Un dels elements decoratius més utilitzats des de l’inici de les arts decoratives són els frisos o sanefes. Però qualsevol fris que trobem el podem classificar en un dels set únics grups matemàtics existents. En aquesta activitat, en alguns trossos molt inspirada en les propostes de llibre Passeig matemàtic per Catalunya de Teresa Ticó, aprendrem a classificar-los i a construir-ne de cada tipus a partir d’un dibuix bàsic.

Frisos, sanefes, greques…

Trobem els frisos arreu del món, i des d’èpoques molt remotes, com a element decoratiu: a parets, columnes, gerros, marcs, enreixats… Un fris és, bàsicament, una decoració emmarcada entre dues línies paral·leles. Els frisos que ens interessen, però, són els frisos periòdics, que presenten un motiu bàsic que es va repetint al llarg de tot el fris.

En un fris periòdic el motiu o mòdul bàsic es va repetint per translació amb un vector que té la direcció del fris i una llargada equivalent a l’amplada d’aquest motiu.

Però el motiu bàsic pot estar construït per un tros més petit que anomenem motiu mínim del fris. És el tros mínim de dibuix que ens permetria construir tot el fris.

Moviments del pla aplicats a un fris

Podem considerar els frisos d’una llargada infinita. Si a un fris amb aquestes característiques li apliquem algun moviment del pla com ara un gir o una simetria és possible que no notem cap diferència en el nou fris obtingut. Es diu que el fris queda invariant.

En principi podem contemplar tres moviments:

• simetria respecte a un eix vertical
  

• simetria respecte a un eix horitzontal

• gir de 180º

El fris que hem vist a l’exemple anterior només queda invariant amb una simetria vertical (i amb dos eixos diferents).

Aquest altre fris, en canvi, queda invariant amb els tres moviments.

Però als tres moviments esmentats hem d’afegir un altre: la simetria amb lliscament. És una simetria horitzontal a la qual després se li aplica una petita translació.

Tornar a l’índex

Combinar els quatre moviments anteriors ens dóna 16 possibilitats diferents (gir sol, gir i simetria vertical, simetria vertical sola…). D’aquests 16 casos quatre són incompatibles (tots ens els que apareixen la simetria horitzontal i la simetria amb lliscament), alguns no es poden fer i altres són repetitius.

Al final només queden 7 de possibles. Tots els tipus de frisos els anomenem amb una F. Després afegim un subíndex mirant si té o no té gir i un superíndex si té algun tipus de simetria.

• subíndex: 1, si no tenen rotació; 2, si en tenen.
• superíndex: no se’n posa cap si no tenen cap simetria; 1, si tenen simetria horitzontal; 2, si tenen simetria vertical; 3, si tenen simetria amb lliscament.

A continuació tens un model de cadascun dels tipus.

Aquesta no és l’única forma d’anomenar els set tipus de frisos però serà la que farem servir aquí. Només perquè vegis un altre de les formes et mostrem la que es basa en les transformacions de jocs de lletres:

Tornar a l’índex

Una ajuda per a classificar pot ser seguir aquest diagrama.

Ara pots practicar la classificació amb aquests applets de GeoGebra. Te’n mostrem dos en els que pots experimentar girs i simetries i t’enllacem cinc més.

Cas 1

 
Enllaç a la construcció

Cas 2

Enllaç a la construcció

Cas 3	Cas 4
Cas 5	Cas 6
Cas 7

Les sanefes i frisos anteriors eren més fàcils de classificar perquè t’hem ajudat a girar-los i a fer les simetries, però hem d’intentar acostumar-nos a fer aquests moviments “amb el cap”, imaginant-los. Ara pots intentar classificar aquestes sis sanefes de decoracions de piscines, de parets, de reixes…

Enllaç al projecte d’Scratch

Tornar a l’índex

Fabriquem frisos: el motiu bàsic.

Per fabricar un fris hem de partir del disseny d’un motiu bàsic en forma de paral·lelogram. El més usual és un rectangle, però per la barana d’una escala, per exemple, ens pot interessar que sigui un romboide.

Fabriquem frisos: el motiu mínim

Recordem que el motiu bàsic pot tenir un tros més petit a partir del qual el podrem dibuixar tot: el motiu mínim. A la fotografia inferior el tros més fosc ens permet amb dues simetries reconstruir el quadrat del motiu bàsic i, a partir d’ell tot el fris.

• Exemple de com fer un fris F₁.

Un fris d’aquest tipus no té cap modificació del motiu mínim. Ens limitem a repetir-lo de forma contínua, ja que el mateix motiu mínim és el bàsic. Observa com reconstruir aquesta reixa a partir del seu motiu mínim.

• Exemple de com fer un fris F₂.

Els frisos d’aquesta classe admeten un gir de 180°. Per construir el motiu bàsic al costat del motiu mínim unim una còpia d’aquesta girada 180°. Les dues peces constitueixen el motiu bàsic que copiarem repetidament. Pots observar un exemple de reconstrucció d’un fris romà.

• Exemple de com fer un fris F₁².

Aquests frisos admeten una simetria vertical. Abans hem vist ja un exemple de com fabricar-lo a partir del motiu mínim. El motiu bàsic és un motiu mínim i una còpia seva a la qual se l’ha aplicat una simetria vertical.

• Exemple de com fer un fris F₂¹.

Els frisos d’aquests tipus tenen simetries horitzontals i, en conseqüència, també gir. Per fer el motiu bàsic que després repetirem unim una peça al motiu mínim amb simetria horitzontal i, a continuació, apliquem una simetria vertical al grup de dues peces anteriors. El motiu bàsic està fet, així, de quatre peces del motiu mínim.

Ara et toca a tu!

Una forma pràctica d’experimentar en el disseny de frisos és dibuixar-nos un mòdul, una peça que podrem repetir girada o amb simetries i anar col·locant una al costat de l’altra. Un cop tenim un mòdul (que convé tingui un disseny sense cap mena de simetria). Ens podem fer quatre versions del mòdul, una en cada de les 4 versions possible. En paper, que el podem girar, només caldrien dues còpies: una normal i una altra amb una simetria.

Fes frisos lliurament

Tornar a l’índex