Si no has trobat l’estratègia la pots descobrir amb aquest enllaç.
El joc del Golf
És també un joc molt ràpid i senzill. Dona lloc, a més, a moltes variants modificant lleugerament les regles; canviant el total de fitxes, variant les quantitats que es poden agafar (per exemple 1, 2, 3 o 4), o fent que qui agafi l’última perdi. L’anomenen Golf ja que ens anem acostant al zero igual que els jugadors de Golf s’acosten al forat per embocar. De fet, però, és una versió senzilla dels jocs de tipus NIM.
Podem començar fent una pila de 17 fitxes. Els jugadors agafen fitxes alternativament. Guanya el que deixa la taula buida.
Les regles són:
- Fem una pila amb 17 fitxes
- Cada jugador pot retirar, al seu torn, 1, 2 o 3 fitxes.
- Guanya qui acaba la pila (qui agafa l’última o últimes fitxes)
Pots practicar el joc amb aquest applet.
Podem fer-nos algunes preguntes per a trobar l’estratègia.
- Quantes fitxes s’han de deixar al contrari a la penúltima jugada per guanyar segur?
- Quina quantitat hauràs de deixar abans per garantir que li podràs deixar el nombre que has dit a la pregunta anterior?
- Continua retrocedint fins que trobis quantes fitxes has d’agafar a la 1a jugada.
- Qui guanyaria si es jugués amb 16 fitxes? I amb 24?
- Intenta explicar l’estratègia completa per guanyar.
Si t’animes pots buscar l’estratègia d’aquest joc per a qualsevol quantitat de fitxes i per a un màxim de fitxes a treure diferent de 3. Ho pots estudiar amb aquest applet.
Si no has trobat l’estratègia la pots descobrir amb aquest enllaç.
| Problemes |
La capsa màgica
El Dr. Quadrat va trobar a la seva amiga la Dra. Triangle asseguda al costat d’una estranya capsa. La Dra. Triangle va informar al seu amic que si guardava els seus diners dintre de la capsa i comptava fins a 3 els diners es doblarien. La Doctora el va informar també que, com a custòdia de la capsa, tenia dret a cobrar 120 monedes per cada vegada que es fes servir la màgia de la capsa. El Dr. Quadrat li va preguntar si podia fer servir la capsa diverses vegades seguides, a la qual cosa la Doctora va contestar afirmativament.
El Dr. Quadrat va posar la seva bossa i, oh sorpresa!, va veure el seu capital doblat.
Llavors va pagar a la doctora les 120 monedes pactades.
Va introduir la bossa una segona vegada i 1, 2, 3 … un altre cop va doblar el capital . Va pagar i va introduir per tercer cop la bossa. 1, 2, 3… va duplicar, va pagar i… Oh sorpresa! Va veure que la seva bossa havia quedat buida. No li quedava res per duplicar i va marxar ben moix.
Quantes monedes contenia la bossa del Dr. Quadrat al començament?
La fortuna del pagès
A un pagès se li va posar al cap de ser ric, i es va encomanar a tres sants diferents, l’un després de l’altre: sant Joan, sant Enric i sant Pere. A cada un d’ells prometé que si li doblaven els diners que tenia, els donaria, a cada un, 24 sous. Els tres sants, l’un darrere de l’altre, el van escoltar, i en trobar-se el capital que tenia, el bon pagès els va donar el promès, acabant per quedar-se sense un sou.
Quant tenia en fer la prometença?
Menja un, mengen dos, mengen 3 i encara en sobra
Tres viatgers van entrar en una posada després d’una llarga jornada de viatge i van encarregar a l’hostaler un plat de patates, però mentre esperaven que els hi cuinessin es van adormir. L’hostaler els hi va deixar el plat ple i no els va despertar. Després d’una estona el primer viatger es va despertar, va comptar les patates, va fer tres parts, es va menjar les que li tocaven i es va adormir un altre cop. Al cap de no res, el segon viatger es va despertar. Com que no sabia que abans s’havia despertat l’altre viatger, les va comptar, en va fer tres parts i es va menjar el que li tocava. Tot seguit es va adormir. El tercer es va despertar una mica després i també en va fer tres parts, es va menjar la seva i es va adormir. Més tard l’hostaler va retirar el plat, al que encara quedaven 8 patates.
Quantes patates hi havia al començament? Quantes en va menjar cada viatger?
Art numèric
Un comerciant d’art exposa a la seva galeria unes quantes pintures. A un primer client li ven la meitat de les pintures més una. A un segon client li ven la meitat dels quadres que li’n resten més un. A un tercer també li ven la meitat dels restants més un i, finalment, a un quart, la meitat de les pintures que li’n queden més una.
Per aquell dia es retira content, perquè ha venut tots els quadres que tenia en exposició.
Quants quadres tenia en començar la jornada?
Romanç del cistell de la cuinera
Vet aquí el que a la cuinera
del castell de la contrada
li va esdevenir un bon dia
en què truites preparava.
Per acontentar tres noies
que ous per menjar en demanaven,
es quedà amb el cistell buit,
quan tenia una covada.
Primer vingué una donzella
amb la cara demacrada;
dels ous, la meitat donà,
i, en veure com sospirava,
mig ou més li regalà
per veure si l’alegrava.
Una altra noia vingué,
d’aire trist i blanca cara.
Del que quedava al cistell
la meitat li regalava,
però en veure que a la noieta
el color li retornava
afegí de nou mig ou
al que ella se n’emportava.
I una tercera noieta
a la porta ja trucava,
alguns ous en demanà
amb una veu dolça i clara.
Pocs quedaven al cistell,
però repetí la jugada.
Li’n va donar la meitat
i el mig ou que li restava.
Es quedà amb el cistell buit
però amb l’ànima acontentada.
(Mai en va trencar cap ou
quan el mig en regalava).
Poc abans del primer truc,
quants ous el cistell guardava?
Si vols pots trobar la solució als cinc problemes en aquest enllaç.
| Problemes de moviments |
Tres piles de cubets
En Martí ha fet tres piles de cubets. En total hi ha 24 cubets. No diem quants n’hi ha a cadascuna, però observem el següent: si de la primera pila passem a la segona tants cubets com té aquesta, després de la segona passem a la tercera tants cubets com hi ha ara en aquesta tercera i, per acabar, de la tercera passem a la primera tants cubets com en té ara aquesta, resulta que hi haurà el mateix nombre de cubets a totes tres piles.
Quantes cubets hi havia a cada pila al començament?
Els tres jugadors
Tres jugadors van convenir a fer tres partides de cartes, avenint-se que el que perdés havia de doblar la quantitat de diners que cada un dels altres dos companys tenien davant.
De les tres partides en va perdre una cadascun, i es van trobar, al final, que tots tres tenien la mateixa quantitat: 40 rals.
Quant tenien, respectivament, abans de començar el joc?
Si vols pots trobar la solució als dos problemes en aquest enllaç.
| Un torneig de tenis |
Segurament t’haurà cridat l’atenció que als campionats de tenis sempre acostumen a arribar a la final els millors jugadors (cosa que, per altra banda, és lògica). Però la qüestió és, per què no es troben abans de la final, a vuitens, quarts de final o a semifinals? La resposta també és clara, s’evita que els millors jugadors es creuin abans del tram final del torneig perquè aquest no perdi interès entre el públic (cosa que repercutiria en la venda d’entrades, drets televisius, etc.).
Els jugadors estan classificats en un rànquing que servirà per organitzar el torneig de manera que els possibles encreuaments entre els millors jugadors d’aquesta classificació es retardi el màxim. És a dir que l’objectiu és que la possible final la juguin el 1r contra el 2n, que les semifinals les juguin el 1r, el 2n, el 3r i el 4t jugador, etc.
Investiga aquest parell de qüestions
- No es pot organitzar un torneig amb un mètode d’eliminació senzill per partits amb una quantitat qualsevol de jugadors. Per exemple amb 20 jugadors et trobaries que a la 1a ronda quedarien 10 i a la 2a ronda, 5 jugadors quantitat amb la qual ja no pots seguir fent parelles. Quines característiques han de tenir els nombres que permeten organitzar un torneig per eliminatòries?
- Intenta organitzar un torneig amb 16 jugadors (ordenats al rànquing de l’1 al 16) de manera que es pugui acomplir la previsió de que a la final arribin l’1 i el 2, a semifinals l’1, el 2, el 3 i 4, etc. Procura que a cada eliminatòria els possibles jugadors que es creuin tinguin una mateixa diferència en el rànquing, és a dir, que no s’enfrontin l’1 contra el 4 (3 llocs de diferència) i el 2 contra el 3 (només un lloc de diferència).
Si vols pots trobar la solució als dos problemes en aquest enllaç.
| Dos jocs més |
El joc de l’aranya
Per a jugar només cal paper quadriculat i llapis. El joc consisteix en anar des d’un vèrtex d’un rectangle fins al vèrtex oposat fent un moviment ascendent com una aranya que puja a un racó del sostre d’una habitació. Qui arriba primer guanya.
Per iniciar el joc s’ha de dibuixar un rectangle. Cada jugador dibuixarà un dels costats. No convé que passi de 15 quadrets.
- El joc es comença al quadret inferior esquerra. El primer jugador posarà la seva marca ( X ).
- El segon jugador posarà la seva marca (O) seguin un moviment que no impliqui retrocés. Per tant té tres opcions:
- al quadret immediatament superior (A).
- al quadret immediat de la dreta (C).
- al quadret immediatament situat en diagonal a dalt i a la dreta (B).
-
Continuen tirant els dos jugadors seguint aquestes normes.
-
Guanya el jugador que arriba al vèrtex oposat diagonalment al de sortida.
Pots practicar el joc amb aquest applet. En aquest cas, en comptes de dibuixar creus o cercles es juga monet alternativament una mateixa fitxa.
Pots mirar de resoldre aquests tres problemes. Estudia cada partida i digues qui la guanyarà i com. El 1r jugador sempre juga amb “creu” i el 2n amv “cercles”. Als dos primeres problemes li toca jugar al 2n. A l’altre li toca al 1r.
Si no has trobat l’estratègia la pots descobrir amb aquest enllaç.
El joc de les dues piles
Es fan dues ipiles de fitxes. Les piles poden tenir la mateixa quantitat de fitxes o diferents. Aquest joc es pot fer molt variat canviant la quantitat de fitxes inicials de cada pila. Per no allargar la partida i simplificar l’estudi és recomanable no passar de 10 fitxes per pila.
Els jugadors agafen fitxes alternativament. Guanya el que deixa la taula buida. Cada jugador pot retirar, al seu torn, una fitxa d’una de les piles o bé una fitxa de cada.
Pots practicar el joc amb aquest applet
En tot cas pots començar estudiant casos senzills: una pila amb 0 fitxes i l’altra amb 1, 2 ,3, etc.; després una pila amb una fitxa i l’altra amb 1, 2, 3, etc. i continuar aquest mètode.
Si no has trobat l’estratègia la pots descobrir amb aquest enllaç.
Són dos jocs diferents?
Encara que en aparença són dos jocs diferents , si els mirem amb més atenció, observarem que es tracta del mateix joc.
- En el joc de l’aranya podem mirar la distància la que estem de la “paret”superior i de la “paret” dreta.
- El que fem a cada jugada és:
- Si pugem reduir en una casella la distància vertical.
- Si ens desplacem a la dreta, reduir en una casella la disténcia a la paret de la dreta.
- Si ens movem en diagonal, reduir en una casella cadascuna de les distància.
- L’objectiu és que les dues distància siguin zero.
- És exactament el que fem al joc de les dues piles: reduir les quantitat de fitxes de cada pila en una unitat, o una unitat de cada, amb l’objectiu d’arribar a 0-0.
- Per tant, podem aplicar la mateixa estratègia als dos jocs.
També els primers jocs que hem proposat, l’abellot i el golf, es poden relacionar, tot i que no d’una manera tant natural.
En primer lloc haurem de definir la distància d’una caserlla al final com la màxima distància possible si sempre anem avançant.
Amb aquest criteri podem fer un “mapa de distàncies”.
Haram podem observar com retalla les distàncies cada moviment:
- Anar endavant implica rebaixar la distància en dues caselles.
- Anar a una casella de la fila central des de la superior o la inferior implica rebaixar la distància en una casella. D’Igual manera si anem d’un casella central a ls superior o la inferior següent.
Ara ja ho tenim gairebé. El joc és equivalent a un “golf” amm 16 fitxes i en què, a cada jugada, es poden treure una o dues fitxes. Per tant, podem aplicar la mateixa estratègia: buscar les situacions guanyadores: 3, 6, 9, 12 i 15. En aquest esquema podem veure com coincideix amb les caselles que havíem assenyalat com a guanyadores en l’explicaió de l’estratègia del joc del l’abellot.
