Els hexamants ñes un trencaclosques de 12 peces. Les peces s’obtenen de les diferents formes d’unir sis triangles equilàters per un costat. Un cop construïdes ens podem endinsar en tot un conjunt de jocs i petites recerques matemàtiques força interessants.
| Índex | ||
| Introducció | Les peces | Problemes |
| Romboides | Fem forats | Solucionari |
| Descarregar activitat en pdf | ||
| Introducció |
Salomon W. Golom, i els pentòminos
El matemàtic i enginyer Salomon W. Golomb (1932-2016), a la seva època d’estudiant va inventar un joc de trencaclosques que va batejar amb el nom genèric de pentòminos. Les peces d’aquests trencaclosques s’obtenien unint cinc quadrats de manera que, com a mínim, es toquessin per un costat. Amb aquesta norma es construïen 12 peces diferents. El trencaclosques va tenir un gran èxit i encara és fàcil de trobar a les botigues.
El nom té el seu origen en la fitxa del joc del dòmino que està formada per la unió de dos quadrats. D’aquí surten els tríminos (fet amb 3 quadrats), els tetràminos (amb 4), els pentòminos (amb 5), etc. En general, tots aquests trencaclosques s’anomenen poliòminos. Cal dir, també, que els tetràminos han inspirat el popular joc del tetris.
Els poliamants
El mateix Golomb va suggerir la possibilitat de construir jocs semblants unint triangles equilàters en comptes de quadrats. Va ser el matemàtic escocès T.H. O’Beirne que al 1963 va proposar anomenar-los poliamants. El nom té l’origen en què el coll de rombes de la baralla francès rep el nom de diamant. Per tants, si enganxem dos triangles tenim un di-amant, si enganxem 3 triamants, si n’enganxem 4, tetramants, 5 seran pentamants…
| Diamant |  |
| Triamant |  |
| Tetramants |  |
| Pentamants |  |
Hexamants
Els hexamants, tal el com seu nom indica, estaran fets per la combinació de 6 triangles equilàters. Dues peces són diferents si en superposar-les de qualsevol manera (girada, per l’altra cara…) no coincideixen. L’exemple de la imatge mostra tres vistes d’un mateix hexamant.
Ara pots començar a treballar. Amb aquesta aplicació podràs cercar els 12 hexamants existents. Estaria bé que t’imprimissis un full amb una xarxa triangular per poder dibuixar les peces còmodament.
| Les peces |
Els 12 hexamants
Segurament ja hauràs trobat les 12 peces del joc. El mateix O’Beirne va posar nom a la majoria d’elles inspirant-se amb la seva forma. No aniria malament anar-nos familiaritzant amb el seu nom.
Romboide |
Pal de golf |
Corona |
Esfinx |
Hexàgon |
Sabata |
Llagosta |
Papallona |
Serp |
Ratpenat |
Pistola |
Iot |
Estudiem les peces
- Costats
Una primera observació que podem fer és intentar classificar els hexamants segons la quantitat de costats que tenen.
| Costats | Hexamants |
| 4 | |
| 5 | |
| 6 | |
| 7 | |
| 8 | |
- Àrea
Tots els hexamants estan fets amb 6 triangles iguals. Si prenem aquest triangle com a unitat veurem que tots tenen, per tant, la mateixa àrea.
- Perímetre
Encara que dues figures tinguin la mateixa àrea no vol dir que tinguin el mateix perímetre. Ara bé, 11 d’elles el tenen igual, i una el té dues unitats més petit.
| 8 unitats | |
| 6 unitats | |
- Simetria
També podem estudiar els eixos de simetria que té cada peça. Per exemple, si comparem els tetramants veurem que hi ha un amb 3 eixos de simetria, que un altre amb un i que el tercer no en té cap.
Fes aquest test per estudiar quants eixos de simetria té cada peça.
Es pot construir qualsevol figura amb els hexamants?
Una observació atenta del conjunt dels hexamants ens permetrà veure que hi ha un parell de peces que tenen una diferència important respecte a les altres respecte a l’orientació dels seus triangles. Perquè ho vegis més clar fins ara hem pintat cada orientació d’un color diferent:
Veuràs que, dels 12 hexamants hi ha deu que tenen tres triangles de cada tipus i dos hexamants que tenen quatre d’un color i dos de l’altre.
| Tres de cada | |
| Quatre i dos | |
- És possible de construir una figura?
No tenim una manera segura de saber si una figura es pot fer amb els hexamants o no. Però sí que podem determinar algunes condicions mínimes perquè ho sigui.
- La quantitat total de triangles ha de ser un múltiple de 6.
- Si els pintem com als escacs segons l’orientació ha d’haver-hi tants triangles d’un tipus com de l’altra o bé 4 de diferència. (Si hi ha menys de 72 triangles la diferència pot ser també de 2)
Aquesta segona condició, a més, ens determina com s’han de col·locar l’iot i l’esfinx: compensant els triangles de cada color si han de ser iguals o sumant-se si la diferència és de 4.
| Compensant-se (6-6) | Sumant-se (4-8) |
  |
  |
Un exemple de figura impossible és aquesta:
Encara que té 72 peces (xifra que és múltiple de 6) té 39 triangles d’un color i 33 de l’altre, amb una diferència de 6.
Pots fer un petit test per dir quines figures són possibles i quines no
Tot i així encara que es donin les condicions de vegades les figures no es poden construir. Per exemple, el romboide de 2 triangles de base i 3 d’altura acompleix les condicions:
- té 12 triangles (múltiple de 6)
- té 6 triangles de cada orientació
Si intentes muntar-lo amb dues peces veuràs que és impossible.
| Problemes |
A continuació tens un applet per a treballar els problemes que proposarem. Però, si vols, també te les pots imprimir.
Problemes amb algunes peces
Per començar a familiaritzar-se amb el trencaclosques el millor és començar a treballar amb poques peces.
- Tres parells de bessones
Amb les 12 peces es poden fer tres parells de figures iguals: posant dues peces diferents a cadascuna.
- Hexàgon irregular
Amb aquestes 5 peces es pot fer un hexàgon irregular. (la mida de l’hexàgon de la imatge no és la real)
- Hexàgons regulars
Amb 4 peces es poden fer un hexàgon regular de costat 2. Com a molts altres trencaclosques hi ha més d’una solució.
Amb 9 peces es pot construir un hexàgon regular de costat 3
- L’estrella de 6 puntes
Amb aquestes 8 peces es pot fer una estrella de 6 puntes. Es pensa que aquest problema només té una solució.
Problemes amb totes les peces
En general, com més peces fem servir més costa resoldre els problemes. Per tant, ens caldrà un pèl més de paciència i constància.
- El trihex
El trihex és una figura feta per tres hexàgons. La pots intentar resoldre de dues maneres diferents. Una formant un hexàgon (amb la corona, l’hexàgon, la sabata i el pal) i fer la “mena de 8” que formen els altres dos amb la resta de peces. L’altre és omplint primer una meitat i després l’altra. (Una de les meitats es fa amb el iot, la serp, el pal, la pistola, el ratpenat i la papallona).
- Figures simètriques
Vet aquí tot un grup de figures simètriques per construir amb els 12 hexamants.
Duplicant i triplicant peces
Un problema típic amb aquests tipus de trencaclosques (poliamants, poliòminos…) és el de reproduir les peces del mateix trencaclosques amb una mida més gran. Si intentem duplicar una peça ens en caldran 4, si la intentem triplicar 9, per quadruplicar seran necessàries 16, etc.
- Duplicació
Duplicar les peces dels hexamants és relativament fàcil perquè podem fer dos trapezis (ratpenat-esfinx, iot-llagosta) que ens permeten fer 9 dels 12 hexamants. La pistola, la corona i la llagosta no es poden fer.
- Triplicació
El iot i l’esfinx, pel fet d’estar “desequilibrats” de triangles, no es poden triplicar. Per altra banda, encara no s’ha aconseguit triplicar la papallona. Ara per ara es pensa, però no se sap amb certesa, que és impossible. Et posem un exemple de triplicació. Pots intentar triplicar alguna de les altres peces. Te’n donem tres exemples fets.
https://sites.google.com/xtec.cat/cesire-matematiques-campanyes/laboratori-de-matem%C3%A0tiques/pent%C3%B2minos?authuser=0
| Romboides |
Investiguem els romboides
Una investigació curiosa a fer amb els hexamants és la de la construcció dels romboides. La investigació té dues fases:
- Eliminar els romboides que no es poden fer amb hexamants.
- Trobar les solucions dels que són possibles.
Tots els romboides tenen una quantitat igual de triangles en cada orientació. Per tant, aquesta condició de “possibilitat” de construcció la compleixen.
Per poder eliminar ràpidament els romboides ens convé trobar una manera ràpida de calcular la seva àrea en “triangles” per veure si són múltiples de 6 o no.
Intenta practicar amb uns quants romboides amb un petit test
Quins romboides seran possibles i quins no
Els 12 hexamants junts formen una àrea de 72 triangles (6 triangles de cada peça x 12 peces). El romboide més petit que es pot fer és el de la mateixa peça anomenada romboide. És un romboide d’1×4. Hem vist anteriorment també que el romboide de 2×6, tot i ser teòricament possible, a la pràctica no ho és.
Ara només ens preocuparem de mirar si són factibles. Després, si ho són, mirarem quins tenen solució i quins no.
De moment podem començar fent una taula de casos amb les diferents possibilitats a partir de la mesura del costat curt. Per construir la taula tindrem en compte:
- que l’àrea màxima és 72.
- no considerarem els casos de costat 1 perquè tret de l’1×3 no tenen solució
- tampoc considerarem els casos de costat 2 perquè dels 12 possibles només el de 2×6 té solució.
Amb aquestes consideracions obtenim aquests casos per estudiar:
| Costat curt | Romboides |
| 2 | 2×6 |
| 3 | 3×3 3×4 3×5 3×6 3×7 3×8 3×9 3×10 3×11 3×12 |
| 4 | 4×4 4×5 4×6 4×7 4×8 4×9 |
| 5 | 5×5 5×6 5×7 |
| 6 | 6×6 |
Una pista: es poden eliminar tots aquells casos en què l’àrea en triangle no és múltiple de 6. Per tant, la taula ens queda així:
| Costat curt | Romboides |
| 2 | 2×6 |
| 3 | 3×3 3×4 3×5 3×6 3×7 3×8 3×9 3×10 3×11 3×12 |
| 4 | 4×6 4×9 |
| 5 | 5×6 |
| 6 | 6×6 |
Construïm els romboides
Ja tenim una llista dels romboides teòricament possibles. Ara cal arremangar-se i fer-los. De tots els casos anteriors h ha un, dels més senzills, que segur que no es pot fer. L’altre cas és del romboide de 3×12. Si té solució encara no s’ha trobat. Més aviat es pensa que no en té, però tampoc s’ha demostrat encara. Et posem l’exemple del 2X6.
| Fem forats |
Investigació foradada 1
Una recerca interessant amb els hexamants consisteix en col·locar les peces de tal manera que es formin forats amb la forma del triangle unitat. Quant més forats es formin millor. Els hexamants es poden tocar pels vèrtexs o pels costats. Observa aquests exemples amb 3 peces. Posades d’una manera determinada generen 2 forats de triangle unitat, però la solució es pot millorar a 3 canviant la posició de les peces.
L’única norma és que no es poden crear forats amb altres formes. Per exemple, a sota hi ha una solució amb 12 peces no serveix perquè un dels forats té forma de rombe. La del costat, que genera 8 triangles és correcta.
Ara et toca practicar. Abans de començar amb totes les peces pots intentar buscar solucions màximes amb 3 peces, amb4, amb 5…
Per aquesta investigació et deixem un altre applet en el que tens la trama isomètrica dibuixada.
Investigació foradada 2
Una recerca interessant amb els hexamants consisteix en fabricar forats. Hi ha una norma diferent a la del problema anterior: les peces s’han de tocar, com a mínim, per un dels costats del triangle base. Observa aquest exemple amb 4 peces.
El primer repte que et plantegem és el següent:
- intentar aconseguir el forat de més superfície fent servir només 4 peces de manera que dues d’elles es toquin, com a mínim, per un costat.
- fes després el mateix amb 5 peces i 6 peces.
Després pots atacar el problema amb totes les peces: intentar aconseguir el forat més gran. Aquí tens un exemple de solució amb un forat de 73 triangles.
La propina
Els hexamants són bàsicament un trencaclosques de construcció de figures com el tangram. Per això, per acabar et proposem dues figures de comiat. Una té una bonica simetria de gir i l’altra recorda una pinya carregada de vèrtexs.
