| Índex | ||||
| Introducció | Tallem la cinta | Voltes i més voltes | Curiositats | Activitat en pdf |
| Introducció |
Agafem una tira de paper ABCD d’uns 30 cm de llarg i uns 2 cm d’ample i enganxem els extrems com indica la figura, unint la vora AB amb CD (el vèrtex A amb el C i el B amb el D)
Aquesta cinta té dues cares: la interior i l’exterior. Podem contestar algunes preguntes trivials:
- Quants colors et caldrien per pintar-la si cada cara l’hem de fer d’un color diferent
- Quantes vores té?
- Què passarà si tallem la cinta com indica la figura?
El que hem vist fins ara no té cap misteri. Observem què passa si abans d’enganxar la tira de paper li fem un gir de 180° a un dels extrems tal com s’indica a la figura, enganxant les vores AB i CD però unint els vèrtexs A amb D i B amb C.
Tornem-nos a fer preguntes:
- Què observem si intentem pintar la part interior?
- Quantes cares té aquesta cinta?
- I quantes vores?
Aquesta cinta tan curiosa d’una sola cara i una sola vora es coneix com a Cinta o Banda de Möbius. Hi ha enginyers que posen les cintes transportadores de les màquines d’aquesta manera perquè el desgast sigui el més igual possible a “totes dues cares”.
| Tallem la cinta de Möbius |
Un tall longitudinal
Talla la cinta de Möbius de la mateixa manera que ho havíem fet amb l’anterior i observa quin és ara el resultat? Dues cintes també?
Un tall longitudinal descentrat
Fes-te una altra cinta de Möbius i talla-la de nou longitudinalment, però aquesta vegada fes-ho a 1/3 de l’amplada. Després de dues voltes trobaràs de nou el punt de partida. Quin és el resultat? Una cinta més llarga i amb dos o tres girs?
Resultat de cada tall
Si fem un sol tall longitudinal obtenim una sola cinta amb dos girs,
Animació interactiva (Web Atractor)
Si ens hi fixem aquesta cinta, més llarga, ara té dues cares i dues vores,
Si fem el tall en dues voltes el que obtenim torna a deixar-nos ben sorpresos: una cinta encadenada a una altra.
La cinta llarga és com la d’abans: dues cares, dues vores i dos girs. La cinta curta és una de Möbius. Com l’original, però més estreta.
Animació interactiva (Web Atractor)
I ara tallem dues cintes!
Si unim amb un angle recte una banda normal i una de Möbius tal com es veu a l’esquema i les tallem com està indicat potser tornarem a tenir un resultat sorprenent… o no. Abans de fer-ho intenta predir quin serà el resultat.
Una cinta foradada
Si fem un forat a una cinta de paper i fem passar un dels extrems de la cinta abans d’enganxar-lo, com una cinta de Möbius, i després tallem continuant la ranura original… Què obtindrem finalment?
Doble o senzill?
I ara, per acabar, un darrer experiment. Agafa dues tires de paper i, agafant-les com si en fossin una de sola enganxa-les fent una “doble cinta de Möbius”, tal com es veu als dibuixos.
Després agafa un llapis, per exemple, i passa’l entre les dues cintes. Podràs fer una volta sencera i semblarà que en tens dues cintes.
Separa després les dues cintes i… quantes tens en realitat?
| Voltes i més voltes a les cintes |
Una petita investigació que es pot fer consisteix a esbrinar què passa si tallem cintes amb un gir (com la de Möbius normal), dos girs (com la que obtenim al fer un sol tall longitudinal a la Cinta de Móbius), tres girs, etc.
En general, podrem observar que les cintes amb un nombre parell de girs tenen unes característiques comunes i les d’una quantitat senar de girs unes altres.
Els aspectes a observar (cares, vores, parts en tallar, etc.) es poden anar recollint en una taula. Per comptar les cares i vores és bo intentar pintar-les.
| Girs | Cares | Vores | Quantitat de cintes obtingudes amb un tall | Cares de les noves cintes | Vores de les noves cintes | Nusos |
| 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 0 |
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| etc. |
| Algunes curiositats |
Humor
Un parell d’acudits sobre la cinta de Möbius.
Bach
Johhannes Sebastian Bach es va entretenir a fer diferents investigacions o jocs matemàtico-musicals. Un exemple serien els “canons cranc”.
Aquestes composicions de Bach tenen una forma simètrica. Les notes que trobem fins a la meitat de la partitura després se segueixen tocant en ordre invers. La norma és que havia de sonar harmònicament. La composició obtinguda es podia tocar des de l’inici o des del final (llegint al revés) i sonava igual.
Si escrivim de manera adequada les dues parts de la partitura sobre les dues cares d’una tira de paper i després l’enganxem formant una cinta de Möbius tindrem una mena de música infinita. La forma d’escriure a cada cara serà la següent (els números representen l’ordre a seguir).
En aquest vídeo de Jos Leys pots sentir la melodia per parts, conjunta i la transformació en cinta de Möbius.
Escher
Maurits Cornelis Escher(Leeuwarden, 1898-Hilversum, 1972) va ser un gravador holandès autor de complexes representacions basades en problemes matemàtics. Creant formes a partir d’esquemes geomètrics va realitzar retrats, paisatges, sèries d’animals metamorfosats i arquitectures il·lusòries.
Aquí en tenim dos interessants exemples. Una cinta amb un mosaic i potser la seva imatge més famosa amb les formigues fent infinites voltes (tot i que en una cinta normal també les farien).
Cinta de Möbius II (1963)
Genets (1946)
Una de les obres més curioses és, potser, aquesta Cinta de Möbius I del 1961. Si observem la separació entre les serps fem una volta sencera. Sembla que hi ha dues cintes. Si resseguim les serps fem una sola volta, per tant, hi ha només una cinta. Aquest quadre està relacionat amb el tall longitudinal o amb l’activitat d’enganxar dues cintes.
Podeu trobar més informació sobre Escher al web oficial amb el seu nom.
Escultura
L’escultura, en ser tridimensional, ha estat molt propensa a inspirar-se en la cinta de Möbius. Us enllacem dos articles de Raül Ibáñez amb una mostra extensa.
Cinta sense fi (1953) Max Bill. Museu d’Art de Baltimore
Eternitat (1980) John Robinson, Camberra, Australia
Literatura amb la cinta de Möbius
No podem dir que els poemes inspirats en la cinta de Möbius siguin d’una gran qualitat literària. Molts juguen, a més, amb la broma de l’strip-tease, donat que en anglès la cinta es diu Möbius Strip. Aquí tenim dos petits exemples
Cyril Kornbluth
Una ballarina frívola de cabaret
preciosa i de nom Cinta,
tant feia estriptís com ballet.
Amiga de llegir ciència-ficció,
un mal dia va morir de constricció,
de tanta contorsió i finta,
en voler fer una cinta…
de Möbius.
Anònim
Un matemàtic contava
que la cinta de Möbius,
només tenia una cara.
Una estona te’n riuràs
tallant-la per la meitat,
si bé dos trossos esperes,
continua ben sencera.
També tenim contes, com els dos que trobem al llibre “El Anticipador y otros cuentos de mente” (Juegos&Co./Zugarto Ediciones – Colección De Mente n.10 – Madrid 1993). Del primer que referenciem existeix, a més, una pel·lícula del 1996.
- “Un subterráneo llamado Möbius” (A.J. Deuchst): Al metro de Boston s’inaugura un nou túnel que converteix el conjunt de línies de metro en una “xarxa de connexió infinita”. Un comboi de metro es perd i la recerca, que dura uns quants mesos, ajuda un matemàtic. El metro, tal com desaparèixer, torna a la línia del “nostre costat”. Però un altre comboi torna a desaparèixer… En aquest enllaç teniu la versió anglesa. I en aquest altre enllaç la versió castellana.
- “El profesor no lateral” (M. Gardner): A una trobada de topòlegs s’hi afegeix un matemàtic polac que assegura haver trobat una superfície “no-lateral”, sense cap vora. Aconsegueix plegar unes tires de paper i les fa desaparèixer. Un dels presents dubta del que ha vist i l’acusa de fer trucs de màgia. El matemàtic polonès el “plega” seguint les directrius de la seva nova superfície i el fa volatilitzar en una altra dimensió. Penedit es fa plegar ell mateix per anar-lo a buscar. Finalment tots tornen “al nostre costat”
Marta Macho, al seu article Poesía retorcida sobre banda de Möbius, ens explica un poema divertimento de Luc Étienne: a cada cara de la cinta, abans d’enganxar-la, escrivim una estrofa d’una poesia. Quan ho enganxem convenientment fent la cinta canvia totalment el sentit.
A una cara de la cinta escrivim:
Treballar, treballar sense parar,
per a mi és obligació
no puc flaquejar
doncs estimo la meva professió…
Després girem la cinta pel costat llarg (a cada cara el text quedarà invertit) i escrivim:
Una llauna és realment
perdre el temps,
i gran és el meu patiment,
quan estic d’estiueig.
Quan enganxem la cinta llegirem:
Treballar, treballar sense parar, una llauna és realment
per a mi és obligació perdre el temps
no puc flaquejar i gran és el meu patiment,
doncs estimo la meva professió… quan estic d’estiueig.