Calendaris

Índex
Introducció Unitats, tipus… Curiositats Càlculs
Calendaris perpetus Màgia Activitat en pdf
Introducció

A totes les cases i centres de treball tenim calendaris. Els calendaris, a més de servir per posar data a fets de tota mena (històrics, onomàstics, etc.), també són imprescindibles per organitzar el nostre dia a dia, molt marcat per costums i obligacions.

Si a algú li preguntem què estava fent el 7 de novembre de l’any 2022 a les 10 del matí segurament no podrà contestar, però si afegim que era un dijous amb força seguretat ens podrà afirmar que probablement estava treballant o a l’escola.

A la vida quotidiana ens ajudem del rellotge i del calendari per controlar i mesurar el temps. Però, potser estar mal dit parlar de calendari en singular perquè al nostre planeta es fan servir més d’una dotzena de diferents. De la mateixa manera que hi ha diferents pobles i cultures també hi ha hagut (i n’hi ha) diferents maneres de comptar el temps que poden ser interessants de conèixer.

Unitats, tipus…

T’imagines que no hi hagués calendaris? Només podríem comptar per dies i no per anys o mesos com fem ara. Seria força complicat. Per exemple, saps quants dies tens? En aquest enllaç trobaràs un full de càlcul que t’ho calcularà automàticament.

Sense calendaris hauríem de numerar els dies correlativament des d’una data determinada. No sabríem si és dilluns, dimarts o diumenge, ni quan “toquen” vacances, ni quan és el nostre aniversari… Per concertar una cita en comptes de dir “Quedem el primer dissabte del mes vinent” diríem una cosa com “Quedem d’aquí a 35 dies” o bé, “Ens veiem el dia 731 129”. Tampoc sabríem quan són les millors dates per plantar o recollir. Ben segur que pots imaginar-te alguns exemples més. La nostra vida i la de tothom, en general, estaria completament desorganitzada. Per tant sembla que el calendari que tan acostumats estem a fer servir, i al que sovint no donem gaire importància, va ser un gran invent.

Unitats

Una de les primeres coses que va observar la humanitat va ser que hi ha certs fenòmens que es succeeixen cíclicament: el dia i la nit, les estacions, les fases de la lluna… Aquesta mena d’observacions li van servir per “organitzar” el temps en unitats curtes (com el dia), llargues (com l’any) i mitjanes (com la setmana o el mes). Aquestes són les unitats que trobem a tots els calendaris.

Dies Dura 24 hores. Es correspon amb un cicle dia-nit. Es pot mesurar entre dos migdies solars (quan el Sol està al punt més alt i les ombres són més curtes) És el temps que triga la Terra a fer una volta completa sobre si mateixa.
Setmana Dura 7 dies. És la durada arrodonida d’una fase de la Lluna (de Lluna plena a Quart Minvant, de Quart Minvant a Lluna Nova, etc.). En realitat aquest període dura 7,38 dies (uns 7 dies i 9 hores).
Mes Dura 30 o 31 dies (menys febrer que en té 28) És la durada aproximada d’un cicle lunar complet (es mesura entre dos Plenilunis consecutius). La seva durada real es de 29,53 dies (29 dies 12 hores y 44 minuts), és a dir, més curt que el mes que utilitzem i una mica és del temps que triga la Lluna a fer realment una volta completa a la Terra (27,32 dies).
Any Dura 365-366 dies Es un cicle estacional complet (Primavera-Estiu-Tardor-Hivern). Si es mesura entre dos equinoccis de primavera s’anomena Any Tròpic i dura 365,2422 dies (365 dies 5 hores 48 minuts y 46 segons). Es correspon con una volta completa de la Terra el voltant del Sol.
Tipus

Tant el Sol com la Lluna regeixen, d’alguna manera, a tots els calendaris. Però a alguns un “mana” més que l’altre. Al llarg de la història s’han anat utilitzant, bàsicament, tres tipus de calendaris.

Lunars Es basen en els mesos lunars, però com el cicle lunar és de 29,53 dies i no és una quantitat entera s’acostumen a alternar mesos de 29 i 30 dies. Així i tot, com que encara no és del tot exacte, de tant en tant s’ha de fer que un any tingui un dia més. L’any acostuma a constar de 12 mesos i té 354 dies, és 11 dies més curt que l’any solar.
Solars Tot i que pràcticament tots els calendaris tenen alguna cosa de lunar, aquests es basen un cicle estacional complet (normalment entre els dos equinoccis de primavera). Aquest dura 365,2422 dies que no es una quantitat entera. Per això s’arrodoneix l’any a 365 dies i el que falta es recupera amb anys especials que tenen un dia o, fins i tot, un mes més. S’acostumen a dividir en 12 mesos d’uns 30 dies (prop del mes lunar)
Lunisolars Són calendaris que intenten ajustar els cicles lunars amb els solars. Els mesos són lunars (de 29 o 30 dies) però es van intercalant, de tant en tant, anys de 13 mesos entre els anys de 12.
Exemples

A pràcticament tot el món s’utilitza com a calendari oficial el Gregorià, que és el que es fa servir al nostre país. Però per a celebracions relacionades amb la religió o la tradició encara es mantenen alguns calendaris diferents. Un cas curiós es Singapur que té 7  festes oficials religioses mòbils: 2 van amb el calendari xinès, 2 amb l’hindú, 2 amb l’islàmic i 1 amb el cristià. Aquí pots obtenir informació d’alguns.

  • Calendari musulmà

S’utilitza com calendari religiós als països islàmics, encara que en alguns és també l’oficial. És un calendari lunar de 354 dies (6 mesos de 30 dies i 6 de 29). Per a fer-los coincidir millor amb els cicles lunars en un període de 30 anys s’intercalen 11 amb 355 dies (els anys 2, 5, 7, 10, 13, 16, 18, 21, 24, 26 i 29 del període). El dia extra s’afegeix a l’últim mes. Cada mes comença de manera estricta amb la posta de Sol del 1r dia de Lluna Plena. Això és especialment important en el mes de Ramadà que es dedica a la reflexió interior. En aquest enllaç pots veure els noms dels mesos i la seva durada.

L’any 1 musulmà és el 622 dC del gregorià (l’any de l’Hègira, de la fugida de Mahoma de la Meca) però en ser més curts no n’hi ha prou amb fer una resta per a passar un any a l’altre. Tenint en compte que 33 anys lunars són 32 solars es pot fer un càlcul aproximat de la correspondència.

A continuació tens un parell de fórmules per convertir anys del calendari gregorià en musulmà i viceversa.

I aquí tens un convertidor automàtic fet amb GeoGebra.

  • Calendari gregorià

És el qual fem servir al nostre país i és l’oficial de la majoria de nacions. El va instaurar el Papa Gregori XIII l’any 1582 per a reajustar el calendari a les noves mesures de la durada de l’any i per a reajustar de nou el petit desfasament que hi havia amb cicle solar. Es basa l’any tròpic. L’any és de 365 dies amb 7 mesos de 31 dies, 4 de 30 i un de 28 (febrer). Per a fer-lo coincidir exactament amb el cicle solar cada 4 anys s’afegeix un dia al mes de febrer (exceptuant 3 anys en un cicle de 400). L’any 1 gregorià es va determinar a partir del càlcul aproximat de l’any de naixement de Jesucrist que va fer Dionís l’Exigu l’any 523. Càlculs més recents han fet veure que Jesús va néixer l’any 4 aC.

  • Calendari hebreu

És un calendari d’ús religiós, però a Israel és l’oficial. Algunes de les festes religioses cristianes (com la Pasqua) venen d’aquest calendari. És un calendari bàsicament lunar que, any rere any, intenta aparellar-se amb el solar. Per a això es van combinant anys de 12 mesos amb anys de 13 (anys de traspàs). Té 6 tipus d’anys (deficient, regular i complet més un de traspàs de cadascun dels anteriors). Per exemple, un any regular té 354 dies i el seu de traspàs 384. S’insereixen 7 anys de traspàs en un cicle de 19 (els anys que s’obté un d’aquests residus en dividir-lo per 19: 0, 3, 6, 8, 11, 14, o 17) Els mesos són de 29 o 30 dies. En aquest enllaç pots veure els noms i la durada dels mesos.

L’any 1 jueu es compta des d'”El principi del món” que es “calcula” que va succeir l’any -3761 del nostre calendari. És a dir, que per a saber quin és aproximadament l’any hebreu només has de sumar 3761 anys al gregorià.

  • Altres calendaris

T’enllacem un document on pots trobar comentaris breus de diferents calendaris com el xinès, l’egipci, el babilònic, el maia, l’hindú, el de la Revolució Francesa o el de l’imperi romà.

Tornar a l’índex

Curiositats sobre el calendari
  • Saps què signifiquen les paraules calendari, almanac o bixest?
  • Saps d’on venen els noms dels dies?
  • Saps quin és l’origen dels noms dels mesos?
  • Saps quin ha estat l’any més llarg de la història?
  • Un misteri: com és que Shakespeare i Cervantes van morir el 23 d’abril de 1616, però no era el mateix dia?
  • Per què ens costa recordar la quantitat de dies de cada mes?
  • Com es poden recordar els dies de cada mes?
  • Quan es canvia de segle?

Les respostes a aquestes preguntes les pots trobar en aquest document.

Saps que la setmana anglesa comença en diumenge?

Tornar a l’índex

Càlculs
Com saber si un any és de traspàs?

A la naturalesa res és tan exacte com voldríem i el moviment de la Terra tampoc ho és. Així que no triga a fer una volta al Sol (el període que anomenem any) 365 dies sinó, aproximadament, 365 dies i ¼ de dia (6 hores). Dit d’una altra manera, mengem el raïm, 6 hores abans que la Terra acabi de completar la seva volta. Si deixéssim acumular aquestes hores passarien aquestes coses:

  • en 4 anys celebraríem el Cap d’Any un dia abans.
  • en 40 anys ho celebraríem 10 dies abans.
  • en/ 400 ho celebraríem 100 dies abans (al final de l’estiu en l’hemisferi nord) i totes les estacions estarien desplaçades.

Per aquest motiu cada 4 anys s’afegeixi un dia al mes de febrer per a “posar-nos al dia”. És el que anomenem un any de traspàs.

Però com que la Terra en realitat triga una mica menys de 365 dies i 6 hores (365 dies 5 hores 48 minuts i 46 segons) encara s’ha de fer algun “trampa” i, de tant en tant, saltar-se algun de traspàs si no volem “avançar-nos”.

Així… com podem saber si un any és de traspàs o no?

La regla “oficial” per a saber si un any és de traspàs és mirar la seva divisibilitat per 4. Seran de traspàs quan…

  • l’any sigui divisible per 4, excepte si és un final de segle (acaba en 00).
  • l’any sigui un final de segle i les dos primeres xifres de l’any també siguin divisibles per 4 (així el 1900 o el 2100 no són de traspàs però el 2000 si perquè la divisió 20/4 és exacta).

Pots intentar fer un petit programa amb Scratch per saber si una any és de traspàs o no, similar a aquest applet fet amb GeoGebra.

Càlcul de la data del dia de Pasqua i el Divendres de Carnaval

Si t’has fixat en el calendari hi ha festes “fixes” (com el Dia de Sant Esteve, que cada any és el 26 de Desembre o la Diada cada 11 de Setembre) i altres “mòbils”, com les vacances de Pasqua o el Divendres de Carnaval.

Això es deu al fet que hi ha tradicions que ens vénen d’antics calendaris lunars. El Divendres de Carnaval es celebra 51 dies abans del Diumenge de Pàsqua. La tradició cristiana és hereva de l’hebrea i el calendari jueu és lunisolar. Així el dia de la Pàsqua Cristiana està relacionada amb la Pàsqua Jueva i, com aquesta, es calcula depenent dels cicles lunars i dels equinoccis.

Segons el Concili de Nicea que es va celebrar l’any 325 el Dia de Pàsqua s’ha de celebrar “el diumenge següent a la primera lluna plena posterior a l’equinocci de primavera, i ha d’estar entre el 22 de març i el 25 d’abril”. A partir d’aquesta data es calculen unes 10 festes cristianes més (el 1r dia de Quaresma, 42 dies abans, el dia de Corpus, 63 dies després…). Entre elles el Dimecres de Cendra (46 dies abans) que “tanca” el Carnaval. Encara que sembli increïble han de passar al voltant de 5 700 000 d’anys perquè les dates es repeteixin en el mateix ordre d’una any a un altre.

Vols saber com calcular el Divendres de Carnaval?

Sense tenir un calendari lunar a mà és complicat saber calcular el dia de Pàsqua. El matemàtic Carl F. Gauss (1777-1855), un dels més importants que hi hagut a la història, va elaborar un complicat algorisme per a trobar-lo. Aquí pots utilitzar un de més “fàcil”,  publicat l’any 1966 pel matemàtic escocès Thomas H. O’Beirne. L’únic “defecte” que té és que només funciona per a 200 anys (entre el 1900 i el 2099). E primer que hem de fer és un seguit de càlculs per a obtenir un número clau.

  • n =any – 1900
  • a = residu d’n/19
  • b = quocient enter de (7a+1)/19
  • m = residu de (11a+4-b)/29
  • q = quocient enter d’n/4
  • w = residu de (n+q+31-m)/7
  • Clau = 25-m-w

Aquest nombre clau ens indica la quantitat de dies abans (si és negatiu) o després (si és positiu) del 31 de març en que cau el Diumenge de Pàsqua. Descomptant 51 dies trobarem el Divendres de Carnaval.

Pots posar a prova l’algoritme amb aquest enllaç que et porta a un full de càlcul et diu la data, a partir de l’any, de forma automàtica.

Tornar a l’índex

Calendaris perpetus

Molta gent sap que si una data cau en un dia de la setmana, la mateixa data de l’any següent caurà a l’endemà. Així si el teu aniversari cau aquest any en dimarts, a l’any següent serà en dimecres (excepte si un dels dos anys és de traspàs que, segons les dates, caldrà córrer dos dies en comptes d’u). Això es deu al fet que un any té 52 setmanes i un dia. Per exemple, el dia de Sant Esteve del 2022 del 2022 va caure en dilluns i el de 2023 en dimarts. El 2024 caure en dijous perquè és un any de traspàs.

Per tant, per saber en quin dia de la setmana caurà una data qualsevol el problema es reduiria a tenir en compte els dies de la setmana, els del mes i els de l’any, fer unes quantes divisions i anar estudiant els residus. Però la cosa es complica perquè tenim repartits, de manera irregular, mesos i anys de diferents dies (per als mesos 28, 29, 30 i 31; per als anys 365 i 366). Però, malgrat les complicacions, el problema està resolt i disposem del que es diuen calendaris perpetus, que ens marquen el dia de la setmana de qualsevol data.

Una taula que serveis per dos segles

Com els càlculs poden ser un poc laboriosos sovint es fan servir taules que ajuden a trobar el dia de la setmana. Aquesta serveix per a dos segles. Per a utilitzar-la segueix aquestes instruccions:

  • es seleccionen la fila de l’any i la columna del mes. El nombre de la seva intersecció és el nombre clau.
  • es fa la suma el dia del mes i el nombre clau.
  • es cerca a la taula del dia de la setmana a quin correspon la suma que obtinguda.

Si, com a l’exemple anterior, volem saber en quin dia de la setmana cau el dia de Sant Esteve del 2023 triem la fila del 2023 i la columna “D” de desembre. Obtenim el nombre clau 5,

Si sumem el dia, 26, amb el nombre clau, 5, obtenim 31 que busquem a una segona taula.

Obtenim que és dimarts.

En aquest enllaç trobaràs unes taules per a descarregar-te.

El calendari perpetu de reglets

El matemàtic francès Édouard Lucas, en una època que no existien calculadores electròniques, havia inventat uns reglets de fusta per fer divisions. Per a obtenir el quocient i el residu d’una divisió només era necessari alinear degudament els reglets i “seguir” unes línies dibuixades en ells; no calia realitzar cap càlcul.

Observant que el mètode per a esbrinar el dia de la setmana de qualsevol data en el Calendari Gregorià (per tant només vàlid des del 15 d’Octubre de 1582) bàsicament treballava amb residus de divisions, se li va ocórrer adaptar els seus reglets a la construcció d’un calendari perpetu.

En total hi havia 18 regletes: 7 pels mesos, 4 pels segles (les centúries), 7 pels anys.

Enllaç a una aplicació descarregable amb els reglets de Lucas

L’algoritme en què es basa Lucas té com a objectiu obtenir un número clau que ens indica el dia de la setmana, a partir d’altres quatre nombres “subclau”.

  1. Nombre d: és el residu de dividir per 7 el nombre del dia.
  2. Nombre m: s’obté a partir del nombre del mes. Aquest nombre m s’obté per la següent seqüència:
    • m1: El número del mes l’assignem tenint en compte que l’any comença al març. Així març serà el mes 1, abril el 2…. desembre el 10, gener l’11 i febrer el 12. Afegim 2 al doble del número de mes augmentat en 2.
    • m2: Ens quedem amb la part entera del resultats de dividir el triple del nombre anterior entre 10.
    • m: Se sumen els dos nombres anteriors i es troba el residu de dividir-lo per 7.
  3. Nombre c: el trobarem a partir de la “centúria” (les centenes totals de l’any, 19 dels anys que comecen 1900, 20 dels que ho fan per 2000). Si són divisibles per 4 c val zero. Si no ho és, hem de restar de 7 el doble del residu obtingut.
  4. Nombre a: primer hem d’obtenir a1 afegint al número de l’any en el segle (les desenes i unitat de l’any) la part entera de dividir aquest mateix número entre 4. A continuació obtenim a calculant el residu de dividir el nombre anteriors entre 7.
  5. Finalment obtenim el número clau final: és el residu de dividir entre 7 la suma dels quatre nombres “subclau” anteriors.

Per a saber el dia de la setmana només hem de mirar aquesta taula:

Clau Dia
0 Dissabte
1 Diumenge
2 Dilluns
3 Dimarts
4 Dimecres
5 Dijous
6 Divendres

Pots practicar exemples amb aquest applet fet amb GeoGebra.

La congruència de Zeller

Christian Zeller va ser un matemàtic alemany del segle XIX que va crear un algoritme de l’estil de l’anterior de Lucas. Pot ser, també com l’anterior, força útil per a programar un calendari perpetu. Per exemple amb Scratch.

La fórmula, que utilitza variables semblants a les de l’algoritme de Lucas, és la següent:

El nombre clau D que ens indicarà el dia (0 pel dissabete, 1 pel diumenge… i així fin el 6 del divendres). S’obté a partir del dia del mes (d), el mes indicat per m (3 pel març, 4 per l’abril… 12 pel desembre, 13 pel gener i 14 pel febrer, i en aquests dos darrers mesos traient un any al nombre del que es busca), a per les dues darreres xifres de l’any i c per a la centúria, el nombre format per l’any si li traiem les dues darreres xifres.

Tornar a l’índex

Màgia
Màgia amb el calendari (Truc 1)

Et presentem el truc amb un full de calendari concret, però després el podràs fer amb qualsevol altres full. Mira el full que et mostrem i segueix aquestes instruccions:

  1. Dibuixa mentalment un quadrat de 2×2 que estigui complet de dies (que no tingui cap casella en blanc).
  2. Suma els 4 nombres del quadrat.
  3. Digue’m la suma i endevinaré el nombre del quadrat que has escollit.

Per a dscobrir com funciona el truc només cal observar una mica els patrons de distribució dels nombres al calendari i fer una mica d’àlgebra. Amb un parell de senzilles operacions es pot endevinar un dels nombres del quadrat a partir de la suma.

Màgia amb el calendari (Truc 2)

Aquest nou truc es basa, com l’anterior, en les mateixes regularitats de l’organització per setmanes dels fulls dels calendaris.

Expliquem com procedir, tot posant un exemple:

  1. Demane, a una persona del públic que triï qualsevol mes d’un calendari i que marqui un quadrat complet de 4×4. “Complet” significa que ha d’estar ple de nombres, que no pot haver “dies en blanc”. Imaginem que fa una primera tria com la de la imatge.
  2. Ara li podem demanar que ens ho enseny o que ens digui un número concret. Per exemple, el que hi a la part més alta i a l’esquerra: el 3. Amb aquest nombre farem metalment un càlcul i anuciarem una predicció. Per exemple, la podem escriure en un sobre que guardarà una altra persona del grup. En aquest cas la predicció seria “60”. Ja comentarem al final com obtenir-la.
  3. Després demanarem que s’encercli un nombre qualsevol dels requadrats i es tatxin els que estiguin a la mateixa fila i a la mateixa columna.
  4. Demanarem que es repeteixi el procediment amb un altre nombre que no estigui eliminat.
  5. I demanem que esfaci una tercera vegada. Un cop fet farem observar que queda un únic nombre que no està eliminat i demanarem que també s’encercli.
  6. Un cop triats els quatre nombres demanarem que es sumin. Llavor podem obrir el sobre amb la nostra predicció i veure com coincideix amb el resultat que s’ha obtingut.

Amb el sistema de selecció de nombres que hem determinat, acabarem sempre amb una tria de quatre dies que no estan ni a la mateixa fila ni la mateixa columna. Independentment dels nombres seleccionats, la suma serà sempre la mateixa. En aquest enllaç trobareu una explicació d’un truc semblant on es justifica perquè la suma és invariant. Com fem la predicció? Pot ser tan senzill com sumar els nombres de qualsevol de les dues diagonals o, si només coneixem el primer nombre de la quadrícula, sumant-li 12 i fent el quàdruple d’aquest resultat. Al nostre exemple, que coneixíem el 3, faríem 4·(3+12)= 60.