Des de temps molt remots la humanitat ha jugat amb els nombres, ha investigat les seves propietats, els ha volgut trobar significats màgics, els ha classificat i combinat de mil maneres buscant nombres perfectes, amics, bessons, triangulars, quadrats… Els quadrats màgics són un dels entreteniments matemàtics més antics que es coneixen.
| Índex | |||
| Introducció | Història | Quants? | Propietats |
| Hipermàgic | Algoritmes | Galeria | Propostes |
| Activitat en pdf | |||
| Què són els quadrats màgics? |
Un quadrat màgic consisteix, bàsicament, en una quadrícula quadrada en la qual es col·loca una sèrie donada de nombres de tal manera que la suma de cada columna, de cada fila i de cada diagonal ha de donar el mateix resultat.
El millor que podem fer és intentar construir un. Començarem amb aquest, el més conegut: el de 3×3.
Col·loca els nombres de l’1 al 9, un a cada casella, de manera que cada fila, cada columna i cada diagonal sumi 15.
L’ordre d’un quadrat màgic el marca la quantitat de caselles del seu costat. El quadrat màgic anterior és d’ordre 3 i la quantitat de caselles és 32=9. També diem que tenim un quadrat de 3×3.
Com és lògic la dificultat de resoldre un quadrat màgic, sense cap mètode especial que ens ajudi, augmenta amb el seu ordre. Això ho pots comprovar fàcilment intentar resoldre un quadrat d’ordre 4 amb els nombres de l’1 al 16 i amb una suma constant de 34. Encara que hi ha més d’una solució, et posem alguns dels nombres perquè sigui més ràpid aconseguir-ne una. També et recomanem que retallis els nombres en paper per a poder fer les proves ràpidament.
| Història |
Les primeres referències a quadrats màgics les trobem a la cultura xinesa. Alguns documents expliquen que al tercer mil·leni a.n.e. l’emperador Yu va adquirir un diagrama que s’havia copiat de la closca d’una tortuga sagrada que va sortir del riu Lo. Aquest diagrama, conegut com a Lo Shu (Escrit del riu Lo) es correspon amb el quadrat màgic de 3×3.
A l’any 1275 es va fer la primera gran publicació sobre quadrats màgics. L’autor va ser el matemàtic xinès Yang Hui amb el llibre Hsu Ku Chai Chi Suan Fa (“Continuació de mètodes d’antics matemàtics per elucidar les estranyes propietats dels nombres”) on s’explicaven mètodes per construir quadrats màgics de 3×3, 4×4, 5×5, etc. En coneixem altres quadrats màgics antics al Japó, la Índia, a l’Orient Mitjà.
Des d’un bon començament a aquesta mena de quadrats se li van adjudicar propietats místiques, còsmiques, màgiques (d’aquí el seu nom) i, fins i tot, protectores i curatives. Per exemple, als segles XVI i XVII es van arribar a fabricar amulets d’argent amb quadrats màgics dibuixats per protegir-se d’epidèmies com les de la pesta.
A Europa van arribar per via indoaràbiga i també van despertar un gran interès entre matemàtics, científics de tota mena i, fins i tot, artistes.
Entre els matemàtics que han treballat sobre el quadrats màgics es poden destacar a Fermat, Pascal o Euler. Un altre científic ben conegut que va treballar sobre aquest tema va ser Benjamin Franklin, del que mostrem el seu quadrat d’ordre 8.
Actualment encara hi ha matemàtics que estan treballant aspectes com el recompte de quadrats màgics d’un ordre determinat o la seva classificació. Per exemple, fins a l’any 1975 no es va saber quants quadrats màgics hi havia d’ordre 5.
Artistes de diferents èpoques també s’han interessat en els quadrats màgics. Els dos exemples més coneguts estan distanciats en anys.
A l’any 1514 Albrecht Dürer va realitzar el gravat Melanconia on apareix un quadrat màgic d’ordre 4 on les xifres 15-14 que apareixen juntes ens indiquen l’any de la seva realització.
A la dècada dels 90 del segle passat l’escultor encarregat de les noves escultures de la Sagrada Família barcelonesa, Josep Maria Subirachs, en va esculpir un que jugava amb l’edat de Crist en la seva mort. El quadrat no segueix l’ordre natural dels nombres començant per l’1, ja que falta el 12 i repeteix el 10 i el 14, però permet obtenir la suma 33 de 310 formes diferents.
| Quants n’hi ha de cada? |
No és tan fàcil com sembla poder quants quadrats màgics diferents hi de cada ordre (sempre tenint en compte que parlem de quadrats formats amb els nombres des de 1 fins a n2, és a dir de l’1 al 9 per ordre 3, de l’1 al 16 per ordre 4, fins al 25 per ordre 5…).
Quadrats d’ordre 3
En primer lloc, hem de mirar si comptem com a diferents solucions que es poden obtenir per girar, traslladar nombres o fer simetries d’una solució donada. Així, per exemple, del quadrat de 3×3 podríem obtenir 8 solucions diferents. Però si eliminem aquesta possibilitat de transformació observarem que la solució és única: els parells estan sempre a les cantonades i amb el mateix ordre, el 5 sempre està al mig…
Quadrats d’ordre 4
Si no descomptem els que s’obtenen per transformacions d’una solució obtinguda hi ha 7040 quadrats màgics diferents. Però, si fem igual que abans, podem reduir la llista a 880 quadrats diferents. El primer a donar-los tots va ser Bernard Frénicle de Bessy l’any 1693.
Ens podem preguntar que si hi ha tantes solucions com és que ens costa tant trobar-ne una. El que passa és que hi ha bilions de quadrats diferents. Si hem de precisar són 202 9227 891 888 000. Escrivint un quadrat diferent per segon sense descansar ni un instant trigaríem 663 457 anys a fer-los tots.
Treballant maquinalment, provant nombres ordenadament, és a dir, començant per l’1 al principi, després un 2, etc. aquests serien els quatre primers que trobaríem.
Quadrats d’ordre 5
Fins a l’any 1973 no hem sabut exactament quants quadrats màgics d’ordre 5 hi ha. Ha calgut l’ajuda dels ordinadors per fer el recompte. Sense transformacions n’hi ha 275 305 224.
Una recerca ordenada “fabrica” primer aquests quadrats:
Quadrats d’ordre superior a 5
Per a quadrats d’ordre 6 i en amunt encara no es desconeix quants quadrats n’hi ha de cada tipus.
| Algunes propietats dels quadrats màgics |
Els quadrats màgics poden tenir diferents propietats que, si s’acompleixen, “bategen” als quadrats amb noms més o menys rimbombants.
- pandiagonals
- simètrics
- autocomplementaris
- compostos
- concèntrics
- ultramàgics
- bimàgics
- etc.
Excepte les dels quadrats bimàgics mirarem les referides als quadrats que comencen des de l’1 fins a n2.
Quadrats simètrics o associatius
Són quadrats màgics associatius aquells que si agafem un nombre i el seu simètric respecte al centre del quadrat, la suma és sempre constant i dona n2+1.
El quadrat de 3×3 és associatiu. Un nombre i el seu simètric respecte el 5 central sempre sumen 10.
Observa aquest quadrat de 4×4. Un nombre i el seu simètric sempre sumen 17 (42+1 = 16+1 = 17)
En un quadrat d’ordre senar el centre de simetria sempre és la casella central.
Quadrats pandiagonals o diabòlics
Són quadrats en els que no només les diagonals principals participen de la suma constant sinó les diagonals truncades. Observa al dibuix què es considera una diagonal truncada:
Observa aquest quadrat de 4×4. Si passes el cursor per sobre d’un nombre veuràs també el seu simètric. Tots dos sempre sumen 17 (42+1 = 16+1 = 17)
Aquesta propietat té una conseqüència curiosa. Si fem una mena de mosaic amb quatre quadrats màgics iguals qualsevol dels quadrats de la mateixa mida que puguem tancar també seran màgics.
Pots moure els quadrats de 4×4 i de 5×5 per sobre d’aquests quadrats diabòlics. Els nous quadrats que obtinguis seran també màgics.
Quadrats compostos
És un quadrat màgic format per altres quadrats màgics
Quadrats concèntrics
Si traiem les caselles de la vora, el quadrat interior també és màgic.
Quadrats bimàgics
És un quadrat màgic en què si substituïm els nombres pels seus quadrats el nou quadrat obtingut també és màgic.
| Un quadrat hipermàgic |
Aquest quadrat és diabòlic (les diagonals truncades també sumen 34). No és simètric. Però el podem qualificar d’hipermàgic. Hi ha una gran quantitat de disposicions més o menys regulars de 4 nombres que sumen sempre 34. Per exemple, les 4 caselles vermelles sumen 34, però també ho fan les de color lila.
Aquí pots veure altres disposicions que sumen 34.
Pots investigar també les teves configuracions amb aquest applet.
| Algoritmes per a construir quadrats màgics |
En principi no és gaire difícil construir quadrats màgics si es disposa d’un algorisme (una llista d’instruccions prou clara). Ja hem dit abans que sabem que els matemàtics xinesos i hindús en disposaven. Comentarem aquí alguns.
Caldrà diferenciar els mètodes per quadrats d’ordre senar, més fàcils de construir, i els d’ordre parell. Pels quadrats parells hi ha un algorisme força senzill per costats múltiples de 4 (4×4, 8×8, 12×12, etc.).
Quadrats d’ordre senar. Mètode de Bachet
Claude-Gaspar Bachet va ser un matemàtic que va publicar al 1621 el llibre Problèmes plaisants et delectables on explica la manera de construir quadrats màgics. El mètode que descriu pels d’ordre senar no és difícil de seguir.
Quadrats d’ordre senar. Mètode de La Loubère
El mètode de La Loubère, aristòcrata francès que el va publicar el 1687, s’aplica amb 4 regles bàsiques:
- Es comença posant un 1 a la casella central de la fila superior
- Es continua escrivint en diagonal ascendent
- Si el següent nombre s’ha d’escriure fora del quadrat per la part superior continuem a la mateixa columna que tocaria però a la part inferior. Si “surt” pel lateral continuarem per la fila que tocaria però a l’esquerra.
- Si “topem” amb una casella que ja està escrita continuem per la immediatament inferior. També farem això quan arribem a la casella final de la diagonal (la superior dreta).
Podem veure el mètode pas a pas per construir un quadrat de 5×5:
Quadrats d’ordre parell (ordre múltiple de 4)
En general els quadrats màgics parell són més entretinguts de fer que els d’ordre senar. Tot i així en el cas que el costat del quadrat sigui un múltiple de 4 disposem d’un mètode prou senzill. Es coneix com el mètode de la X perquè es basa en les diagonals de petits quadrats de 4×4.
- Es descompon el quadrat en petits quadrats de 4×4.
- Es dibuixen les diagonals d’aquests quadrats petits.
- Des de la casella superior esquerra es comença a comptar: 1, 2, 3… en el sentit d’escriptura habitual. Si la casella està creuada per una diagonal no s’escriu el nombre. Si no ho està sí s’escriu.
- Quan s’ha arribat al final es comença a comptar (1, 2, 3, 4…) des de la casella inferior dreta i en sentit contrari al d’escriptura normal. Si la casella està marcada per una diagonal escrivim el nombre (les altres ja estan plenes)
Quadrats d’ordre parell (ordre no divisible per 4). Mètode LUX
L’autor d’aquest mètode és John Horton Conway, matemàtic del que em van parlar a l’activitat sobre el Joc de Vida. S’anomena LUX perquè un dels passos consisteix assenyalar cadascuna de les caselles del quadrat amb les lletres L, U i X. Cal conèixer el mètode de La Loubère pels quadrats d’ordre senar.
- Es descompon el quadrat en petits quadrats de 2×2
- Els subquadrats de 2×2 de la meitat superior es marquen amb una L.
- Els subquadrats de 2×2 de la fila següent es marquen amb una U.
- El subquadrats restants es marquen amb una X.
- El subquadrat central, que estava marcat amb una L es marca amb una U i l’immediatament inferior, que ho estava amb una U es marca amb una L.
- Es van seleccionant els subquadrats de 2×2 seguint el mètode de La Loubère. (Es comença pel subquadrat central de la 1a fila, s’avança en diagonal ascendent cap a la dreta, si es surt del quadrat principal per dalt es baixa, si és pel lateral dret es va cap a l’esquerra, etc.)
- Els nombres s’escriuran a cada subquadrat per ordre natural però seguint la direcció marcada per la lletra corresponent.
| Galeria |
Rècords
Amb els mètodes anteriorment explicats aconseguir un rècord en quadrats màgics només demana una mica de paciència. Hi ha unes regles per construir-los:
- han d’estar fets en paper i muntats (no en fulls solts)
- si s’ha fet amb ordinador el programa s’ha de poder revisar per un matemàtic.
Amb aquestes normes a l’any 1975 es va fer un de 105×105, 4 anys després un de 501×501… fins arribar a l’any 2012 (darrera data amb informació) en el que, al Canadà, es va fer un de 3001×3001.
El més gran conegut escrit a mà es va fer al 1990 a Alemanya i era de 3559×3559
Pots trobar informació sobre aquests rècords a: http://www.recordholders.org/en/records/magic.html
Seguint el mètode de Bachet, l’any 1992, un grup d’alumnes de 8è d’E.G.B. de l’Escola Les Mallorquines (Montgat) van construir un quadrat de 101×101 amb els nombres de l’1 al 10 201 i que tenia una suma constant de 515 201. Al seu moment (no hi havia internet accessibl als centres escolar) es van pensar que era rècord del món.
Quadrats màgics especials
Donat que fer quadrats màgics grans no suposa cap mèrit especial molts aficionats a les recreacions matemàtiques han buscat fer quadrats màgics especials. Per exemple, abans hem vist un quadrat fet pel conegut científic Benjamin Franklin. No hem comentat cap de les seves propietats.
- la suma constant és 260
- cada mitja fila o cada mitja columna suma 130
- la suma de qualsevol quadrat de 2×2 és 130
- 4 nombres en diagonal ascendent amb els 4 nombres que segueixen en diagonal descendent (les línies fosques dibuixades) sumen 260.
- Altres exemples de quadrats curiosos poden ser aquests:
Tres quadrats màgics d’ordre 3, 4 i 5 que contenen els nombres de l’1 al 50
Dos quadrats màgics reversibles.
Un quadrat màgic amb “efecte mirall”.
Quadrats màgics dins de quadrats màgics (dins d’un de 9×9 hi ha un de 7×7; més endins un de 5×5 i, escairat en vermell, un de 3×3.
Quadrats màgics amb nombres concrets com pot ser amb una data. Per exemple en aquest enllaç et pots construir un quadrat de 4×4 amb la data del teu naixement.
Quadrats màgics fets amb nombres primers com aquests dels exemples.
Quadrat amb els nombres primers consecutius del 7 al 223
Quadrat amb els primer consecutius de l’1 al 827 (es considera l’1 primer i falta el 2)
Quadrat d’ordre 3 més petit conegut amb primers consecutius.
| Algunes propostes més per a l’aula |
Inventar els teus quadrats màgics
Ja has pogut conèixer alguns dels algorismes per construir quadrats màgics. Pots intentar fer-ne els teus de 3×3, 4×4, 5×5, etc.
El millor és fer sèries de nombres “seguides”, que augmenten sempre en la mateixa quantitat. No tens perquè començar per l’1.
Per exemple, pots fer quadrats màgics amb nombres enters o amb fraccions.
Investigar fórmules
Pots intentar descobrir algunes fórmules relacionades amb els quadrats màgics. Normalment són més fàcils de descobrir pels d’ordre senar però no és difícil veure que també s’acompleixen amb els d’ordre parell o bé, adaptar-les perquè s’ajustin.
Una de les més interessants d’investigar és la que ens dóna la suma màgica (la suma constant d’un quadrat d’ordre donat amb la sèrie 1, 2, 3, 4 ….. n2).
Observa la taula pels primers quadrats màgics:
| Ordre | Suma màgica |
| 3 | 15 |
| 4 | 34 |
| 5 | 60 |
| 6 | 105 |
| … | … |
Fer demostracions
Si no has mirat la demostració de per què el quadrat màgic de 3×3 té només una solució (sense tenir en compte els girs, simetries, etc.) pots intentar fer-la. En aquest enllaç en pots trobar una.
També pots intentar demostrar perquè el quadrat màgic de 2×2 no té solució.
Fórmules per construir quadrats de 3×3
No és difícil construir un quadrat màgic de 3×3 a partir de tres nombres qualsevol a, b i c. Intenta completar el quadrat perquè la suma constant de cada fila, cada columna i cada diagonal sigui 3a.
| a+c | ||
| a | ||
| a+b |
Després pots donar valors a a, b i c i fabricar els teus quadrats màgics.
Pots veure la solució en aquest enllaç.
Investigar més sobre la història i les propietats dels quadrats màgics
Hi ha moltes pàgines a internet dedicades als quadrats màgics que et poden permetre aprofundir en el tema. Aquí tens algunes. Moltes tenen enllaços a d’altres. També podràs investigar altres figures màgiques com estrelles, triangles…
Aquí tens un parell:
Grogono magic squares: http://www.grogono.com/magic/
Viquipèdia: https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square