Un objecte que no falta pràcticament a cap casa del món són uns daus. Molts jocs en fan ús i d’altres es juguen exclusivament amb ells. Un d’aquests jocs va donar origen a l’estudi de les probabilitats que tanta importància tenen al nostre món actual. Mirarem una mica les seves característiques i estudiarem alguns jocs.
| Índex (Part 2) | |||||
| Cavalls | Obstacles | Dos colors | Descarregar | Part 1 | Part 3 |
| Curses de cavalls |
Regles
El joc de la cursa de cavalls és molt fàcil.
- Cada jugador tria, alternativament, un o més cavalls (segons la quantitat de jugadors).
- Es tiren dos daus i es resten els valors dels daus.
- Es mou el “cavall” corresponent al resultat de la resta una casella cap endavant.
- Guanya el “cavall” que arriba primer a la meta.
Pots fer jugar unes quantes partides a l’ordinador amb aquest applet. Però abans de jugar pensar a quin cavall (a quin resultat) apostaries. Tenen tots la mateixa probabilitat de guanyar? Si no és així, quins són els que tenen més probabilitats?
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1002049609
Estudiem el joc
La cursa de cavalls és una versió simplificada d’un altre joc que ja havíem proposat en una activitat anterior: L’atzar juga, però no tant.
Hauràs vist que no tots els nombres s’obtenen amb la mateixa freqüència. Això és degut a que cada nombre té una probabilitat diferent depenent de les vegades que surt en la combinació de dos daus.
Hi ha 36 maneres de combinar els dos daus. Si observes la taula veuràs les restes que s’obtenen a cada cas.
Comprovem les probabilitats
Com més juguem, més s’aproparan els resultats reals que aconseguirem als que havíem previst. Observa com va evolucionant el gràfic i mira de quina manera les freqüències relatives (en percentatge) es van apropant a les probabilitats calculades abans.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/952311558
Ara tens prou informació per poder triar els millors cavalls!
| Una cursa d’obstacles |
Regles
En aquest joc hauràs de fer una cursa d’obstacles. Es tracta d’intentar arribar des del començament fins al final amb el mínim nombre de tirades. Evidentment, hauràs de tenir una mica de sort, però et pot ajudar a intentar esbrinar quina és l’opció amb més probabilitats cada vegada. (No t’anirà malament fer-te una taula amb la combinació de dos daus i comptar els resultats de cada suma).
Tauler del joc
El funcionament del joc és el següent:
- Tria una opció (A o B).
- Fes les tirades que calguin fins que aconsegueixis el resultat demanat.
- Tria l’opció A o B per la següent jugada.
- Hi ha quatre obstacles per acabar la partida.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1002917704
Estudiem el joc
Hi ha 4 parelles de casos diferents i s’ha de comparar les probabilitats de cada parella entres sí per a poder decidir quin és el millor “camí”.
Com que hi ha uns quants casos en els que intervé la suma de dos daus, primer haurem de fer una taula que reculli totes les possibilitats (tal com hem fet amb la cursa de cavalls). Amb l’ajuda de la taula podrem calcular les probabilitats de cada cas.
Estudiem cada parella d’obstacles.
- Obstacle 1
- A: Treure 2 o 3 sumant dos daus.
- B: Treure 7 sumant dos daus.
- Obstacle 2
- A. Treure 9, 10, 11 o 12 sumant dos daus.
- B: Treure 3 amb un sol dau.
- Obstacle 3
- A. Treure 8 o 9 sumant dos daus.
- B: Treure un 4 o un 5 amb un sol dau.
- Obstacle 4
- A. Treure un nombre més gran que 7 sumant dos daus.
- B: Treure un nombre senar amb un sol dau.
Un problema de suma de daus
Si vols després pots estudiar les puntuacions que cal posar a un parell de daus perquè els resultats de les sumes de les cares des d’1 fins a 12 siguin equiprobables.
| Daus de dos colors |
Vermell i blau
Hi ha un interessant problema amb dos daus que tinguin cares de dos colors.
- L’Eloi i la Sílvia tenen daus amb cares vermelles i blaves.
- L’Eloi guanya si en tirar els dos daus les dues cares són del mateix color i la Sílvia si les dues cares són de colors diferents.
- L’Eloi té un dau amb 5 cares blaves i una vermella.
Quantes cares de cada color haurà de pintar la Sílvia perquè el joc sigui equiprobable (que els dos tinguin les mateixes probabilitats de guanyar)?
Amb aquest aplicatiu pots canviar de colors les cares del dau de la Sílvia, clicant sobre la cara corresponent. Quan hagis fet una tria podràs fer córrer els daus per a veure si has aconseguit que siguin equiprobables,
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1003392510
Investiguem la solució
És molt possible que el primer pensament en llegir el problema és que al dau de la Sílvia hi hauria d’haver 5 cares vermelles i 1 de blava per compensar el de l’Eloi. Pots comprovar, al següent aplicatiu i canviant els colors de les cares dels dos daus, que en aquest cas la Sílvia tindria més del 70% de probabilitats de guanyar. També pots fer proves amb altres combinacions de cares.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1003754863
Si ho has provat hauràs pogut observar que, sorprenentment, sempre que un dels daus tingui tres cares de cada color és indiferent els colors que tingui l’altre dau: el joc serà sempre equiprobable. També és sorprenent que aquesta és l’única solució. Ni hi ha cap altra combinació equiprobable.
La sorpresa s’aclareix una mica si pensem que no busquem que sigui equiprobable treure cares blaves o vermelles sinó treure cares iguals o diferents.
Amb aquest aplicatiu fet amb GeoGebra pots estudiar les probabilitats per a totes les combinacions de colors dels dos daus. Podràs confirmar que només en el cas que un dels dos daus (com a condició suficient) tingui tres cares de cada color el joc serà equiprobable.
Després pots investigar a la taula quines han de ser les condicions per fer un joc equiprobable si l’Eloi guanya quan surten dues cares blaves i la Sílvia quan surten dues de vermelles.