Mesurar altures d’arbres o edificis, amplades de rius, distàncies… pot ser molt fàcil si ens ajudem de la proporcionalitat geomètrica i alguns estris com llapis, tubs, miralls o ballestes (i cintes mètriques!).

Índex
Tales	Miralls	Taquímetre	Ballesta	Descarregar pdf

Tales de Milet

Mesurem l’altura d’un arbre amb un llapis

Mesurar directament l’altura d’un arbre pot ser una mica complicat: ens hi haurem de pujar amb el risc de deixar-nos el cap, una cama o un braç, haurem de disposar d’una cinta mètrica prou llarga… És molt més fàcil mesurar horitzontalment.

Per què no transformem la mesura vertical en horitzontal?

Observa aquest procediment que només es fa ajudar d’un llapis:

1. Agafa un llapis, estira al màxim el braç i camina endavant o endarrere fins “encaixar” visualment el llapis amb l’arbre.
2. Gira el llapis (amb el braç encara estirat) fins a posar-lo horitzontal de manera que un extrem estigui al peu de l’arbre.
3. Demana a algú que es col·loqui al costat de l’arbre i camini en direcció a la punta del llapis fins que tu li avisis.
4. Quan visualment la posició de la persona coincideixi visualment amb la punta del llapis la distància entre el peu de l’arbre i la persona serà equivalent a l’altura de l’arbre.

Aquest mètode no demana gaires explicacions perquè sembla de força sentit comú, però darrere d’ell hi ha conceptes matemàtics, com les raons de proporcionalitat entre triangles semblants. Aquests conceptes ens podem ajudar a realitzar altres mesures més còmodament o solucionar altres problemes. Per exemple, ¿com podríem aplicar el mètode del llapis si el terreny és molt irregular o si no podem aconseguir prou distància per “encaixar” el llapis?

Estudiarem altres procediments que s’han fet servir en èpoques antigues i que es basen en principis semblants.

Proporcionalitat entre triangles semblants

Dos triangles que tenen els seus angles iguals tindran la mateixa forma. Podran diferir en grandària, però visualment els veurem semblants. Però la paraula “semblant” té, en aquest cas, un significat matemàtic afegit: semblant vol dir també proporcional. Això és degut al fet que si dos triangles són semblants, els seus costats corresponents seran proporcionals.
Pots comprovar-ho pitjant sobre la imatge i obrint aquesta animació:

• Els dos triangles són semblants (tenen els angles iguals, per tant, la mateixa forma).
• Pots variar el triangle ABC movent els seus vèrtexs.
• Pots canviar la posició del triangle A’B’C’ movent B’ o C’.
• Pots canviar la mida del triangle A’B’C’ amb el punt lliscant.
• Observa les mesures i comprova que la relació de proporcionalitat no varia.
• Prova diferents casos.

Tales de Milet (625 a.n.e-546 a.n.e.)

Aquesta propietat dels triangles semblants és conseqüència directa de l’aplicació del Teorema de Tales. El seu possible autor, Tales de Milet, va ser segurament el primer (en el temps) dels grans matemàtics grecs.

Era d’origen fenici i residia a Milet, una pròspera ciutat grega de l’Àsia Menor. Procedia d’una família de comerciants i, per aquest motiu, va fer freqüents viatges a Egipte, la qual cosa el va animar a l’estudi dels fenòmens naturals i de la geometria. No ens ha arribat cap escrit seu, per tant, no sabem del cert si el teorema que porta el seu nom és seu. Sí que sabem, en canvi, que el va simplificar i utilitzar en moltes i diferents situacions, com ara calcular l’alçada de diferents edificis o les distàncies dels vaixells a la costa. En geometria es consideren seves les demostracions que en un triangle isòsceles hi ha dos angles iguals, o que un diàmetre divideix un cercle en dues parts iguals, entre d’altres. També és famós per haver predit amb encert un eclipsi de Sol l’any 585 a.n.e.

Llegendes sobre Tales

Hi ha moltes llegendes sobre el caràcter de Tales que, normalment, el presenten com un home esquerp. No serà així en aquestes que t’explicarem ara.

• El granger i el ruc que no volia anar carregat

Un pagès que sovint havia d’anar al mercat a vendre càrregues de sal va observar que cada vegada que passaven el riu que separava casa seva de la ciutat, l’ase s’inclinava i remullava els sacs. D’aquesta manera, part de la sal es dissolia a l’aigua i el ruc es notava més lleuger. Fart d’aquestes pèrdues de sal i sense saber què fer el pagès va acudir a consultar Tales. Aquest, després de rumiar una estona, va donar el següent consell al pagès desconcertat: “Fes el següent viatge a la ciutat amb els sacs carregats de…”. T’imagines quin producte li va proposar de carregar?

• La piràmide de Khufu

S’explica que mentre es trobava Tales al costat de la Gran Piràmide de Khufu (o Keops, com l’anomenaven els grecs), s’hi va acostar un sacerdot i li va demanar que li digués quina era l’altura aproximada de la piràmide. Tales li va contestar que no la hi volia dir “aproximadament” sinó que s’estimava més dir-li “exactament”. Per fer-ho, es va estirar sobre la sorra deixant la marca de l’altura del seu cos a terra. Després va afegir: “M’estaré aquí quiet fins que la meva ombra coincideixi amb la marca del terra, és a dir, amb la meva altura. Llavors l’altura de la piràmide i la seva ombra també coincidiran. Només caldrà mesurar les passes d’aquesta.” El sacerdot, sorprès, li va demanar si no existia cap error en el seu raonament. Sense fer gaire cas del que li qüestionaven, Tales va continuar: “Però, realment, no tinc ganes d’esperar que el meu cap s’escalfi sota el Sol. Per tant, clavaré el meu bastó a terra i, quan la mida de la seva ombra sigui la meitat de la real, l’ombra de la piràmide també ho serà; o quan sigui la tercera part… N’hi haurà prou a comparar la llargada del bastó i la seva ombra amb la de l’ombra de la piràmide i multiplicant i dividint esbrinar la seva altura”.

• A quina distància es troba el vaixell?

Una altra de les llegendes sobre Tales explica que era capaç de determinar a quina distància es trobaven els vaixells que s’apropaven a la costa. Un dels mètodes que es pensa que va poder utilitzar el tenim representat a l’esquema següent i es podia fer seguint els següents passos.

1. Primer es posaven dues estaques A i B alineades amb el vaixell que és en un punt que anomenarem V.
2. Després es clavava una tercera estaca C formant angle recte amb la línia AB
3. Seguidament, es posava una quarta estaca D al punt mitjà entre B i C.
4. Es clavava una cinquena estaca E fent angle recte amb BC.
5. Es caminava seguint la línia CE fins a aconseguir veure el vaixell alineat amb l’estaca D, i es posava una sisena estaca F en aquest punt.

D’aquesta manera es formen dos triangles rectangles BVD i DCF.

Fem ara unes comparacions:

• Els segments BD i el segment CD són iguals, perquè D és el punt mitjà de BC.
• Els angles VBD i DCF també són tots dos rectes i, per tant, iguals.
• També ho són els angles BDV i CDF.
• En conseqüència, els dos triangles BVD i DCF són idèntics.

Ara ja ho tenim pràcticament. La distància que volem conèixer és BV. Quin costat del triangle DCF es correspon amb aquesta mesura? El costat CF, que només ens caldrà mesurar per saber la distància a què està el vaixell.

Pots moure el punt A fins que B coincideixi amb el vaixell

Aquest mètode té inconvenients claríssims. Un d’ells pot ser que si el vaixell està a 6 km (en mesures modernes) haurem de mesurar també 6 km (una mica més d’una hora caminant) en línia recta, sense cap irregularitat al terreny, sense cap obstacle…

Evidentment, el mètode es pot millorar fent més petita la distància DC. Per exemple, si fem que BD sigui 30 vegades més gran que DC (una manera és fer 30 passes entre B i D i una entre D i C) els triangles que construirem ara no seran idèntics, però sí semblants i podrem aplicar càlculs de proporcionalitat. El costat del triangle corresponent de terra amb la distància al vaixell BV també serà 30 vegades més petita.

Tornar a l’índex

Mesurar altures amb un mirall

Per realitzar mesures indirectes d’altures ens podem construir diferents aparells. Un dels més coneguts és el gnòmon (un pal clavat perpendicularment a Terra). És el mètode utilitzat per Tales que hem descrit per la mesura de la Gran Piràmide. Però també podem fer servir una cosa tan senzilla com un mirall.

Una de les coses que hem de saber és que un raig de llum és reflectit en un mirall amb un angle igual amb què ha incidit. Pots observar una simulació movent el punt P.

Podem aprofitar aquesta igualtat d’angles per buscar semblances de triangles.

Mirem aquest esquema de reflexió fixant-nos especialment en els angles ECB (d’incidència) i ACB (de reflexió).

• Els angles ACB  i ECD (incidència i reflexió) són iguals.
• Els angles ABC i CDE són rectes, per tant, també són iguals.
• En conseqüència, els dos triangles rectangles ABC i DEC tenen la mateixa forma: són semblants.
• Coneixent la nostra altura fins als ulls (AB), la distància a la qual estem del mirall (BC) i la distància del mirall al peu de l’objecte de mesura (CD) podem calcular l’altura (ED) que ens falta.

Practiquem mesures

Pots intentar practicar algunes mesures amb aquesta simulació feta amb GeoGebra. i fent els càlculs a partir de les mesures. (Pensa que el grau d’aproximació de les teves alineacions determinaran el dels resultats)

• La persona que mesura està representada pel segment AB i A seria l’altura dels ulls.
• L’altura a mesurar està representada pel segment DE.
• Cal moure la persona, pel punt B, fins que el punt F de la línia de la visual reflectida al mirall C coincideixi amb el punt E.
• Després pots comprovar si la mesura calculada coincideix amb la real.

Mesura d’altures amb un mirall quan el peu és inaccessible

Al Tratado de Geometria Practica y Speculativa, de l’any 1573 de Juan Pérez de Moya, se’ns explica els mètodes que hem vist anteriorment, tal com es veu al dibuix.

Però, què passa quan no podem accedir al peu de l’objecte que volem mesurar (per exemple perquè en separa un riu)? Aproximadament uns mil anys abans, el gran matemàtic hindú Brahmagupta, va resoldre com realitzar la mesura quan el peu és inaccessible,  fent només dues observacions amb el mirall.

• Primer, l’observador posa el mirall i camina fins que veu la part més alta de l’edifici. Es formen dos triangles semblants.

• Després es col·loca el mirall en una segona posició (retrocedint una distància s) i es camina fins que torna a veure la part superior de l’edifici. Es formen dos nous triangles semblants.

Les mesures d i h són dues incògnites (de les quals només m’interessa h). Plantejant la proporció corresponent a cada triangle podrem obtenir un sistema d’equacions. Aïllant la d i aplicant el mètode d’igualació, es pot arribar a aconseguir una fórmula per calcular h. (Resolució completa en aquest enllaç)

Com es pot veure el càlcul es redueix a multiplicar la nostra altura fins als ulls per la distància entre els dos miralls i dividir el resultat per la diferència entre les distàncies dels nostres peus a cada mirall (en cada mesura).

Practiquem el mètode de Brahmagupta

• Movent l’observador per O1 o el mirall per M1 fes coincidir el punt F1 de la visual amb E.
• Després, movent l’observador per O2 o el mirall per M2 fes coincidir el punt F2 de la visual amb E.
• Observa els càlculs i compara’ls després amb la mesura real.

Tornar a l’índex

El taquímetre

El taquímetre és un instrument molt senzill per mesurar distàncies de manera ràpida. Bàsicament, és un tub (interessa que sigui estret i llarg) del qual coneixem la relació entre l’amplada i la llargada (per exemple 1:20)

Per mesurar una distància fem el següent:

• Demanem a algú que es posi a la distància a mesurar aguantant una cinta mètrica.
• Observem el tros de cinta que es veu (ens pot ajudar la persona que aguanta la cinta fent marques amb els dits seguint les nostres instruccions i dient-nos la mesura després).
• Si la raó és 1:20 multipliquem la mesura que es veu per 20: aquesta serà la distància.

Per què funciona?

Hi ha dos triangles semblants: un petit dins del tub i l’altre gran que arriba fins a la cinta mètrica.

Si la proporció entre l’altura i la base del triangle interior és que l’altura és 20 vegades més gran la que hi haurà entre la distància a la cinta i el tros visible serà la mateixa. Per tant, només caldrà multiplicar per 20 (o 30, o 40… segons quina sigui la relació entre la llargada i el diàmetre del tub).

Practiquem amb el taquímetre

• Ajusta els punts AB perquè coincideixin amb les línies de la visual que venen del taquímetre.
• Compara després el càlcul amb la mesura real de la distància.

Tornar a l’índex

La ballesta o bàcul de Jacob

Aquest instrument de mesura va ser introduït a Europa durant el segle XIII i va ser perfeccionat durant els segles XV i XVI. Amb diferents variants, va ser molt utilitzat en navegació i astronomia. El nom de bàcul de Jacob sembla que és degut al seu probable inventor, un jueu anomenat Jacob ben Mahir. Un dels primers documents coneguts en què s’explica el seu ús és d’un altre jueu, aquest català: Levi ben Gerson que en va fer una descripció el 1342.

La ballesta està formada per dos pals units perpendicularment i de manera que el més curt, que anomenarem cursor, es pot moure amunt i avall per sobre del llarg, que està graduat.

Amb el bàcul de Jacob es pot treballar en dues posicions, horitzontal si els dos braços estan paral·lels al terra, i vertical si el braç curt el posem perpendicularment a terra.

Estudiem un primer exemple del seu ús. Imaginem que hem de mesurar l’amplada d’un riu amb la ballesta.

Els triangles A’RC’ o A’PQ són semblants. No serà difícil, doncs, establir una proporció que ens permeti calcular l’amplada del riu.

Practiquem mesures de distàncies

Pots intentar practicar algunes mesures amb aquesta simulació i veure els càlculs a partir de les mesures. (Pensa que el grau d’aproximació de la teva alineació determinarà la del resultat)

• Ha de moure el cursor (pel punt M) fins que el seu extrem inferior, marcat amb una X, coincideixi amb la línia visual de l’altra riba del riu (AC).
• Pots variar l’altura de la persona (AB) movent A.
• Pots desplaçar la persona movent O.
• Pots canviar l’amplada del riu amb C.

Mesurem altures

Mesurar altures no és gaire complicat tampoc. L’única cosa nova que hem de tenir en compte és la nostra altura fins als ulls. Ara hem de treballar amb la meitat superior del cursor.

• Has de moure el cursor (pel punt M) fins que el seu extrem inferior, marcat amb una X, coincideixi amb la línia visual de l’extrem de la paret (BC).
• Pots variar l’altura de la persona, el seu lloc. També pots variar la localització de la paret i la seva altura.

Mesurar amplades de peu inaccessible amb la ballesta

Quan la ballesta mostra el seu autèntic potencial és quan el peu de l’objecte a mesurar és inaccessible, perquè amb un parell d’ajustaments visuals i una sola presa de dades podem esbrinar moltes mesures a les quals no hi podem accedir directament.

Explicarem els mètodes tant per mesurar amplades com altures de peu inaccessible.

Si voleu veure la justificació matemàtica, obriu els enllaços corresponents on trobareu les proporcions i les equacions en què es basen.

Mètode

1. Col·loquem la ballesta horitzontalment
2. Ajustem visualment els dos extrems del cursor a l’amplada que volem mesurar.
3. Avancem el cursor sobre la barra una distància igual a la seva amplada (si el cursor és de 20 cm, l’avancem 20 cm, si és de 30, ho farem 30 cm)
4. Anem retrocedint encarant l’amplada a mesurar fins que es torni a ajustar visualment.
5. La distància que hem retrocedit és l’amplada que volíem esbrinar

Podem comprovar-ho amb aquesta simulació, encara que aquí farem, per poder visualitzar millor les mesures, una petita modificació: fem un primer ajustament, retrocedim el cursor en la seva amplada, i avancem per a fer el segon ajustament visual.

1. La ballesta es pot moure pel punt O i el cursor pel punt C.
2. Per a la posició inicial feu coincidir els punts A i B.
3. Mou el cursor per a fer coincidir les línies visuals amb els extrems del segment a mesurar.
4. Desplaça el cursor clicant a la casella corresponent.
5. Mou la ballesta pel punt O fins a tornar a fer coincidir les visuals.
6. Comprova la mesura: el desplaçament ha de coincidir amb l’amplada.

Pots veure la justificació algebraica del mètode en aquest enllaç.

Mesurar altures de peu inaccessible amb la ballesta

El mètode per a mesurar altures al peu de les quals no hi podem arribar és força semblant:

1. S’ajusten visualment l’extrem superior del cursor al punt més alt que volem mesurar.
2. Avancem el cursor sobre la barra una distància igual a la meitat de la seva amplada (si el cursor és de 20 cm, l’avancem 10 cm, si és de 30, ho farem 15 cm)
3. Anem retrocedint encarant l’amplada a mesurar fins que es torni a ajustar visualment
4. La distància que hem retrocedit és l’altura per sobre dels nostres ulls del que volíem esbrinar
5. L’altura s’obté sumant la nostra alçada fins als ulls amb la distància que hem retrocedit.

Com a la simulació anterior procedirem a la inversa: després de la primera observació retrocedirem el cursor i avançarem caminant per a fer la segona observació.

Pots veure la justificació algebraica del mètode en aquest enllaç.

Tornar a l’índex