El número d’octubre del 1970 de la revista Scientific American va provocar una autèntica revolució. En aquella revista Martin Gardner va publicar el primer d’una sèrie d’articles sobre el Joc de Vida creat per en John Horton Conway. Aquests articles els podem llegir en castellà al llibre Ruedas, Vida y otras diversiones matemáticas (Labor, Barcelona, 1985).
Ben segur que per poc que practiqueu us hi enganxareu. També podria ser una proposta interessant per algun Treball de Recerca de Batxillerat.
| Índex | ||
| Introducció | Practiquem | Estructures |
| Configuracions | Comparem evolucions de poblacions | Altres jocs de Conway |
| Descarregar en pdf | ||
| Introducció |
Aquest formigueig que observeu a sota és una mostra de l’evolució d’una petita població inicial seguint les normes del Joc de Vida proposat fa més de 30 anys pel matemàtic anglès John Horton Conway.
És un joc que entra en el terreny del que es coneix com a Vida Artificial o Autòmats Cel·lulars, i que entronquen camps tan diferents com les matemàtiques, la informàtica, el joc i la biologia.
Per poca estona que observeu podreu notar un cert efecte hipnòtic seguint la bellugadissa dels punts i veureu que, a poc a poc i tot i no tenir a la imatge el cicle complet, la població es va estabilitzant.
Vida és un joc de simulació que intenta modelitzar alguns processos de la vida real jugant amb unes poques característiques evolutives de determinades agrupacions d’organismes.
Conway es va proposar crear un model que, amb unes regles molt senzilles, reproduïbles amb una quadrícula (espai vital) i un joc de fitxes (individus) es pogués observar el creixement d’una població inicial (configuració incial) sense que aquest tingués un creixement il·limitat i, per tant, com qualsevol altra població, acabés extingint-se, estabilitzant-se o entrant en un procés cíclic o oscil·latori.
Regles
Després de provar diferents regles va decidir aquestes tres: una de supervivència, una altra de mort, i una tercera de naixement.
-
- Supervivència: Qualsevol fitxa que tingui dues o tres fitxes veïnes sobreviu (també compten en diagonal).
- Mort: Qualsevol fitxa que no en tingui fitxes al voltant o només una, mor per aïllament. Qualsevol que en tingui 4 o més veïnes mor per superpoblació.
- Naixement: A cada casella buida que toqui exactament 3 fitxes hi neix una de nova.
Cada pas evolutiu l’anomenarem batec o generació.
Alguns exemples
- Exemple 1. Una disposició inicial que, en 4 batecs, es torna estable. No varia més. La disposició a la qual s’arriba no dona lloc a noves morts ni a nous naixements.
- Exemple 2. És una disposició inicial que, en 5 batecs s’extingeix.
- Exemple 3. Un “bloc”. És estable des del principi. Per la seva configuració no es produeixen canvis: ni morts, ni naixements.
- Exemple 4. Un oscil·lador. És una disposició que repeteix indefinidament un cicle, més o menys llarg de passes (tics). Al final del cicle torna a estar on i com estava al principi. Aquest oscil·lador és de dos “tics”.
Durant el desenvolupament d’una població, moltes vegades veureu que hi ha zones que acaben amb petits grups de formes estables (com els blocs) o en oscil·ladors.
| Practiquem |
Com practicar
Practicar amb fitxes i tauler es força laboriós. Per fer-ho és molt millor ajudar-se de mitjans informàtics. Hi ha programes per a descarregar i altres per a practicar en línia. També hi ha apps per a dispositius mòbils.
Una de les grans diferències està en la mida de la graella i les decisions que han pres els programadors respecte a què fer quan les cèl·lules se’n van fora d’aquesta. En alguns casos les perdem, no les veurem més. En altres ens trobarem que tornen pel costat oposat de la pantalla. També les diferències entre els programes rauen en si es pot graduar la velocitat o no, si compta la població de cada batec, si es poden carregar o té preparades disposicions curioses…
Per a començar aquí teniu una aplicació feta amb Scratch per dmarasca. És relativament senzilla. Podem dibuixar qualsevol disposició inicial i, per a veure-la evolucionar, s’ha de clicar la imatge de la Terra. Per a obtenir una configuració aleatòria s’ha de clicar Saturn.
Aquesta altra, feta per bsteichman, és una mica més sofisticada. Prement “espai” es fa un batec, amb R funciona seguida, i prement l’R mig segon s’atura momentàniament.
Per practicar en línia amb una aplicació més completa podem anar al web Conway’s Game of Life.
Una altra bona web és Game of life. Podem canviar la mida de la graella, la velocitat… i té algunes configuracions curioses guardades.
Per a Android una bona aplicació és la següent: El juego de Vida de Conway.
Encara hi ha una manera inicial més divertida de practicar i és fer-ho en grup. Si reunim un grup gran, posem d’unes vint-i-cinc persones, ens podem disposar fent un quadrat de 5×5. Les cèl·lules actives poden estar dempeus i les cèl·lules inactives ajupides. És una forma de comprendre bé les regles de supervivència, mort i neixement.
Si més no, ho podem provar amb cartes. Per les figures considerarem les cèl·lules activades, i pel dors desactivades. Potser convé marcar amb fitxes de colors les cartes que s’activaran (en el nostre cas amb fitxes grogues) i les que es desactivaran (fitxes negres).
Exemple de configuració que s’estingueix en dues generacions
Ternes i tetròminos
Podem començar per estudiar què passa a les configuracions bàsiques formades per 3 fitxes que es toquen pels vèrtexs o els costats o pels 4 tetròminos (quatre fitxes que es toquen pels costats.
- Grups de tres fitxes
- Tetròminos
Pentòminos
Amb més calma podem estudiar l’evolució dels 12 pentòminos.
| Estructures |
Formes estables o “Natures mortes”
Aquí podemveure algunes de les formes estables finals més habituals.
Aquestes formes reben diferents noms:
- Fila superior: rusc, pa, basalt, pou, bloc, serp.
- Fila inferior: barcassa, bot, vaixell, barcassa llarga, bot llarg, vaixell llarg.
Oscil·ladors
Un oscil·lador és una configuració que no evoluciona i s’estanca en un cicle que pot ser més o menys llarg. Aquí en tens alguns exemples:
Es pot definir el període d’oscil·lació de cada figura comptant els batecs que li calen per tornar a agafar la configuració inicial. Així la 4a figura de la filera superior té un període 2.
La primera de la filera inferior, un període 4.
Podeu investigar els períodes de les altres figures.
Lliscadors o “caminadors”
Hi ha unes configuracions molt divertides i que es produeixen sovint: són els lliscadors o caminadors: unes estructures que es van desplaçant en una direcció i que, en pocs batecs, tornem a trobar igual que al començament però una mica desplaçades. El més senzill és el següent.
Aquí el teniu dibuixat amb alguns exemples més d’astronaus (lleugera, de creuer i pesada).
Mesurem la velocitat dels lliscadors!
Es pot estudiar la velocitat d’un lliscador. Ja que la màxima velocitat de desplaçament seria que tota la figura es desplacés una casella en qualsevol direcció en un sol batec, Conway va definir com a “velocitat de la llum” aquest moviment. A més va demostrar que en direcció obliqua la velocitat màxima és d’1/4 de la velocitat de la llum. El nostre primer exemple triga 4 batecs a tornar a recuperar la configuració inicial a una casella de distància. També va demostrar que en direcció vertical o horitzontal la velocitat màxima és 1/2 de la velocitat de la llum. La primera astronau es desplaça 2 caselles en 4 batecs: la seva velocitat és d’1/2.
Podeu intentar esbrinar la velocitat de les altres astronaus!
Si voleu encara teniu aquí una nau superpesada amb escortes que van avançant tots junts cap a la dreta.
| Configuracions |
El canó de lliscadors
Quan J.H. Conway va inventar el Joc de Vida va pensar que creava unes regles que no permetien un creixement il·limitat d’una població. És a dir, que les poblacions s’extingien o s’estabilitzaven. De fet, ell mateix, va oferir un premi de 50 $ a qui trobés alguna configuració que tinguis aquest tipus de creixement o que demostrés que no era possible la seva existència. El novembre de 1970, R. William Gosper i el seu equip del Massachusetts Institute of Technology (MIT) van descobrir aquesta estructura que creix fins a convertir-se en un oscil·lador de període 30 que cada 30 generacions expel·leix un lliscador. La figura es coneix com a canó de lliscadors. La seva configuració inicial és la següent:
I la seva “vida” la podem veure en aquesta animació.
Endevina per què tenen aquest nom
Ara mostrem unes quantes configuracions i haureu d’endevinar perquè tenen els títols que els hi han posat.
 |
 |
 |
| “Si beus no condueixis” | El divorci del Zorro | El Gat de Cheshire |
 |
 |
 |
| Saltimbanqui | Ble | “Carpanta” |
 |
 |
 |
| El tren “puf-puf” | Mareig | Estampadora |
Matusalems
Es diuen “Matusalems” les configuracions de menys de 10 fitxes que no s’estabilitzen fins després de, com a mínim, 50 generacions. El pentòmino R n’és un exemple que hem pogut veure abans. Aquí tenim uns quants més.
- L’a és el més petit conegut: té una vida de 1105 generacions
- El b en té una vida de 608 generacions
- El c, conegut com l’ocell del tro, en té una de 243 batecs.
- El d també passa de mil, concretament dura 1108 generacions.
- L’e dura menys: 148 generacions.
- El de més duració és el darrer: l’aglà. Sobreviu 5206 generacions!
L’ocell del tro
| Comparem evolucions de població |
Evolució d’una població
A la següent imatge teniu una configuració inicial de 4 cèl·lules que, en dos batecs, s’estabilitza en una altra configuració estable (la que hem anomenat “rusc”). Podem fer un gràfic on es representi la població de cada batec (generació). En aquest cas 4, 4, 6, 6, 6, 6…
Comparem alguns hexòminos
Hi ha 35 hexòminos (figures formada per 6 quadrats que es toquen, com a mínim, d’una banda). Aquí en teniu els cinc que hem triat per estudiar la seva evolució.
I, a continuació les cinc gràfiques d’evolució desordenades.
Podeu dir quin hexòmino correspon a cada gràfica?
Enllaç a un formulari per respondre
Música “poblacional” basada en Vida
Algunes persones s’ha molestat en anar una mica més enllà del joc matemàtic. Aquí en tenim un exemple.
A partir de l’estudi quantitatiu de l’evolució d’una determinada configuració inicial (població a cada generació) i, simplificant les dades, es pot assignar a cada valor una nota musical. Després, encara quedarà retocar petits detalls perquè la música no soni tan monòtona,
Un exemple concret és l’elaborat per Mike Keith al 1998 i que es correspon a una configuració inicial coneguda com a “Jardí de l’Edèn”.
Aquesta configuració te una durada de 135 generacions i la seva gràfica de creixement de població és la següent:
Adjudicant notes i fent arranjaments s’ha obtingut aquesta partitura:
Si voleu, pots sentir la música en aquest arxiu midi.
| Altres jocs de Conway |
Els soldats
El joc, de tipus solitari, dels soldats de Conway, apareix ampliament comentat a la novel·la El curisós incident del gos a mitjanit de Mark Haddon. Es juga en un tauler quadriculat infinit amb una línia que separa dos camps: el superior i l’inferior. L’inferior el tenim ple de fitxes: una a cada casella. Cada fitxa és un soldat. El joc consisteix en enviar un soldat, que serà un explorador, més enllà de la frontera i el més lluny possible.
Els moviment dels soldats és semblant al del joc de les dames: un soldat salta per sobre d’un altre en direcció horitzontal o vertical (no en diagonal) i s’elimina el soldat sobre el que s’ha saltat. A la següent imatge veiem un soldat-explorador que ha arribat a la tercera fila per sobre de la frontera.
En aquest enllaç podeu jugar amb els soldats de Conway i experimentar com de lluny podeu arribar.
Hi ha diferents problemes relacionats:
- Com de lluny podem arribar? Conway va demostrar que, encara que disposem d’infinits soldats, no es pot arribar gaire lluny de la frontera.
- Quina és la quantitat i disposició mínima de fitxes per a arribar una casella més enllà de la frontera? I per arribar dues més enllà? I a tres? I a n?
A la Wiquipèdia mateix podeu trobar un anàlisi del problema.
El joc del plançó
És un joc inventat per Conway i Mike Paterson a l’any 1967. Té unes regles molt senzilles i és força entretingut de jugar (i d’estudiar). Es juga amb paper blanc i llapis i les normes són les següents:
- Es dibuixen uns quants punts a l’atzar (3 o 4, però poden ser més)
- Cada jugador, alternativament, fa una línia unint dos punts o un punt amb sí mateix i dibuixa un punt nou sobre aquesta línia. Hi ha un parell de restriccions: les línies no es poden creuar i no poden sortir més de 3 línies d’un mateix punt
- Perd el jugador que no pot dibuixar cap línia nova segons les normes.
A la imatge, extreta de la Wiquipèdia, podeu veure un exemple de partida que comença amb dos punts i acaba en cinc jugades (guanya el 1r jugador).
És interessant estudiar alguns aspectes d’aquest joc. Us proposem un parell d’ells:
- Quin és el màxim nombre de jugades possibles per una quantitat inicial d’n punts?
- El mínim de jugades possible és 2n (per a n punts inicials). Intenteu trobar un mètode general per jugar la partida mínima.
Si no ho trobeu podeu mirar les solucions.