Història, cerca i anècdotes sobre el nombre Pi
| Índex | |||
| Introducció | Valors | Arquimedes | Sèries |
| Quadratura | Agulles i dards | Curiositats | Activitat en pdf |
| Introducció |
Per poc que mirem al nostre voltant observarem que la forma circular és una de les que trobarem amb més freqüència tant en formes naturals com en les dissenyades per la humanitat. Per tant, totes les qüestions relacionades amb la mesura de la circumferència i el cercle han estat sempre de gran importància.
Si proves de mesurar la longitud d’una circumferència (sobretot si està dibuixada) de seguida se’t plantejaran diferents dificultats:
- si ho fas superposant un fil aquest es mourà.
- si fas petits segments només tindràs aproximacions a la mesura real.
- si fas rodar una volta la circumferència (la longitud obtinguda coincidiria amb el seu perímetre) és possible que rellisqui una mica i la mida no seria tampoc exacta.
Només si mesures el contorn d’algun objecte com un pot o una llauna amb una cinta mètrica com les de cosir podràs obtenir una mesura més o menys ajustada. Però… i si el que has de mesurar és l’àrea?
Una idea important és pensar que la mesura de la circumferència i del cercle depenen exclusivament del diàmetre (o bé del radi que és mig diàmetre).
La gran majoria de civilitzacions antigues van trobar alguna manera o una altra de trobar aquestes mesures a partir del diàmetre i van observar que el perímetre, concretament, era una mica més gran que el triple d’aquest. Però aquesta “mica més” costava molt de “caçar”.
| Diferents valors de Pi |
Anomenem Pi a la relació que hi ha entre la mesura del perímetre de la circumferència i el seu diàmetre, és a dir, Pi ens diu quantes vegades és més gran la circumferència que el diàmetre, quantes vegades hi cap.
Cada civilització ha fet servir el valor de Pi que els hi ha marcat la seva pròpia experiència. A un mateix lloc, fins i tot, s’han fet servir diferents valors de Pi segons anaven millorant els mètodes de mesura i càlcul. A la taula pots observar alguns d’aquests valors (que donarem amb fraccions tal com feien ells, ja que els decimals són un “invent matemàtic” força posterior). També veuràs la quantitat de decimals correctes que s’obtenien.
| Zona | Valor | Aproximació | |
Mesopotàmia |
 |
3,1415926535897932384626433… | |
Egipte |
 |
3,1415926535897932384626433… | |
Palestina (valor bíblic) |
3 |
3,1415926535897932384626433… | |
Grècia I (Arquimedes) |
 |
3,1415926535897932384626433… | |
| Grècia II (Ptolomeu) |
 |
3,1415926535897932384626433… | |
La Xina (Zu Chongzhi) |
 |
3,1415926535897932384626433… | |
Índia (Aryabhata) |
 |
3,1415926535897932384626433… | |
| El mètode d’Arquimedes per calcular el valor de Pi |
El primer matemàtic que ens va proporcionar un mètode prou rigorós per obtenir el valor de Pi va ser el gran matemàtic grec Arquimedes de Siracusa.
Arquimedes va ser un científic molt respectat a la seva època i són moltes les llegendes que ens han arribat sobre la seva vida. Per exemple s’explica que va defensar la seva ciutat de l’atac dels romans cremant les veles dels seus vaixells a gran distància fent servir miralls parabòlics aconseguint el mateix efecte que quan es cremen papers amb una lupa. També es diu que amb grans grues era capaç de bolcar els vaixells enemics.
Si vols saber més coses d’aquest matemàtic segueix aquest enllaç
Per saber quina és la relació existent entre el perímetre i el diàmetre de la circumferència és important tenir una bona mesura d’aquest perímetre. Abans ja hem comentat les dificultats per realitzar aquesta mesura. Els polígons regulars, en canvi, són fàcils de mesurar: només cal mesurar un costat i multiplicar per la quantitat de costats. Aquests polígons (que sempre tenen tots els costats i tots els angles iguals) sempre “encaixen” amb la circumferència. Sempre es poden circumscriure (dibuixar-los per fora amb els costats tangents) i inscriure (dibuixar-los per dins amb els vèrtexs sobre la circumferència).
El mètode proposat per Arquimedes es basa en aquestes observacions:
- El perímetre de la circumferència és més gran que el del polígon inscrit i més petit que el del circumscrit. Es pot obtenir una bona aproximació fent la mitjana entre els dos.
- Com més gran sigui el nombre de costats del polígon es va ajustant millor a la circumferència: cada vegada s’assemblen més. Per tant, si el nombre de costats del polígon és prou gran la diferència entre el perímetre aproximat que anem calculant i el real s’anirà reduint.
- Només cal anar dividint aquests perímetres pel diàmetre de la circumferència per obtenir aproximacions cada vegada millors de Pi. Arquimedes va arribar a calcular fins a un polígon de 96 costats. Però el més meritori és que ens va proporcionar un mètode que podem portar tan lluny com vulguem: com més costats calculem tindrem un valor de Pi més exacte.
Amb aquest aplicatiu de GeoGebra podràs provar el mètode d’Arquimedes. Només cal que indiquis el nombre de costats dels polígons inscrit i el del circumscrit. La circumferència té un diàmetre unitat. En cada cas calcula entre quins valors es troba l’àrea i el perímetre dels dos polígons. Per tant, entre quins valors es troba Pi.
Juga una mica amb el programa i investiga després algunes qüestions:
- Observa quins valors de Pi s’obtenen amb un polígon de 96 costats com el que va provar Arquimedes.
- Observa, també, com a mesura que augmentes la quantitat de costats els polígons i la circumferència tendeixen a coincidir.
- Aquí tens els primers 30 decimals de Pi: 3,141592653589793238462643383279. Intenta esbrinar fins a quants costats cal arribar per obtenir un decimal vàlid (3,1), dos decimals correctes (3,14), tres decimals, quatre, etc.
El matemàtic xinès Zu Chongzhi, fa uns 1500 anys, va arribar a calcular Pi amb un polígon de 24 576 costats. Més tard, fa uns 400 anys, el matemàtic francès François Viète va fer el mateix amb un altre de 393 216 costats.
A la taula següent tens alguns resultats de diferents èpoques.
| Pi en sumes de sèries infinites |
Una de les sorpreses més grans que van poder tenir alguns matemàtics que van posar les bases para sumar sèries infinites va ser trobar-se amb el nombre Oi totalment deslligat d’una circumferència.
Per exemple, el matemàtic John Wallis (1616-1713) va descobrir que aquesta sèrie formada pels nombres parells al numerador i els senars al denominador s’acostava a Pi a mesura que vas multiplicant més i més termes.
Observa la taula per veure com va evolucionant la sèrie:
| Sèrie | π |
| 2 | 2 |
 |
4 |
 |
2,666… |
 |
3,555… |
 |
2,8444… |
 |
3,41333… |
 |
2,92571429… |
 |
3,3367347… |
 |
2,97215419… |
Com es pot veure al gràfic de sota cada vegada que afegim una fracció a la sèrie obtenim alternativament un valor per sobre o per sota de Pi, però amb una tendència a acostar-se a aquest. Si “anéssim” fins a l’infinit arribaríem a agafar-lo. La línia vermella representa el número Pi i la línia verda indica els resultats obtinguts cada vegada que augmentem la sèrie en una fracció.
G. W. Leibniz (1646-1716) va descobrir més tard que aquesta altra sèrie, formada amb els nombres senars al denominador i que s’acosta també cada vegada més a Pi a mesura que afegim termes.
T’animes a investigar les sèries?
Amb aquest petit programa pots fer algunes petites investigacions sobre les sèries es sèries anteriors de Wallis i Leibniz.
Pots decidir quantes fraccions vols que tingui la sèrie i l’ordinador calcularà el seu valor total. Així podràs buscar quantes fraccions calen per a un obtenir un decimal vàlid, dos decimals vàlids, tres, quatre, etc. També pots estudiar quina de les dues sèries s’acosta més ràpidament a Pi.
| La quadratura del cercle |
És possible que alguna vegada hagis sentit que els matemàtics grecs es van proposar resoldre tots els problemes de geometria amb l’ús exclusiu del regle i el compàs.
Els antics grecs van descobrir la manera, amb regle i compàs, de convertir un polígon qualsevol en un quadrat que tingués la mateixa àrea. A aquest procés l’anomenaven quadratura. Per quadrar un polígon primer el transformaven en un triangle, després el triangle en un rectangle i, finalment, el rectangle en un quadrat. Pots veure un exemple:
Però no van trobar la manera de convertir un cercle en un quadrat fent servir només el compàs i el regle. A ser un problema que va quedar pendent de resolució.
Saps per què no ho van saber fer?
El que no sabien els grecs
Els matemàtics grecs no van poder quadrar el cercle perquè és impossible fer-ho! Però ells no ho sabien. De fet haurien de passar 2000 anys perquè algú demostrés aquesta impossibilitat.
La primera pedra la va posar, el 1761, el matemàtic suís Johann Heinrich Lambert que va demostrar que no hi ha cap fracció que representi a Pi, per tant, és un nombre irracional (que té infinits decimals, però sense repeticions periòdiques com 0.787878… que s’obté de 27/33). Un segle després, l’any 1882, un altre matemàtic alemany, Ferdinand von Lindemann va demostrar que, a més, era un irracional transcendent (que significa que no s’obté de cap arrel com, per exemple, 1,414213562… que també és irracional, però és l’arrel quadrada de 2).
I això que té a veure amb el regle i el compàs?
Infinits decimals, el regle i el compàs
Els matemàtics grecs sabien representar qualsevol fracció en un segment fent servir el regle i el compàs. Per tant els nombres que tenen infinits decimals però amb un període que sempre es repeteix i que, per tant, sempre es poden associar a una fracció es podien “dibuixar”.
Igualment també sabien representar els nombres irracionals que provenien d’una arrel. Ells els anomenaven incommensurables perquè no es podien mesurar (encara que es poguessin dibuixar).
Sabent ja que Pi era un nombre irracional transcendent (que no prové de cap fracció ni de cap arrel) els matemàtics posteriors en tenien prou per saber que era impossible dibuixar una línia recta (amb regle sense graduar i compàs) que tingués la mateixa longitud que una circumferència donada i, en conseqüència, que la quadratura del cercle és impossible.
Pitjant sobre cada botó podràs veure com dibuixaven amb regle i compàs aquests decimals infinits.
| Agulles i dards |
Agulles: el mètode de Buffon
Georges Louis Leclerc (1707-88), Compte de Buffon, va ser un naturalista i matemàtic francès que va demostrar una curiosa propietat sobre el llançament d’agulles i que relacionava una qüestió de probabilitat amb el nombre Pi.
Imagina un conjunt de línies paral·leles a una distància D i unes agulles de longitud L que llencem a l’atzar sobre les línies.
La probabilitat de que una agulla toqui o caigui sobre una línia és:
Això vol dir que si, per exemple, l’agulla mesura el mateix que la separació entre les línies aproximadament un 63% de les vegades l’agulla tocarà alguna línia i que si la distància és el doble que la longitud de l’agulla això passarà un 13 %, aproximadament, de les vegades.
Aquesta propietat ens dóna curiosament una manera de calcular aproximacions de Pi llençant agulles. Només cal tenir en compte la mesura de l’agulla i la separació entre les línies. Fent una mica d’àlgebra amb la fórmula anterior podem veure que:
Així si triem una distància doble de la longitud de l’agulla només cal multiplicar per 2 el quocient entre tirades i encerts i si la distància és doble només caldrà multiplicar per 4 aquest quocient.
No és difícil provar amb un paper pautat i un llumins tallats convenientment però serà més fàcil fent servir aquest aplicatiu. Per exemple aquest fet amb GeoGebra per Manuel Sada.
Dards: el mètode de Montecarlo
Imaginem que tenim un quadrat i dintre un cercle inscrit.
Si tirem dards a aquesta diana amb els ulls embenats alguns (només ens hi fixarem en els que es clavin dins del quadrat) quedaran dins del cercle hi altres fora. Sembla clar que són més els que aniran dins que els que no. Però quina és la probabilitat de que es clavin al cercle? Serà la relació entre les àrees.
No és difícil veure que l’àrea del quadrat és 4 vegades l’àrea del quadrat del radi:
Si recordem que la fórmula de l’àrea del cercle és A = Pi · r2, només cal fer una mica d’àlgera per calcular aquesta probabilitat.
D’aquesta manera tenim, com abans amb les agulles, un nou mètode probabilístic de calcular el valor de Pi. Només cal multiplicar per 4 la probabilitat d’encert. Comencem a tirar dards i comptem quants els que queden dins del quadrat queden, a més, dins del cercle.
Aquí tens un interactiu fet amb GeoGebra per Rafael Pérez Laserna que et permetrà realitzar mil tirades ràpidament:
| Curiositat sobre Pi |
Hi ha moltes anècdotes i curiositats relacionades amb el nombre P. Mirem algunes:
- El matemàtic que va “batejar” el nombre Pi va ser William Jones al 1706. Va triar la primera lletra de la paraula “Perímetre” en grec. Tot i així el que va aconseguir que es generalitzés el seu ús va ser Leonhard Euler (1707-1783).
- Un matemàtic britànic, William Shanks, va dedicar 20 anys de la seva vida a calcular 707 decimals de P i els va publicar a l’any 1873. Hem de tenir en compte que no hi havia ordinadors per fer els càlculs. A l’any 1946 un altre matemàtic, D.F. Ferguson, va descobrir que a partir del decimal 528 estaven equivocats.
- Actualment (2024) es coneixen 62 831 853 071 796 decimals. Si vols pots veure els 1000 primers pitjant la lletra Pi.
- El rècord oficial de memorització de decimals de Pi està en poder de Rajveer Meena que els va recitar a l’Índia en 9 hores i 27 minuts el 21 de març de 2015. El rècord espanyol, del 2020 és del gallec Javier Barral: 15469 decimals.
Els primers mil decimals de Pi
- A l’any 1887, a l’estat d’Indiana del Estats Units d’Amèrica, per poc no voten una llei per la qual Pi valdria 4. A més, sembla que volien cobrar drets a la resta de països per l’ús d’aquest valor de P. Un dels senadors que s’oposava a la proposta va dir: “El Senat també podia haver decretat que l’aigua corre espontàniament costa amunt”.
Trucs mnemotècnics i Pi-relats
Hi ha truc mnemotècnics (que ajuden a la memòria) per recordar decimals de P. La gran majoria es basen en comptar les lletres de cada paraula d’una frase. Així, per exemple aquesta frase en castellà dóna 7 decimals de Pi.
| Pan | y | agua | y | fruta | comprende | la | comida |
| 3 | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 | 2 | 6 |
Aquesta altra dóna 20 decimals. El seu autor és l’escriptor Xavier Duran:
“Com a gran i tenaç matemàtic, tu penses, sense cap pausa, enumerar, lentament, números camuflats amb el més constant, fer enginy”.
Aquest petit poema en castellà de Manuel Gomayo dóna 19 decimals:
“Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros,
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.”
I aquest, de R. Nieto, en dóna 31:
“Soy P, lema y razón igeniosa
de hombre sabio, que serie preciosa
valorando enunció magistral.
pr su ley singular bien medido
el grande orbe, por fin reducido
fue al sistema ordinario usual.”
Sense tenir una funció mnemotècnica són usuals el Pi-relats: petites narracions, sovint sense un sentit molt clar, on cada paraula, ordenadament, té tantes lletres com el dígit de Pi corresponent. En podeu trobar molts al web del Creamat. Aquí teniu un exemple:
“Sóc a casa i penso: compraria un lluent vestit per mudar. Sorpresa majúscula m’enduré observant com en uns maniquís, ulls quiets jo espero, però fan les pupil·les tot de subtils moviments.” (@carme_tuit)
Poemes
Potser un dels poemes més coneguts sobre el nombre Pi és el que li va dedicar a l’any 1976 la poetessa polaca Wislawa Szymborska (premi Nobel de literatura) i que parla sobre la infinitud dels seus decimals.
El nombre Pi
El nombre Pi és ben digne d’admiració
tres coma u quatre u.
Totes les xifres que segueixen són també xifres primeres
cinc nou dos, perquè no s’acaba mai.
No permet de ser abastat sis cinc tres cinc amb la mirada,
vuit nou amb el càlcul,
set nou amb la fantasia,
ni tan sols tres dos tres vuit amb la broma o comparant-lo
quatre sis amb qualsevol cosa
dos sis quatre tres arreu del món.
La serp més llarga de la Terra després d’uns metres s’acaba.
Si bé un xic més tard, els passa als drac de les rondalles.
La processó de xifres de què consta el nombre Pi
no s’atura al marge del paper,
és capaç de prolongar-se per la taula, per l’aire,
per la tàpia, les fulles, un niu d’ocells, els núvols, i continuar pel cel,
per tota la immensitat i la inflor de l’aire.
La cua duna cometa és tan breu com la d’una rata!
la llum d’un estel és tan feble que fins es torça dins l’espai!
Aquí en canvi dos tres quinze tres-cents dinou
el meu número de telèfon el teu número de camisa,
any mil nou-cents setanta-tres sisena planta
nombre d’habitants que té la Terra quatre rals
dos dits l’ample dels malucs una xarada i un codi xifrat
en el qual trobem rossinyol meu, ara volaràs, ara cantaràs
seguit de “es prega de conservar la calma”
i també el cel i la terra un dia moriran,
però no pas el nombre Pi, ell sí que no,
ell continuarà endegant el seu bon cinc
el seu vuit selecte,
el seu set no pas definitiu
esperonant, ai, esperonant la mandrosa eternitat
fins a esdevenir perdurable.
Aquest poema del català Jordi Vintró no parla sobre Pi però l’amaga a la seva puntuació: la distribució dels versos que acaben amb un punt marquen els primers dígits de Pi: el 3r vers (3), el 4t (1), el 8è (4), el 9è (1) i el 14è (5).
Una copa s’esberla,i una aresta
fereix el nostre amic Deixa la festa
a mars s’aboca, arrapat al coixí.
Es a prop l’hora en que’ el record trontolla.
Mitges de seda, capell de setí
per disfressar l’embriac i la sesta,
tels de ceba que cobreixin la resta
del darrer pòsit d’algun alambí.
Tan d’hora, que el record, fràgil, trontolla.
Perdut en un racó de la clofolla
afluixa els nusos al jurament mut
que s’esfondra en un roig que neix, que brolla,
que arrenca amb guant de lli, del fons de l’olla,
solatges de tènue joventut.
Visualitzacions i sonoritzacions de Pi
Hi ha moltes imatges que juguen relacionant Pi amb colors o gammes de colors, formes…
Dígits successius
Xifres per mida
Obra de Peter Kappus
100 000 dígits de Pi colorejats
Cristian Vasile. Mireu l’animació basada en aquesta obra
Agroglif de Barbury Castle (enllaç a una explicació)
Sliding Pi d’Arlen Stamp a l’estació de metro de Downsview (Toronto) Explicació
Vi Hart (cada dígit una nota musical)
Song from Pi (David Macdonald) Explicació
Cercant a Pi
Al web The Pi-Search Page pots intentar trobar entre els primers 200 milions de xifres del nombre Pi algunes seqüències numèriques: la teva data de naixement, el teu número de telèfon, el DNI… Lògicament, quant més llarg és el nombre, més costa de trobar.
El dia de PI
Als països anglosaxons, en escriure dates, el mes es posa abans de dia. Això fa que el 14 de març (3/14) sigui considerat El Dia de Pi. És una celebració molt típica al món matemàtic i als centres escolars. Des del 2020 és també el Dia Internacional de les matemàtiques. El 2015 a les 9 hores 23 minuts i 53 segons va ser el “moment Pi” més celebrat (3,141592353).
Hi ha altres dates relacionades amb Pi, com el Dia de l’aproximació de Pi, el 22 de juliol (22/7≃3,14286) o el Dia de Tau (6/28 2π).