Calcular no és fàcil. Per això, des de sempre, la humanitat ha buscat mètodes i fabricat enginys que fessin el càlcul més lleuger i segur (sense errors). Actualment, la majoria, resolem les operacions amb una calculadora o per escrit. Però no sempre ha estat així. Abans de les nostres calculadores electròniques n’hi havia de mecàniques i, molt abans, els àbacs, que s’han utilitzat durant més de 2 000 anys. Al Japò (un dels països fabricants de calculadores) fins a ben entrat el segle XX encara s’estudiava a les escoles el soroban, un àbac de 9 denes per barra.
| Índex | ||||
| Els àbacs | Escriure i llegir nombres | Sumem amb l’àbac | Passat i present | Activitat en pdf |
| Els àbacs |
Els àbacs, com gairebé tot en aquest món, han evolucionat al llarg de la història. De fet, alguns dels més antics, emprats pels grecs, eren, senzillament, una mena de pissarres de sorra on s’escrivia amb un pal o amb el dit. La mateixa paraula àbac, en grec, significa alguna cosa com “tauler llis” i hom pensa que prové del mot hebreu abaq que vol dir “pols”.
Més tard els àbacs van evolucionar i van adoptar formes més útils per al càlcul, com la de taulers llisos o acanalats on es podien moure unes fitxes.
L'àbac de Salamina es considera un dels més antics coneguts
Els àbacs més recents són autèntics aparells de càlcul: una mena de taules de recompte amb unes denes que llisquen per unes varetes de canya o de filferro.
I ara… també els trobem amb usos artístics.
The AIDS Monument (Amsterdam) Living by Numbers - Jean-Michel Othonie
Fotografia sense títol de Chema Madoz
A la tardor de l’any 1996, a un laboratori de Zúric, tres científics, entre ells la científica espanyola Teresa Cuberes, van construir un nanoàbac mol·lecular. Les denes d’aquest diminut àbac mesuraven un nanòmetre, la milionèsima part d’un mil·límetre!
Nosaltres estudiarem el que es podria considerar com “l’últim crit” dels àbacs: el soroban, un àbac que es fa servir al Japó des del segle XV, però en aquesta versió de 9 denes, només des de 1930.
| Escriure i llegir els nombres a l’àbac |
Llegim nombres
En aquest àbac s’aniran escrivint nombres aleatòriament. Com a molt, pots augmentar-los o disminuir-los en una unitat. Intenta endevinar quines són les regles per llegir i escriure els nombres a l’àbac, especialment el valor de la peça superior i el de cadascuna de les inferiors.
Intenta ara llegir els nombres que es vagin escrivint a l’àbac.
Escrivim nombres
Com has pogut veure els nombres s’escriuen posant les denes de cada columna (unitats, desenes, etc.) a la barra del mig. Quan col·loquem una bola a la barra central direm que “l’activem” i quan la traiem que “l’anul·lem” o “la desactivem”.
Intenta escriure els nombres que se’t demanen
| Sumem amb l’àbac |
Sumar amb l’àbac no és excessivament difícil si es practica prou. A nosaltres no ens cal ser uns grans especialistes. El nostre objectiu és anar descobrint les diferents tècniques per sumar. El grau de complicació de les sumes anirà augmentant a mesura que anem avançant en els exercicis. Els darrers casos són, realment, els més difícils.
Amb aquest soroban virtual en tindràs prou per fer les sumes que treballarem.
Si vols un àbac més per a dispositius mòbils, Simple Soroban és una bona opció.
Abans que res, hem de destacar que, amb l’àbac, no convé fer la suma de dreta a esquerra, tal com fem quan sumem per escrit que comencem per les unitats, continuem per les desenes, etc., sinó d’esquerra a dreta, de les unitats més grans a les més petites, tal com les llegim.
1a tècnica de sumes
Observa un primer exemple de suma: 121 + 213
Test per a practicar sumes. Exercici 1
2a tècnica de sumes
Ara venen uns casos una mica més complicats, ja que no tindràs prou denes d’unitat a la columna per fer-les. Per exemple, si vols sumar 2 +3 et trobes que, després d’escriure el 2 no tens 3 denes d’unitat per activar, ja que només en queden 2.
Observem un exemple de suma: 314+ 342
Practica aquesta tècnica amb aquestes noves sumes.
Test per a practicar sumes. Exercici 2
3a tècnica de sumes
De vegades ens trobem que, en tenir “activades” les boles de 5 i d’unitat d’una mateixa columna, hem de jugar amb les d’unitat (desenes, centenes, etc.) de la columna següent i després “restablir equilibris” traient allò que hem posat de més.
Ara observarem un exemple de suma: 184+ 87
Practica aquesta tècnica.
Test per a practicar sumes. Exercici 3
4a tècnica de sumes
Podem fer servir una tècnica semblant a la que hem vist abans per a resoldre aquest cas que ve ara, però jugant amb les denes de 5.
Sumem 178 + 55
Practica aquesta tècnica.
Test per a practicar sumes. Exercici 4
5a tècnica de sumes
En aquesta nova situació haurem de “passar-nos” afegint 10 i compensar traient peces de 5 i d’unitat.
Sumem 79 + 43
Practica aquesta tècnica.
Test per a practicar sumes. Exercici 5
6a tècnica de sumes
Ara bé el cas més complicat, ja que haurem de sumar 10 i fer dues compensacions, restant la peça de 5 i afegint unitats.
Sumem 825 + 608
Practica aquesta tècnica.
Test per a practicar sumes. Exercici 6
Sumar amb l’àbac (final)
De manera semblant a les classificacions del nivell dels judokes amb els colors del cinturó i els dans, els usuaris del soroban poden establir el seu nivell en kyus (del 8è al 1r) i dans (del 6è al 1r). Un escolar, antigament, tenia un nivell mínim de 6è kyu. Un gran mestre del soroban (1r kyu 1r dan) pot fer arrels quadrades, sumes, restes, multiplicacions i divisions amb decimals i, atenció!, sumes i restes sense l’àbac, imaginant-se’l i movent els dits com si el tingués al davant.
Aquests exàmens es fan en un temps determinat i amb un petit marge d’errors. Com que nosaltres no hem practicat més que la suma no ens podem examinar cap kyu (el novè, potser). Però no importa. Pots intentar fes aquestes 10 sumes variades.
| Àbacs: passat i present |
Una mica d’història
Actualment, tothom sap fer una suma com aquesta: 329 + 1 247. Si tenim poques ganes de pensar o per estar més segurs agafarem la calculadora i, en un moment, direm el resultat. Però les coses no eren així a l’Edat Mitjana. Els càlculs només els sabien fer uns pocs especialistes i ser “comptable” era una feina ben reconeguda.
La majoria de gent no passava de poder fer comptes senzills amb nombres relativament petits. No era només el problema que no es pogués anar a escola o no es tinguessin a l’abast “màquines” adients. No en podien fer perquè no disposaven d’un sistema de numeració que simplifiqués els càlculs: encara es feia servir la numeració romana.
Només que comparem una suma tal com la fem actualment amb llapis i paper amb un intent d’adaptar-la a la numeració romana ens adonarem de la dificultat.
És per això que a l’Edat Mitjana com, més antigament, els romans, els grecs, etc. no calculaven amb les seves xifres escrites sinó que feien servir àbacs.
Els àbacs més antics eren bàsicament uns taulers amb unes ranures acanalades per on es feien lliscar unes pedretes. Pedreta en llatí (la llengua dels romans) es deia calculus i la paraula “calcular” que ara fem servir nosaltres, originàriament volia dir alguna cosa com “moure pedretes”.
Reproducció d'un àbac romà
Un dels introductors de la numeració indoaràbica va ser, al segle X, el monjo d’origen francès (i que va residir al Monestir de Ripoll) Gerbert d’Aurillac. Després esdevindria Papa amb el nom de Silvestre II. Gerbert d’Aurillac va dissenyar un àbac de transició en el que es movien unes fitxes en què estaven escrits els nombres amb les xifres indoaràbiques.
Àbac de Gerbert d'Aurillac
Al segle XIII el matemàtic Leonardo de Pisa (també conegut com a Fibonacci) va insistir en la introducció a Europa el nostre sistema de numeració actual, curiosament amb un llibre que es deia Liber abaci (Llibre de l’àbac). Aquest sistema de numeració té, entre d’altres, dos avantatges: que es poden escriure nombres molt grans amb, relativament, pocs signes (compara 438 amb CDXXXVIII) i, sobretot, que facilita molt fer les operacions escrites. Però no va ser fàcil la introducció d’aquest sistema de numeració que ara fem servir com si hagués existit des de sempre. Tres-cents anys més tard, al segle XVI, encara es feien competicions entre “abaquistes”, que encara feien servir l’àbac, i “algoristes”, que feien els comptes més o menys com nosaltres ara. Els àbacs van resistir, malgrat tot, fins al segle XIX, quan encara es podien trobar als bancs, comerços, etc.
Competició entre algoristes i abaquistes
Els àbacs més actuals
Tot i que la numeració indoaràbica i els algorismes de càlcul associats (amb petites diferències) es poden considerar ara universals, hi ha alguns països com Rússia, la Xina o el Japó, on encara se n’poden trobar d’àbacs. Allà, fins no fa tant, no era estrany veure com, a les botigues, feien els comptes amb una calculadora i els repassaven amb l’àbac. La tradició pot ser un dels motius que fa que hagin sobreviscut tant. Tampoc a les escoles d’arreu del món és massa estrany veure un ús més o menys complicat de l’àbac per aprendre el sistema de numeració. I no podem oblidar els àbacs-comptadors que s’han fet servir per comptar els gols del futbolí o les caramboles del billar.
Dibuix atribuït a Yichang Mao (1870-1920)
Comptador de billar
Veiem alguns àbacs
Les característiques de l’àbac les dóna, principalment, la distribució de les denes, si n’hi ha de valor diferent i, sobretot, la quantitat per fila. Un àbac amb moltes denes facilita el càlcul, perquè no s’han de fer tantes “operacions mentals”, però, en part el fa més lent perquè s’han de comptar i moure més quantitat.
Àbac escolar
Schoty (Счёты) Àbac rus
Suanpan Àbac xinès
Soroban antic
Soroban modern
Si comparem els tres àbacs utiliotzats fins a temps més recents (stchioty, suanpan i soroban, rus, xinès i japonès respectivament), tenint en compte el que hem dit abans sobre la distribució i la quantitat de denes de cada eix, observarem que el més fàcil d’usar és el rus, seguit del xinès. Però el més ràpid (quan es domina) és el soroban japonès. Ens hi podem fixar com, a més, al perdre una de les dernes de la part inferior al període entre guerres del segle passat, es va aconseguir que els resultats es veiessin sempre directes en l’àbac, sense necessitat “d’arreglar-lo” després d’una operació (pots mirar l’exemple de sota). Tot i així encara a Indonèsia es poden trobar alguns sorobans antics de 5 denes.
Quatre formes d’escriure el 625 a l’àbac xinès