Un dels grups més interessants d’il·lusions òptiques, el constitueixen les construccions impossibles: unes paradoxes visuals en què veiem dibuixades unes figures que a la realitat no poden existir. Alguns dels quadres més coneguts d’Escher pertanyen a aquesta categoria d’il·lusions. Estudiarem com funcionen i podrem inventar les nostres pròpies d’una manera ben còmoda.
| Índex | |||
| Perspectiva | Jocs de perspectiva | La perspectiva isomètrica | El triangle de Penrose |
| Un trencaclosques de construcció | Construïm | Galeria | Activitat en pdf |
| Perspectiva |
Enganys de perspectiva
Si mirem quadres d’èpoques anteriors al Renaixement veurem que no tenen sentit de la profunditat. Les pintures egípcies o romàniques, per citar dues èpoques ben distants, tenen un aspecte força pla.
Tot i que ja anteriorment hi van haver intents seriosos de millorar aquest aspecte de la pintura no és fins al Renaixement que no es comença a aconseguir una impressió realista de la profunditat, gràcies als estudis geomètrics de la perspectiva i a les obres immortalitzades per artistes com Fra Angelico, Leonardo da Vinci. Albrecht Dürer, Crivelli, etc.
Dos dels principals aspectes que han de contemplar qualsevol dibuix que intentem fer amb sentit de perspectiva són aquests:
- les línies horitzontals en direcció de profunditat es veuen inclinades.
- objectes iguals, com més lluny estiguin de l’observador, s’han de veure més petits.
Cada tipus de perspectiva (dimètriques, isomètriques, còniques…) explica una manera diferent de determinar la inclinació de les línies i les longituds dels segments llunyans o en direcció de profunditat.
Però, com sempre, “feta la llei, feta la trampa”. Des de la mateixa aparició dels primers tractats de perspectiva alguns pintors van començar a jugar amb aquestes lleis per proposar-nos imatges paradoxals i divertides.
Aquí tenim un exemple fet per William Hogarth (1696-1764) en el que hi trobem diferents jocs de perspectiva. Es tracta de l’obra Sàtira sobre la Perspectiva Falsa on hi ha fins a 22 “errades” o trampes de perspectiva (L’home que està al camp conversant amb la dona de la finestra, el cartell suportat a dos edificis diferents, les dues canyes de pescar…)
| Jocs de perspectiva |
Entre els jocs de perspectiva hi ha tres tipus que trobem freqüentment:
- jocs de quantitats: la quantitat de columnes, potes, barres… que es veuen en una part no coincideix amb les de l’altre. No sempre és un joc de perspectiva.
Hi ha dues o tres columnes? Són prismàtiques o cilíndriques?
- jocs de “a dalt – a baix”: no queda clar si l’angle de visió és el superior o l’inferior.
- jocs de “gran-petit”: ens fan veure de mides diferents coses que són iguals.
- figures impossibles: es poden dibuixar, però no es poden construir a la realitat, com aquesta versió impossible del Teorema de Pitàgores creada per Vicente Meavilla.
Si vols pots intentar fer un petit test classificant algunes figures amb jocs de perspectiva.
La resta de l’activitat se centrarà en l’estudi d’aquest darrer tipus de figures
| La perspectiva isomètrica |
Per a la construcció de figures impossibles farem servir la perspectiva isomètrica. És un tipus de perspectiva força senzill que treballa amb angles de 120°. Rep justament el nom d’isomètrica perquè els angles que conformen cada direcció de l’espai (amplada, altura i fons) formen angles iguals (360º /3 = 120°). És una simetria molt fàcil d’utilitzar sobre una xarxa de punts feta amb triangles equilàters.
En aquesta perspectiva les línies en cadascuna de les direccions són sempre paral·leles. Les imatges queden observades des d’un angle una mica esbiaixat, ja que les línies verticals no existeixen. Només que girem 30° la xarxa aconseguim un altre punt de vista més semblant al que estem acostumats amb les línies verticals recuperades.
Pots practicar intentant encaixar aquests tres rombes dintre de l’hexàgon. Quan ho hagis fet podràs veure que els tres rombes formen un cub.
| El triangle de Penrose |
Potser una de les figures impossibles més “populars” és el Triangle de Penrose, també conegut com el “tribar”.
Va ser divulgada pel conegut matemàtic Roger Penrose juntament amb el seu pare Lionel l’any 1958. Més tard s’ha conegut una figura 24 anys anterior d’Oscar Reutersvärd, segurament el primer gran creador de figures impossibles.
Del triangle de Penrose es poden construir models reals. Observant-lo es pot veure que és una figura oberta en què, mirada des d’un angle determinat, se superposen els dos extrems.
Amb aquesta construcció en GeoGebra de Mathieu Blossier podràs buscar la col·locació correcta per a “veure el triangle impossible. Per moure la figura en dispositiu mòbil cal usar els dos dits. En PC has de clicar el botó dret.
Acabem de veure que el Triangle de Penrose es pot considerar com una figura oberta formada per tres barres. Si no acabem de tancar-les la figura és possible (en dues i en tres dimensions).
Per tant gran part de la trampa està en la falsa unió dels dos extrems.
Per observar millor la trampa pots intentar reconstruir el Triangle de Penrose amb les cinc peces de sota. El Triangle que obtindràs és simètric al del model.
| Un trencaclosques per construir figures impossibles |
Als números 17 i 18 de la revista Cacumen (corresponents a juny i juliol de l’any 1984) es van publicar un parell d’articles de Diego Uribe on es feia una extensa anàlisi de les figures impossibles. Concretament en el segon article l’autor proposava un trencaclosques que ens permetia construir les nostres pròpies figures impossibles.
Aquestes figures tindran una sèrie de condicions:
- estaran dibuixades en perspectiva isomètrica.
- estaran constituïdes per barres de secció quadrada.
- les barres seran sempre perpendiculars entre si.
- les construccions impossibles s’obtindran quan dos punts que no coincideixen a l’espai, per estar un davant de l’altre, es consideren com un sol punt.
El triangle de Penrose obert i tancat construït amb les peces del trencaclosques
Les peces del trencaclosques
El trencaclosques consta d’un conjunt de peces triangulars que es poden ajustar entre elles. Hi ha 32 models de peces diferents que podem dividir en dos grups de 16:
- triangles equilàters amb el costat vertical a la dreta.
- triangles equilàters amb el costat vertical a l’esquerra (els diferenciem amb un punt negre a l’interior).
Quan anem encaixant les peces es forma una mena d’escaquer triangular entre les peces amb punt i les que no en tenen.
Cada color es correspon amb dues orientacions diferents del pla de manera que sembla que les figures queden il·luminades des de la part superior esquerra.
Com podem saber si una figura és impossible?
La resposta a aquesta pregunta és increïblement fàcil
- Si la figura és oberta és sempre possible
- Si la figura és tancada s’han de comptar els triangles amb punt i els que no tenen punt
- si la quantitat és la mateixa la figura és possible.
- si la quantitat és diferent, és impossible.
Figura possible
(Zona interior amb 4 triangles amb punt i 4 sense)
Figura impossible
(Zona interior amb 6 triangles amb punt i 3 sense)
Un tipus de figures impossibles que no podrem fer seran les que tinguin barres superposades, ja que en aquest trencaclosques les barres sempre queden enllaçades. Així per exemple el pseudocub del Belvedere del gravador holandès Escher serà impossible de construir.
Hi ha la possibilitat de combinar trossos possibles amb impossibles. Així, per exemple, a la següent figura la part dreta és possible i l’esquerra impossible.
| Construïm |
Amb aquests programes descarregables per a PC podràs crear les teves construccions impossibles. Les instruccions d’ús són força senzilles:
- pitjant sobre una peça en fabricaràs una al quadrat verd.
- arrossegant-la al tauler groc les podràs col·locar on vulguis.
- per eliminar una peça l’has d’arrossegar sobre la paperera.
- pitjant el botó “Nou” esborraràs el dibuix
- pitjant sobre la impressora podràs imprimir la figura obtinguda.
Per a poder copiar alguns models
Per a construir figures totalment noves
| Galeria |
Cascada (Escher – 1961)
Ascendint i descendent (Escher – 1960)
Dos “tribars” amb fusta
Vols posar-te a prova?
Si vols pots fer un petit test per veure si diferencies les figures possibles de les impossibles.