| Índex | ||
| Introducció | Figures | Àrees |
| Solucions figures | Solucions àrees | Descarregar l’activitat |
Aparicions i desaparicions misterioses
Entre els trencaclosques més clàssics hi ha tot un grup que conformen el que podríem anomenar com a paradoxes de desaparició. Successives reelaboracions de problemes han portat aquest gènere fins a la creació d’autèntiques obres mestres de la màgia matemàtica. Aquí podreu veure alguns exemples d’aquests tipus de jocs i conèixer el seu funcionament intern.
Dintre del gènere dels problemes de desaparició hi trobem dos grans grups:
- els de desaparició de línies o figures.
- els de variacions d’àrees.
Un cop hagis vist els exemples que et posem de cada tipus, podràs descobrir el seu misteriós disseny.
Tots els trencaclosques que podràs veure en aquestes animacions funcionen perfectament igual amb les peces retallades en paper. Per provar-ho només has de descarregar l’arxiu de l’activitat.
| Figures |
Els nans entremaliats
Aquest joc va ser creat per Pat Patterson Lyon l’any 1968. El joc té tres peces. La de sota no s’ha de moure. Però si intercanviem el lloc de les dues superiors veurem una cosa ben estranya: a una de les disposicions hi ha 15 nans i, a l’altra, 14.
Pots provar tu mateix amb aquest aplicatiu fet amb GeoGebra.
Fora de la Terra!
L’any 1896 el gran creador nord-americà de trencaclosques matemàtics Sam Loyd va publicar aquest joc predecessor de tots els del seu tipus. Hi ha una peça exterior i una interior que coincideix amb la Terra. Només que la girem una mica farem aparèixer o desaparèixer un guerrer. Passarem de 12 (posició NW) a 13 (Posició NE).
Un cop més pots provar amb GeoGebra
Applet fet per Ben Sparks
Els ous màgics
Aquest joc és força antic: del 1880. Segons com col·loquem les quatre peces veurem 8, 9 o 10 ous.
Tants caps, tants barrets
Una versió simplificada dels altres dos trencaclosques anteriors creada per Martin Gardner i que fa desaparèixer un cap. Potser és l’exemple que dona una idea més clara de com funcionen, bàsicament, aquesta mena de trencaclosques.
| Àrees |
Un retall que dilata
No sabem molt bé l’origen d’aquest trencaclosques. Sembla que Sam Loyd, en algun moment, també es va atribuir la seva invenció.
Es tracta de transformar un quadrat de 8×8 retallat tal com s’indica en un rectangle. Pots fer-ho arrossegant les peces. Per girar-les utilitza el punt vermell.
Si ara comparem les àrees del quadrat i del rectangle observarem que hi ha una diferència d’un quadret. Si totes dues figures estan fetes amb les mateixes peces, com és possible?
Un forat misteriós
El mag Paul Curry de Nova York va inventar als anys 50 la primera versió d’aquest trencaclosques en què la recol·locació de les peces sobre un mateix rectangle crea un forat aparegut de no se sap on.
Observa ara aquesta altra versió, amb peces diferents, en una imatge extàtica.
Imatge extreta de la Viquipèdia
Iguals i diferents
Observa aquests tres triangles que són exactament iguals: isòsceles, amb una base de 10 quadrets i una altura de 12. Dos d’ells han estat descompostos en altres figures més petites.
Si calculem les àrees a trossos no coincideixen. Per què?
La catifa d’en Guiu
En Guiu Tisores és un noi molt eixerit que sap eliminar un tros tacat d’una catifa sense variar la seva forma. Només li cal tallar-la convenientment i recosir-la de nou. Seràs tu també capaç de fer-ho? Recol·loca les quatre peces que no estan tacades a l’altre quadrat.
| Solucions als trencaclosques amb figures |
Abans d’estudiar com està fet cada trencaclosques convé mirar en què es fonamenten tots aquests jocs de desaparicions de figures.
Observa aquestes 10 línies tallades per una altra en diagonal. Quan desplacem la part superior i es col·loca alineant de nous les rectes, en veiem només nou línies
Mira bé el conjunt nou de nou línies de línies. Fixa-t’hi que les noves línies tenen dos colors i que són una mica més llargues: han crescut totes 1/9 sobre la seva longitud anterior.
També pots observar un efecte similar amb les línies distribuïdes de forma que el tall quedi horitzontal.
Solució a “Tants caps, tants barrets”
Encara que no és el primer trencaclosques que hem presentat és, per la seva simplicitat, el més fàcil d’explicar.
El principi és el mateix de “nova distribució de línies”, explicat abans, i l’augment de longitud d’aquestes. En aquesta animació pots veure un cas semblant amb figures irregulars. Les figures “creixen” 1/5 respecte a l’altura anterior. Així i tot, veuràs que les formes obtingudes són noves: no s’assemblen gaire a quan eren 6. Només que eliminis la figura A de la part inferior tindràs un model idèntic al dels barrets.
Si tornes a mirar les figures dels barrets veuràs que en la 2a configuració totes les cares s’han allargat dissimuladament. A la 1 cara li “surt” barbeta, a la 2a boca, a la 3a i 4a se’ls hi allarga el nas, i a la 5a li apareixen uns ulls.
Solució de “Fora de la Terra”
El principi bàsic és el mateix que el de la desaparició de línies que s’explica en el joc dels nans. Només que aquesta vegada les línies es disposen formant un cercle. Al girar-lo convenientment totes les línies creixen una mica. En aquest exemple 1/9 de la seva llargada inicial. Observa també que el conjunt de línies que es forma és nou ja que cadascuna tindrà dos colors.
Solució dels “nans entremaliats”
Amb els nans s’aconsegueix un efecte idèntic al mostrat amb les línies, però més ben dissimulat. Aquí es juga amb la distribució de les figures i la gran habilitat per amagar el creixement del nou conjunt de nans format (una cara més llarga, uns ulls on no hi havia, un tros més de genoll…). Si observes els nans amb una nova distribució veuràs que l’efecte no queda tan dissimulat.
Si vols una descripció més detallada de la construcció del trencaclosques dels nans la pots veure en aquesta presentació.
Aquesta explicació general també serveix per al cas del trencaclosques dels ous.
| Solucions àrees |
El principi que fa funcionar aquest tipus de trencaclosques és diferent que el de la desaparició de línies i figures. Aquesta vegada, el que es fa és treballar amb formes que semblen encaixar bé, però que, en realitat, deixen espais entre les peces o es munten les unes sobre les altres imperceptiblement. En molts casos n’hi ha prou a repetir els trencaclosques amb peces prou grans (amb una quadrícula triple de l’original, per exemple) per adonar-se de la trampa.
Una forma de mirar-ho numèricament és tenint en compte la inclinació de les línies: el seu “pendent”. A les carreteres podem observar sovint uns senyals de trànsit que ens avisen que ve un “pendent fort”, pronunciat. Al cas de la imatge, concretament, d’un 8%.
Un pendent del 8% indica que, per cada 100 m que avancéssim horitzontalment, pujaríem (o baixaríem) 8 m.
El pendent es calcula dividint el que es puja o es baixa entre el que s’avança horitzontalment. Només en el cas de les carreteres es dona en forma de percentatge.
Solució “Un retall que dilata”
Observa el cas del quadrat de 8×8 quan muntem el rectangle. Si t’hi fixes bé queda un espai vermell molt prim al llarg de tota la diagonal. Aquest “forat” té exactament l’àrea d’un quadret: el que ens sobra de l’àrea.
També podem mirar-ho des de la mesura de les inclinacions (o pendents) de totes les línies inclinades. Perquè tot fos perfecte haurien de coincidir exactament: la de la peça triangular, la de la trapezoidal i la de la diagonal del rectangle. Però, no és així. Si les calculem veurem que són diferents.
Solucions al “forat misteriós”
Com en el cas del quadrat de 8×8 les peces no encaixen exactament i es creen forats i superposicions que fan aparèixer misteriosament aquest forat del no-res.
També ho podem mirar pels pendents i observar que són diferents.
Solució als triangles “iguals i diferents”
De la mateixa manera que en el joc del quadrat de 8×8, les peces no coincideixen tan bé amb la quadrícula com ens podem pensar en una primera observació. Si mirem la figura atentament veurem que els vèrtexs dels rectangles no coincideixen amb els vèrtexs dels quadrets que prenem com a unitat d’àrea. Si ampliem el dibuix encara ho podrem veure més clarament.
Al triangle que suma 59 d’àrea, el vèrtex del rectangle que comptem no arriba a tocar el costat del triangle gran. Per tant, el comptem amb mesures més petites. El real és una mica més alt i una mica més ample. Prou per fer el quadret d’àrea que li falta al nostre càlcul.
El vèrtex del rectangle que pertany al triangle de 61 d’àrea, està fora del costat del triangle gran. Per tant, el comptem amb mesures sobredimensionades. El real és una mica més curt i una mica més estret. Suficient per a sumar el quadret d’àrea que li sobra al càlcul que havíem fet.
Si mirem la mesura dels “pendents” podrem observar, també, que les inclinacions de les hipotenuses dels triangles rectangles petits no coincideixen amb la del costat del triangle gran.
Solució a la “catifa d’en Guiu”
Com a tots els trencaclosques de “canvi d’àrees” les peces no acaben d’encaixar tan bé com a primer cop d’ull sembla. A més aquesta vegada es juga amb la vista d’una altra manera: la nova catifa no és quadrada sinó “quasiquadrada”. Es retalla una banda rectangular molt primeta.
Novament, podem mirar que els pendents de les línies inclinades no són coincidents.
