ó.Aquesta activitat tracta aspectes de simetries i girs que podem observar en molts dissenys del nostre entorn, des de les rosasses de les antigues esglésies gòtiques fins als més moderns dissenys de logos o dels tapaboques dels cotxes. La majoria de propostes estan recollides del llibre Passeig matemàtic per Catalunya de Teresa Ticó.
| Índex | ||
| Lletres | Grups de Leonardo | Classifiquem |
| Motiu mínim | Calidoscopis | Activitat en pdf |
| Lletres |
Missatges al mirall
Es pot observar que el geni renaixentista Leonardo da Vinci escrivia en els seus dibuixos amb una lletra estranya. Podem veure un detall de la part superior del seu famós dibuix “L’home de Vitruvi“.
En el fons aquesta escriptura és una senzillíssima escriptura secreta que s’aclareix posant el text davant d’un mirall. Si observem imatge reflectida com a mínim podrem reconèixer algunes lletres o paraules. Per exemple (4) “cubiti fa 1 homo”.
Pots escriure a la manera de Leonardo interactivament en aquest enllaç
Sembla que Leonardo da Vinci era capaç d’escriure perfectament amb la cal·ligrafia normal i amb la invertida.
Observem què passa si treballem amb lletra de pal i reflectim els nostres escrits en un mirall.
El text s’ha tornat pràcticament il·legible (encara que amb una mica d’entrenament el podríem desxifrar ràpidament). Així i tot, podem observar que hi ha lletres que es poden llegir perfectament (com l’A, la X o la I).
Aquesta no és l’única manera d’encarar un text amb un mirall. Observem aquesta altra orientació. Si posem el paper amb el missatge orientat perpendicularment al mirall no observem gaires canvis respecte a la reflexió anterior: és una situació semblant. Les lletres llegibles són les mateixes que al primer exemple.
Però, què passa si l’orientem longitudinalment?
El text torna a presentar dificultats de lectura, però ara les lletres llegibles han canviat: són només la X i la I.
Quins és el secret de tot això?
Estudiem les lletres
Les lletres encarades davant d’un mirall longitudinalment són objecte d’una simetria. Per tant, en les lletres que ja siguin simètriques en aquesta mateixa orientació no s’observa cap canvi. Observa com canvien les lletres quan els hi apliquem la simetria seguin un eix vertical i quines queden invariables. També podràs veure el seu eix de simetria.
També podem veure què passa amb una simetria horitzontal, observar les lletres que no pateixen canvis i quins són els seus eixos de simetria.
Si ens hi posem podrem fer la llista de lletres que tenen un eix de simetria vertical i que no oferiran canvis en una reflexió perpendicular o en una longitudinal.
Lletres invariants a una simetria d’eix vertical
Lletres invariants a una simetria d’eix horitzontal
Hi ha encara un moviment que no hem estudiat i que no “juga” amb el mirall: què passa si girem un missatge 180°? Totes les lletres es tornen il·legibles? La resposta és que no. Les lletres que tenen un centre de gir continuen sent llegibles. Observa com giren les lletres de la paraula matemàtiques i les dues lletres que queden invariables: la I i l’S.
La llista de lletres amb un centre de gir i, per tant, invertibles, és aquesta:
Juguem amb les paraules
És inevitable intentar jugar a fer paraules que no pateixen canvis al mirall o girant el missatge. Observa un text que no varia si el reflecteixes horitzontalment al mirall.
Com veus la frase és una mica estranya, però és que la possibilitat de fer paraules amb les lletres que tenen un eix de simetria horitzontal no és gaire gran.
La cosa es complica quan intentem jugar amb la simetria perpendicular o amb els girs perquè l’ordre de les lletres s’inverteix. Per tant, haurem de buscar paraules que tinguin sentides llegides en totes dues direccions (s’anomenen bifronts i l’exemple més típic, no reflexible amb el mirall, és AMOR – ROMA) o cap-i-cues (també anomenats palíndroms, com el nom ANNA).
Per exemple la paraula MOTA al mirall queda reduïda a una cosa més petita:
A les Balears també poden fer dormir un nen i sentir com ronca o, girant el missatge, sentir roncar el nen i informar-nos que el nen està dormint.
Una última broma amb paraules
Una típica broma amb la simetria de les lletres consisteix a fer creure a algú que la refracció del vidre és diferent segons el color de la imatge a refractar.
Així podem preparar un missatge amb una cosa tan natural com el DIOXID DE CARBONI pintant d’un color, per exemple vermell, DIOXID DE i la paraula CARBONI d’un altre color diferent, per exemple blau. Afirmarem que el color vermell no es refracta amb el vidre i posarem el missatge darrera del peu d’una copa. Observarem com les lletres de CARBONI s’inverteixen i les de DIOXID DE no.
| Grups de Leonardo |
Mirem imatges
Si observem aquestes imatges ens donen una sensació d’harmonia que, en gran part, procedeix del seu ordre. En el seu esquema bàsic hi ha uns motius que es repeteixen aplicant alguns girs i/o simetries.
També fruïm d’aquestes sensacions observant les imatges que fabrica un calidoscopi.
Applet amb imatges calidoscòpiques animades
Els artistes de totes les èpoques coneixen aquesta sensació harmònica que s’obté respectant les simetries i els girs i l’han aplicat a les seves obres.
Un dels artistes que més va estudiar aquests aspectes va ser el ja esmentat Leonardo da Vinci, que va dedicar una part del seu temps al problema de com afegir, sense trencar la simetria, capelles o nínxols a edificis de planta en forma de polígon regular o circular.
Seguirem els seus passos per poder classificar determinats tipus de figures com logos d’empreses, rosasses gòtiques, cúpules, dissenys amb rajoles o de tapaboques de cotxes.
Abans, però haurem d’estudiar la part més teòrica del tema.
Moviments isomètrics
Iso en grec vol dir igual i mètric indica que és relatiu a la mesura. Per tant, un moviment isomètric aplicat a una figura serà un moviment que no afecti les mesures: que no augmenti o disminueixi les mides de la figura original.
Hi ha tres moviments isomètrics bàsics.
- la translació respecte a un vector que ens indica la direcció del desplaçament i la longitud.
- el gir respecte a un punt i amb un angle donat.
- la simetria respecte a un eix o a un punt.
Moviments que superposen
Entre aquests moviments, ens interessaran ara els que deixen la figura superposada sobre si mateixa (invariant), de manera que, un cop aplicat el moviment no notem cap diferència. Per tant, haurem de descartar les translacions que no permeten aquestes superposicions. Ens centrarem en els girs i simetries.
Una figura sempre admet un gir de 360° que la “deixa com estava”.
Però hi ha altres que admeten més girs. Per això hem de trobar un centre de gir (al centre de la mateixa figura) i un angle que permeti aplicar el gir invariant. Aquest “molinet” admet, a més de la volta completa, 4 posicions més que la deixen “tal qual”. Per obtenir les 5 posicions de la volta completa hem de girar la figura en angles que van de 72° en 72° (72°, 144°, 216°, 288° i 360°).
Una altra possibilitat a estudiar seran les simetries. Cap de les dues figures anteriors en presenta, però aquesta té un eix de simetria que també la deixa invariant.
Com és lògic, aquesta figura també presenta el gir trivial de 360°.
La següent figura és més complexa. Admet 4 girs invariants en una volta completa, un cada 90°.
Però també té 4 eixos de simetria que, com pots observar, es creuen en el mateix punt que el centre de gir.
Els Grups de Leonardo
Leonardo da Vinci va classificar aquest tipus de figures en dos grans grups:
- Cíclics: no tenen eixos de simetria. Els podem simbolitzar amb la lletra C.
- Diedrals: tenen eixos de simetria. Els podem simbolitzar amb la D.
Qualsevol figura es pot classificar en un d’aquests dos grups. L’única cosa que haurem d’afegir serà un subíndex que ens indiqui o bé quants girs tenim que deixin la figura invariant en una volta completa, o bé quants eixos de simetria.
Observa a quin grup pertany cadascuna de les quatre figures anteriors:
I un cercle que serà? Un grup diedral infinit?
La resposta és que no. Per classificar en un Grup de Leonardo una figura ha de tenir un nombre finit d’eixos o de girs.
| Classifiquem |
Polígons
Abans de passar a classificar figures més complexes potser convindrà fer una primera pràctica amb polígons.
Per classificar cada figura podràs moure i girar la recta que pot servir d’eix de simetria o girar tota la figura. Només cal moure els punts lliscants dels applets fets amb GeoGebra
Després d’indicar si és Diedral o Cíclica i la quantitat girs o eixos de simetria podràs comprovar la teva classificació.
En aquest enllaç a un llibre de Geogebra podràs estudiar també un pentàgon regular, un trapezi rectangle, un paral·lelogram i un hexàgon regular.
Plats i rajoles
El disseny de rajoles convida a fer motius que, amb repeticions, permet fer decoracions força complexes. A l’art islàmic, que limitava la reproducció figurativa, trobem mosaics amb dissenys geomètrics de gran bellesa. La tradició islàmica va continuar amb gran força entre els ceramistes de la península Ibèrica. L’època modernista, en la que també hi era present una decoració ceràmica molt irregular (com per exemple el mètode del trencadís), va ser una època daurada pels motius molt regulars. A cavall entre el segle XIX i el XX es van començar a fabricar les rajoles hidràuliques (nom ja que es feien servir premses d’aquest tipus en alguna de les fases de la seva fabricació). Els dissenys de les rajoles hidràuliques s’acostumaven a presentar en grups de 4 rajoles formant un quadrat. També les decoracions dels plats de ceràmica presenten decoracions interessants d’observar. Et convidem que classifiquis alguns dissenys en els Grups de Leonardo corresponents.
En aquest enllaç a un llibre de Geogebra podràs estudiar alguns plats i rajoles
Logos
Els logos de moltes empreses i institucions també es poden classificar amb els criteris proposats per Leonardo. Pots intentar-ho amb aquests.
Enllaç al llibre de Geogebra per estudiar alguns logos
Tapaboques de rodes de cotxes
La forma circular de les rodes dels cotxes convida a dissenyar tapaboques que també es poden classificar fàcilment entre els Grups de Leonardo. Només que miris una mica al teu voltant (si prescindeixes dels cargols i dels logos de la marca del cotxe) en trobaràs models de tots els tipus. De moment, pots començar amb aquests. Però ara ja no podràs experimentar: ho hauràs de fer directament a partir de les imatges
Enllaç a un test autocorrectiu per classificar tapaboques de cotxes
Rosasses
Els elements decoratius de les esglésies romàniques i gòtiques (especialment els d’aquestes) tenen una gran riquesa geomètrica. Un cas especial és de les rosasses, els finestrals circulars que moltes vegades dominen la façana principal. El artesans vidriers sabien decorar perfectament aquestes rosasses, però en la majoria de casos ens convé prescindir d’aquestes decoracions per captar la regularitat geomètrica, fins al punt que, moltes vegades ens és més fàcils copsar les regularitats des de l’exterior que des de l’interior. Observa, sinó, la rosassa de Santa Maria del Mar (Barcelona) des de cada costat de la paret.
És difícil trobar fotografies prou centrades de les rosasses com per girar-les i observar els moviments que la deixen invariant, però segur que ara tenim prou pràctica per fer-ho directament.
Test de classificació de rosasses
Cúpules
Un altre element interessant de moltes edificacions és la forma que es dona a les cúpules. Aquestes, a més, tenen moltes vegades una estructura interior o una decoració força interessant.
Test de classificació de cúpules
| Motiu mínim |
El fet de que una imatge tingui algun gir més que el de 360º o que tingui alguna simetria ens fa pensar que hi ha una manera més ràpida i còmoda de dibuixar-la. Podem trobar quin és el tros més petit de la figura que la pot generar completa fent els girs o simetries que corresponguin. Això, si ho fem amb paper, ens permet aplicar la tècnica de calcar el dibuix i copiar-lo en comptes d’haver-lo de fer tot de no cada vegada.
Aquest tros més petit que pot generar la figura amb els girs o simetries corresponents es coneix com a motiu mínim o mòdul.
Observem alguns exemples. Començarem per un disseny cíclic i continuarem amb un de simètric
- Motiu mínim i construcció d’una figura C6.
- Construcció d’un D3 exclusivament amb simetries.
- Construcció del mateix D3 amb una primera simetria i dos girs.
Busquem el motiu mínim
Una cosa és construir una figura a partir del seu mòdul i la seva qualificació (C2, D3, etc.) i una altra és buscar el mòdul d’una figura donada.
Pots intentar buscar el motiu mínim de la figura proposada a continuació indicant l’angle que han de fer les dues rectes. Després pots comprovar si ho has fet bé o no.
Si vols provar amb altres set figures (altres rosasses, plats, rajoles,…) pots seguir aquest Enllaç a un llibre de Geogebra per estudiar-les
Si observem els exemples cíclics veurem que el mòdul o motiu mínim queda tancat entre els dos costats de l’angle base de gir. És indiferent com col·loquem els costats, el tros que quedi dins serà un mòdul.
En les figures diedrals el motiu mínim queda tancat entre dos eixos de simetria consecutius.
Pots pensar una fórmula que ens doni l’angle del mòdul en una figura cíclica? I quina serà la fórmula si la figura és diedral, amb eixos de simetria?
| Calidoscopis |
A la primera part de l’activitat ja hem parlat dels calidoscopis. És una de les joguines infantils (o no tan infantils) més boniques que existeixen. De fet hi ha (com podreu observar a internet) grans col·leccionistes de calidoscopis.
El calidoscopi va ser inventat per l’escocès David Brewster al 1816. Bàsicament era com la majoria dels que coneixem ara amb un trossos de vidres de colors (ara en la majoria són de plàstic) que es movien al fons d’un tub format per tres miralls.
No és especialment difícil fer-se un enganxant tres miralls amb cinta adhesiva. Però abans d’enganxar-los és mol interessant estudiar quantes reflexions s’obtenen variant els angles que formen. Fins i tot si només treballem amb dos miralls articulats (el que es coneix com un llibre de miralls). Aquí tens una aproximació a l’estudi d’alguns dels nivells de reflexió d’un calidoscopi triangular.
Juguem amb el calidoscopi
El calidoscopi més clàssic col·loca els tres miralls formant un triangle equilàter, amb angles de 60º. Això provoca que a cada vèrtex hi hagi tres eixos de simetria, el que ens formarà una figura del tipus D3. Visualment es fan uns conjunts de reflexions en petits grups d’estructura hexagonal.
- Amb aquest calidoscopi fet amb GeoGebra per Michael Borcherds podràs experimentar amb diferents quantitat d’eixos de simetria.
- Kaleidoscope Painter també permet fer dibuixos calidoscòpics.
- Kaleido Tile és un aplicatiu descarregable que permet fer algunes imatges calidoscòpiques sobre poliedres.
