Hi ha molts jocs en què l’atzar ho decideix pràcticament tot, com poden ser l’oca, l’escala o alguns jocs de cartes. Però n’hi ha molts en els que també influeix saber jugar les fitxes o les cartes (els jaquets, el parxís…) o en els que influeix la compenetració amb la parella (dòmino, botifarra…).
Txaupar hindú que va donar origen al joc del parxís
Moltes vegades el fet que un joc d’aquest tipus ens agradi més o menys depèn del grau d’influència de l’atzar. Hi ha persones que s’estimen més que decideixi tot la sort i persones que només volen una lleugera intervenció d’aquesta.
En aquesta activitat et proposarem tres jocs diferents en què la recerca d’una estratègia adequada ens permetrà millorar (si és possible) el nostre grau d’encert. Els tres jocs són:
-
- Restant daus
- De quin color serà?
- On és el cotxe?
Gràcies a l’ús de l’ordinador ens estalviarem l’esforç de fer milers de tirades per comparar les probabilitats corresponents a cada joc amb els resultats que s’obtenen realment.
| Índex | ||
| Restant daus | El joc de les tres fitxes | El joc de les tres portes |
| Estudiem el joc de la resta de daus | Estudiem el joc de les fitxes | Estudiem el joc de les portes |
| Activitat en pdf | ||
| Restant daus |
Regles
Les regles d’aquest joc són les següents:
- Tens 18 fitxes per a apostar que has de distribuir en les caselles del 0 al 5.
- Es tiren dos daus i es resten els seus valors (els resultats possibles van del 0 al 5).
- Es retira una fitxa de la casella corresponent. Per exemple, si surten un 5 i un 2 es retira una fitxa de la casella 3, perquè 5-2=3.
- Es realitzen 15 jugades
- L’objectiu encertar el màxim de vegades, traient així el màxim de fitxes.
Juguem
Juga unes cinc partides intentant millorar les teves apostes veient com van els resultats al final de cada partida. Et proposem inicialment una aposta igualitària (3 fitxes en cada casella) però la pots variar lliurement. Quan acabis de posar les fitxes podràs realitzar les 18 jugades.
Observa durant la partida a quines tirades no has pogut treure cap fitxa i mira, també, quantes fitxes t’han sobrat i a quines caselles. Al final de la partida tindràs un resum.
https://scratch.mit.edu/projects/952100306
Hi ha nombres que s’obtenen amb més freqüència que d’altres?
| Estudiem el joc de la resta de daus |
No tots els resultats són igual de probables
Per poc que hagis jugat hauràs vist que no tots els resultats són igual de probables. L’1, per exemple, acostuma a sortir més que el 5.
Hi ha 36 formes diferents de combinar els dos daus. En aquesta taula pots veure-les totes amb la resta que s’obté a cadascuna.
Comprovem les probabilitats
Com més juguem, més s’aproparan als previstos els resultats reals que obtindrem. L’ordinador ens pot ajudar tirant moltes vegades els daus en pocs segons i, de passada, comptant per nosaltres. Observa com va evolucionant el gràfic i mira de quina manera les freqüències relatives (en percentatge) es van apropant a les probabilitats calculades abans.
https://scratch.mit.edu/projects/952311558
Ara tens prou informació per fer unes apostes inicials més ajustades als resultats que pots obtenir.
| De quin color és l’altra cara de la fitxa? |
Regles
Per a realitzar aquest joc necessitem tres fitxes:
- una vermella pels dos costats
- una blava pels dos costats
- una vermella per un costat i blava per l’altre.
Les regles són les següents:
- traurem un fitxa de la caixa i t’ensenyarem una cara.
- tu has d’endevinar el color de la cara que no es veu.
Juguem
Juga unes quantes partides i intenta buscar alguna estratègia que et permeti encertar el màxim de vegades.
https://scratch.mit.edu/projects/953186159
| Estudiem el joc de les tres fitxes |
Diferents estratègies
Les estratègies que acostumem a provar són aquestes:
- dir sempre el mateix color que veiem
- dir sempre el color contrari al que veiem
- contestar a l’atzar
- dir sempre el mateix color, per exemple vermell, vegem el que vegem.
Podem veure quines són les òptimes si provem què passa jugant moltes partides seguides i anotant els encerts de cada estratègia. Pot ser interessant veure com varia cadascuna de les estratègies a mesura que augmentem el nombre de jugades.
Analitzem cada estratègia
Si analitzem les probabilitats de cada estratègia veurem com s’ajusten als resultats obtinguts anteriorment.
- només hi ha dos colors: vermell i blau. Per tant, si sempre diem vermell o sempre blau, encertarem al voltant de la meitat de les vegades (un 50% d’encert).
- el mateix passarà si contestem a l’atzar.
- hi ha dues fitxes que tenen les dues cares iguals i una que té colors diferents. Per tant hi ha 2/3 de possibilitats que treure una fitxa amb els colors iguals als dos costats. Encertarem al voltant d’un 66% de les vegades si diem el mateix color que veiem. És la millor estratègia.
 |
 |
| Dos casos favorables | Un cas desfavorable |
- hi ha només una fitxa que tingui els colors diferents i sortirà una de cada tres vegades, aproximadament (un 33 %). Si diem el color contrari al que veiem seguirem la pitjor estratègia.
Com hem pogut veure abans, aquestes estratègies depenen de l’atzar. És difícil, però no impossible, que surti 20 vegades seguides la fitxa de dos colors. Però com més tirades fem, el percentatge d’encert es va apropant cada vegada més a la probabilitat calculada (com podem comprovar realitzant 10000 tirades).
| On és el cotxe? |
Regles
A finals del segle passat, va ser molt popular un concurs televisiu anomenat “Un, dos, tres, responda otra vez”. A la part final del programa es proposava als concursants escollir entre unes portes que amagaven diferents premis. Un dels grans premis era un cotxe i un dels pitjors una carabassa. En altres televisions hi ha hagut jocs semblants.
Vegem un d’ells.
- hi ha 3 portes; darrere d’una d’elles hi ha un cotxe, les altres dues amaguen carabasses.
- quan triïs una porta t’obrirem una de les que guarda una carabassa.
- després podràs triar entre seguir amb la mateixa porta que havies escollit o canviar de porta.
Quina estratègia serà millor? Canviar o mantenir la porta triada? O serà indiferent?
Juga unes quantes partides i observa el balanç d’encerts.
| Estudiem el joc de les tres portes |
Analitzem el joc
Estudiem les probabilitats de cada estratègia. En principi podem pensar que quedant dues portes, una amb el cotxe i l’altra amb la carabassa, és indiferent mantenir o canviar de porta: tindrem un 50% de possibilitats de guanyar o de perdre. Però les aparences enganyen.
Observa:
- Quina és la probabilitat que el cotxe estigui en la porta que hem escollit?: Una entre tres (1/3).
- Quina és la probabilitat que estigui en les portes que no hem escollit?: Dos entre 3 (2/3)
- Varia aquesta probabilitat el fet que ens obrin una de les portes que no hem escollit? Encara que sembli mentida no la varia. Senzillament, fa que els 2/3 de probabilitats es “concentrin” en la porta que no he escollit i que encara està tancada.
- Quina és la millor estratègia?: Canviar de porta; s’encertarà en 2 de cada 3 ocasions (un 66,6 % d’encert). Sembla paradoxal, però ho podem comprovar si juguem suficients partides.
Juguem moltes partides
Recapitulem. Segons les observacions anteriors les probabilitats de cada estratègia són les següents:
- mantenir-se en l’elecció: (33,3 %)
- canviar de porta: (66,6 %)
- contestar a l’atzar: (50%)
Deixa “jugar” suficient estona a l’ordinador i observa com es van acostant els percentatges reals als previstos.
Aquesta estratègia, la de canviar, i que va molt contra la intuïció, ja que acostumem a pensar que és indiferent canviar o quedar-se, la podem entendre millor si juguem amb 100 portes, 99 carabasses i un cotxe. Imaginem que triem la primera porta.
Sabem que de les 99 portes restants o bé totes tenen carabasses o 98 en tenen i la que queda un cotxe. Recordem que el presentador sap on està aquest. Per tant, ens pot obrir 98 portes de cop mostrant una carabassa i deixar una de tancada. Per exemple, la porta 100.
Optaríeu ara per canviar? Al començament la porta que hem triat té una probabilitat d’encert de l’1 %. Ha canviat aquesta probabilitat després d’obrir les portes? Quina és ara la probabilitat de la porta que queda?
Història d’aquest problema
Aquest problema es basa en un concurs televisiu nord-americà de la dècada dels 60 del segle passat: Let’s Make a Deal (Fem un tracte) i rep el nom del seu presentador: Monty Hall. L’inventor del problema va ser l’estadístic Steve Selvin. Però va saltar a la fama quan la periodista Marilyn vos Savant va escriure sobre ell una columna a la revista Parade. Cal dir que la seva anàlisi, totalment correcta, va ser durament criticada per una munió de persones. Entre elles algun insigne matemàtic.
És un problema que s’ha utilitzat molt en literatura (per exemple al llibre El curiós incident del gos a mitjanit) o al cine (Blackjac) i la televisió (al capítol 21 de la sèrie Numb3rs).