Un objecte que no falta pràcticament a cap casa del món són uns daus. Molts jocs en fan ús i d’altres es juguen exclusivament amb ells. Un d’aquests jocs va donar origen a l’estudi de les probabilitats que tanta importància tenen al nostre món actual. Mirarem una mica les seves característiques i estudiarem alguns jocs.
| Índex (Part 3) | |||||
| Tres daus | Tria | Màgia | Descarregar | Part 1 | Part 2 |
| Un joc amb tres daus |
El que explicarem ara pot ser tranquil·lament un joc de fira. L’explicarem tal com ho fa l’autor Martin Gardner al seu llibre Ajá! Paradojas.
| La pròxima vegada que vagis al parc d’atraccions, no t’acostis a l’Empassa-sorts! Són molts els innocents que hi juguen pensant que no perdran mai.
|
| El bombo de l’Empassasorts conté tres daus, que s’agiten girant repetidament la gàbia. Els jugadors aposten per qualsevol número d’1 a 6, i reben de premi la mateixa quantitat que aposten per cada dau que surti amb el seu número, a més de recuperar l’aposta. Els juga-dors acostumen a pensar així:
|
| Senyor Pàmfil: Si el joc tingués un sol dau, el meu número sortiria una vegada de cada sis jocs. Si el bombo tingués dos daus, sortiria dues vegades de cada sis. Com que en té tres, haurà de sortir tres vegades de cada sis. Així estarem a la par.
|
| Senyor Pàmfil: Però en realitat, soc jo qui té avantatge, perquè si jugo, per exemple, 1 € al 5, i el 5 surt en dos daus, guanyaré 2 € extres. I si sortís en els tres, llavors serien 3 €! Segur que el joc va a favor meu!
|
| Amb espavilats així, no és un miracle que els amos dels casinos siguin milionaris. Per què l’Empassasorts li dona, en realitat, un fort percentatge a la casa?
|
- Té en realitat avantatge el jugador?
- D’on treu els guanys el que organitza el joc?
Juguem una mica
El millor que podem fer és jugar una mica. Començaràs amb 5 € i triaràs un número de l’1 al 6. Cada vegada que encertis recuperaràs l’euro apostat i cobraràs 1 € per cada cara que mostri el teu número. I podràs jugar fins que et quedis sense diners.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1003754863
Estudiem el joc
Potser quan has jugat has tingut ratxes de bona sort, però el més freqüent és estar per sota dels 5 € inicials fins que, si jugues prou temps, els acabes perdent.
És impossible que tots els jugadors tinguin avantatge. Perquè uns guanyin, uns altres han de perdre i, qui acaba guanyant sempre, és “la casa”, la que organitza el joc.
Hi ha errors en el raonament del Senyor Pàmfil. Un d’ells és el pensar que amb tres daus té la meitat de possibilitats d’obtenir el seu nombre. Seguint el fil que ens proposava, amb sis tirades tindria la certesa (probabilitat 1) de treure’l.
Sabem, perfectament, que aquesta certesa és falsa. Hi ha una manera clara de comprovar-ho. Deixa jugar a l’ordinador i veuràs com sempre t’arruïnes. Pots optar entre jugar a un número fix totes les partides o anar canviant aleatòriament. És indiferent, més tard o més d’hora acabaràs sense diners.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1009068140
Com guanya la casa
La casa, encara que sembli el contrari, guanya cada vegada que hi ha un doble o un triple als daus.
Observem les tres possibilitats.
| Surten tres cares diferents: (Exemple 3, 4 i 6) | |||||||
| Nombres | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| Aposta | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | Total recollit: 6 € |
| Cobren | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | Total pagat: 6 € |
| Saldo per a la casa | 0 € | ||||||
| Surten tres cares diferents: (Exemple 2, 4 i 2) | |||||||
| Nombres | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| Aposta | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | Total recollit: 6 € |
| Cobren | 0 | 3 | 0 | 2 | 0 | 0 | Total pagat: 5 € |
| Saldo per a la casa | 1 € | ||||||
| Surten tres cares diferents: (Exemple 5, 5 i 5) | |||||||
| Nombres | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| Aposta | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | Total recollit: 6 € |
| Cobren | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | Total pagat: 4 € |
| Saldo per a la casa | 2 € | ||||||
Com pots veure el que l’interessa a la casa és que surtin dobles i triples. Però surten amb prou freqüència perquè guanyi molt?
Quines són les probabilitats reals de guanyar?
El càlcul de probabilitats és, en aquest cas, una mica més pesat de fer que amb dos daus, ja que amb tres hi ha 216 combinacions diferents.
Comencem per recomptar els dobles i triples possibles.
Podem comptar que hi ha 90 jugades dobles i 6 de triples. Això implica un guany de 102 € (90+12) per cada 216 jugades. Gairebé la meitat de les jugades (un 47,22%) donen benefici. No està pas malament!
Comptem ara les possibilitats de guanyar per un jugador. Podem mirar què passa si juguem sempre a l’1. Mirant la taula podrem veure que hi ha 91 casos en els quals surt l’1.
Quina és la probabilitat de treure almenys un 1?
Com podem veure és menys de la meitat de possibilitats. No sembla que portem les de guanyar.
Estudiem ara les probabilitats relacionades amb els guanys. Tenim 1 jugada triple (recolliríem 4 €: la recuperació de l’aposta i 3 de premi), 15 dobles (recolliríem 3 €) i 75 simples (recolliríem 2 €).
Imaginem que juguem 216 vegades i van sortint les jugades possibles una per una. Començaríem amb 216 € i acabaríem amb
1·4 + 15·3 + 75·2 = 4 + 45 + 150 = 199 €
Malament! Si no ens retirem a temps, perdríem 17 €
A quina butxaca hi seran? Pot trobar, a partir d’aquests 17 € d’on surten els 102 € que guanya la casa?
Una manera de comptar més ràpida
Quan calculem probabilitats de vegades és més fàcil fer servir truquets, dreceres. Vegem un exemple seguint el problema anterior.
En comptes de calcular les probabilitats de treure un 1 (el que ens exigeix fer la llarga taula de la secció anterior) calcularem les probabilitats de no treure un 1.
- amb un dau les probabilitats que surti una cara diferent de 1 és de 5/6
- per cadascun dels casos en què no traiem un 1 amb el primer dau hi ha 5 de no treure’l tampoc amb el 2n dau. Per tant, la probabilitat de no treure un 1 amb dos daus és de
- Per cadascun dels 25 casos en els que no trèiem un 1 amb dos daus hi haurà 5 més de no treure’l amb un tercer dau. Per tant la probabilitat de no treure un 1 amb 3 daus és de
Ara ho comencem a tenir clar. Si de 216 casos possibles en 125 no n’hi cap 1, en quants n’hi haurà com a mínim un 1?
216-125 = 91
Ja ho tenim! La probabilitat de treure com a mínim un 1 amb tres daus és de
I no hem fet la taula!
Daus amb altres quantitats de cares
Pot ser interessant estudiar com varien les probabilitats dels joc amb tres daus de dues cares (monedes), de tres cares (hipotètics), de quatre (tetraèdrics), de cinc (hipotètics)…
Per exemple, amb un dau de tres cares, la casa perd. Si juguem sempre a l’1, podem arribar a guanyar 19 € cada 27 jugades. La casa perdria 57 € en la mateixa quantitat de jugades.
Amb aquest aplicatiu de GeoGebra pots veure com, entre 1 i 5 daus, el joc és avantatjós per als jugadors, obtenim el màxim benefici amb daus de 4 cares. A partir de daus de 6 cares les pèrdues van creixent de forma accelerada.
| Tria el dau |
Regles
El darrer joc que et proposem funciona de la següent manera:
- Tenim 4 daus diferents.
- Tu triaràs el que vulguis.
- Seguidament l’ordinador en triarà un altre.
- Es tiraran els dos daus.
- Guanyarà la jugada qui obtingui més puntuació amb el seu dau. El jugador guanyador s’anotarà un punt.
- Es continuen fent jugades tornant a triar daus cada vegada.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1006059075
Estudiem el joc
Si has jugat unes quantes vegades veuràs que l’ordinador guanya al voltant del 66% de les jugades (els 2/3). Per què?
Analitzem el joc fent parelles de daus.
- Comparem el dau A amb el B. Pintarem cada casella segons quin sigui el dau que guanyi en cada aparellament.
| A | |||||||
| B | 0 | 0 | 4 | 4 | 4 | 4 | |
| 3 | |||||||
| 3 | |||||||
| 3 | |||||||
| 3 | |||||||
| 3 | |||||||
| 3 | |||||||
Com es pot veure el dau A és més “fort” que el B. Guanya en 24 casos de 36 (2/3 de les jugades possibles)
- Comparem ara el dau B amb el C.
| B | |||||||
| C | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | |
| 2 | |||||||
| 2 | |||||||
| 2 | |||||||
| 2 | |||||||
| 6 | |||||||
| 6 | |||||||
El dau B és més “fort” que el C. També guanya en 24 casos dels 36 (2/3 de les jugades possibles)
- Comparem els daus C i D.
| C | |||||||
| D | 2 | 2 | 2 | 2 | 6 | 6 | |
| 1 | |||||||
| 1 | |||||||
| 1 | |||||||
| 5 | |||||||
| 5 | |||||||
| 5 | |||||||
Ara el dau C és més “fort” que el D. També guanya en 2/3 dels casos.
Pensem ara. Si el dau A és més fort que el B, el B és més fort que el C i el C més fort que el D… quin serà més fort, A o D? El primer pensament ens dirà que A ha de ser molt més fort que D. Però no ens refiem de la primera intuïció. Comparem-los com hem fet en els altres casos.
- Comparem els daus D i A.
| D | |||||||
| A | 1 | 1 | 1 | 5 | 5 | 5 | |
| 0 | |||||||
| 0 | |||||||
| 4 | |||||||
| 4 | |||||||
| 4 | |||||||
| 4 | |||||||
Sorpresa! El dau D és més “fort” que l’A. També guanya en 2/3 dels casos.
Sempre que triïs un dau l’ordinador en podrà triar un altre amb més opcions de guanyar.
Aquests daus no acompleixen una de les propietats més comunes de les matemàtiques, especialment quan tractem de comparar o ordenar: la transitivitat.
La propietat transitiva s’acompleix en un cas com aquest: Si 5 és més gran que 3 i 3 és més gran que 2, 5 serà més gran que 2. Un altre exemple: si en Pau és més alt que la Marina i la Marina és més alta que el Víctor en Pau serà més alt que en Víctor.
Els nostres daus no són transitius: Si el dau A guanya al B, el B guanya al C i el guanya al D, el dau A no guanya al D!
Comprovem-ho
Podem comprovar les taules podem fer jugar cada parella de daus i observar com el dau “fort” guanya en 2/3 de les jugades.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1009068140
| Una mica de màgia |
Hi ha molts trucs numèrics de màgia que s’ajuden dels daus. Però la majoria es basen en l’ús de l’àlgebra i, de fet, es podrien fer tranquil·lament sense daus. El truc que et proposem ara no és d’aquest estil. L’únic que necessites és procurar-te una certa quantitat de daus. Per exemple 5 o 6. És un truc que per internet no té gaire misteri, però sent tu el mag o maga acostuma a quedar molt bé.
Segueix les instruccions:
- fes una pila de daus amb la quantitat de daus que vulguis.
- suma les cares planes ocultes. Per exemple, amb tres daus queden 5 cares planes amagades.
- selecciona la quantitat de daus que has apilat i la puntuació de la cara superior (la vermella de l’esquema anterior) i endevinarem el resultat de la suma que has fet abans.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1009838797
Com funciona el truc?
Aquest truc es basa en la manera en què estan fets els daus: les cares oposades sempre sumen 7.
Així les parelles de cares oposades de qualsevol dau són:
1-6 2-5 3-4
Amb aquesta norma només hi ha dues maneres de fer un dau
De quina de les dues estan fets els nostres daus habituals?
Per fer el truc davant del teu públic l’únic que has de demanar és que un espectador/a apili la quantitat de daus que tu li donis (ves-la variant, ara 4, ara 5, ara 3…), mirar la cara superior i comprometre’t a fer la suma més ràpidament que ell/a.
Quin càlcul hem de fer?
- Multiplicar per 7 la quantitat de daus
- Restar al producte els punts de la cara superior visible.
Per exemple, si hi ha una pila de 5 daus i a la cara superior es veu un 4 s’ha de calcular així:
5·7 – 4 = 35 – 4 = 31
Una variant del truc
Fent servir el mateix principi es pot fer un truc semblant que et permetrà sorprendre al teu públic.
Igual que abans per internet el truc no té una gràcia especial. El millor és fer-lo “en viu”.
Segueix aquestes instruccions:
- tot el truc es fa sense que el mag miri (et prometem que tenim els ulls tancats)
- agafa tres daus i fes una tirada
- suma les puntuacions obtingudes
- tria un qualsevol dels daus, mira els punts de la cara amagada a sota i afegeix-los a la suma anterior.
- tornar a tirar aquest dau i afegeix els punts a la suma anterior
- el mag es gira, dona una ullada dissimulada als daus (tu m’escriuràs les cares visibles) i endevina la suma total, encara que no sàpiga quin és el dau que s’ha tirat dues vegades.
Fem la prova?
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1009847879
Aquesta vegada et deixem esbrinar el càlcul secret que s’ha de fer per endevinar el resultat.