El joc del TOC-BUM és un senzill joc de càlcul molt més ric del que pot semblar a primera vista. Si aprofundim en el seu estudi, descobrirem que està relacionat amb problemes de divisibilitat o amb les equacions anomenades diofàntiques.
És un joc en què pot participar tota la classe. El conductor del joc va assenyalant als participants i dient ordenadament els nombres. Els participants que s’equivoquin o es passin de temps queden eliminats. Així fins a quedar un sol jugador.
A més de jugar es pot fer una interessant investigació sobre les característiques dels nombres “solucionables” amb el joc, i sobre les quantitats a partir de les quals trobem col·leccions seguides d’aquests nombres.
| Índex | ||
| Regles del joc | Juguem algunes partides | Investiguem |
| Algunes idees | Solucions | Diofant i el TOC-BUM |
| Descarregar activitat en pdf | ||
| Regles del joc |
Explicarem el joc tal com es faria a classe, i comptant que el mestre o la mestra fan de directors del joc, encara que també ho pot fer algun/a alumne/a.
Regles:
- El joc consisteix a comptar en veu alta començant per l’1. Quan un nombre es pugui fer amb TOCS i BUMS s’haurà de dir així, amb TOCS i BUMS, tal com explicarem.
- Es determina un ordre entre els jugadors i es sorteja qui ha de començar.
- Es determinen els valors del TOC i del BUM. Es pot fer per proposta del mestre/a o amb un dau de 10 o 12 cares, per exemple. Convé que no siguin valors gaire grans. S’escriuen a la pissarra perquè tothom els tingui clars. Per exemple podem fer que el TOC sigui 5 i el BUM sigui 7.
- El director/a assenyala al primer jugador. Aquest dirà el nombre que li toqui. Si no es pot fer amb TOCS i BUMS dirà el nombre pel seu nom. Si es pot fer amb TOCS i BUMS, additivament, en dirà tants com calguin.
- Si el jugador s’equivoca en els TOCS i els BUMS o perquè diu el nombre normalment i es podia fer amb TOCS i BUMS queda eliminat. També en quedarà si triga excessivament a contestar.
Amb els números d’exemple (TOC=5, BUM=7) la partida s’hauria de desenvolupar així:
| 1 | 8 | TOC-TOC-TOC (5+5+5=15) |
| 2 | 9 | 16 |
| 3 | TOC-TOC (5+5=10) | TOC-TOC-BUM (5+5+7=17) |
| 4 | 11 | 18 |
| TOC (5) | TOC-BUM (5+7=12) | TOC-BUM-BUM (5+7+7=19) |
| 6 | 13 | TOC-TOC-TOC-TOC (5+5+5+5=20) |
| BUM (7) | BUM-BUM (7+7=14) | BUM-BUM-BUM (7+7+7=21) |
… I es continuaria així. No cal dir els TOCS i els BUMS en ordre i també es podria dir “dos TOCS i tres BUMS per a dir el 31, per exemple.
| Juguem algunes partides |
Per familiaritzar-nos amb un joc el millor és practicar una mica. Per aquest motiu hem preparat aquest programa perquè hi juguis.
- El TOC i el BUM es triaran a l’atzar entre 2 i 12, però podràs canviar els nombres.
- Al teu torn hauràs de pitjar els botons tants TOCS i tants BUMS com consideris. Si no es pot fer amb TOCS i BUMS pitja el botó que diu “No es pot fer”. Si t’equivoques pots pitjar el botó de “Rectificar”
- Si t’equivoques o et passes de 30 segons perdràs la partida.
| Investiguem |
A mesura que vagis jugant partides hauràs observat que de vegades, a partir de determinat nombre tots es poden fer a base de TOCS i BUMS. Altres vegades només es poden fer un de cada 2, de cada 3, de cada 4… Pot ser interessant investigar aquestes qüestions.
- Quina relació hi ha d’haver entre els nombres del TOC i el BUM perquè a partir d’un nombre determinat es puguin fer tots?
- Com es pot descobrir aquest nombre mínim?
- En el cas que no es donin les condicions anteriors a partir d’una quantitat determinada es poden fer totes però amb un salt fix. Quina relació hi ha d’haver entre els nombres? Com es pot esbrinar el salt?
- De fet, algunes de les observacions anteriors es poden generalitzar i, siguin quins siguin els nombres del TOC i el BUM, sempre a partir d’un moment es pot obtenir qualsevol quantitat amb un salt determinat que depèn del TOC i el BUM. Quina característica tenen les solucions que podem obtenir?
- Pots endevinar a partir d’aquests tres nombres (TOC, BUM i salt) quina és la quantitat mínima a partir de la qual podem fer totes les solucions?
| Algunes idees |
Fer taules
Pots intentar investigar quins nombres es poden fer de l’1 al 100 i quins no a partir d’una parella donada.
Per exemple si agafem el 4 i el 7 els nombres possibles de fer els podem assenyalar amb un color. Observem també que, a partir del 18 es poden fer tots.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |
| 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
| 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 |
| 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
Ajudes per a calcular
Si et fa mandra anar calculant quins nombres es poden fer i quins no et pots ajudar amb aquests programes.
- Programa 1. Et diu quins nombres es poden fer amb TOCS i BUMS i quins no. També et dona la solució dels que són possibles. El TOC i el BUM surten a l’atzar. Però les parelles que surten són triades perquè, a partir del moment que es poden fer tots, no hi hagi salts: sempre vagin d’un en un. Et pot ser útil per a trobar la pauta per saber a partir de quin nombre es poden fer tots.
- Programa 2. Funciona com l’anterior. Però ara pots triar els valors del TOC i el BUM. T’anirà millor per a estudiar els casos amb salts.
| Solucions |
Resum de taules
En general, podem observar que en tots els casos a partir d’una determinada quantitat es poden fer tots els números amb un salt determinat: cada nombre, cada dos, cada tres…
És convenient fer una taula resum d’aquestes dades.
| Taula 1 | |||
| TOC | BUM | Tots a partir de… | Salt |
| 3 | 8 | 14 | 1 |
| 9 | 15 | 24 | 3 |
| 5 | 7 | 24 | 1 |
| 10 | 12 | 40 | 2 |
| 12 | 15 | 36 | 3 |
| 10 | 25 | 20 | 5 |
| 4 | 9 | 24 | 1 |
| 6 | 8 | 12 | 2 |
| 14 | 22 | 120 | 2 |
| 8 | 12 | 8 | 4 |
| 6 | 9 | 6 | 3 |
| 5 | 11 | 40 | 1 |
| 6 | 7 | 30 | 1 |
Potser no és mala idea separar els casos en què el salt és d’un en un (és a dir que es poden fer tots els nombres) dels que tenen un salt diferent.
| Taula 2 | |||
| TOC | BUM | Tots a partir de… | Salt |
| 3 | 8 | 14 | 1 |
| 5 | 7 | 24 | 1 |
| 4 | 9 | 24 | 1 |
| 5 | 11 | 40 | 1 |
| 6 | 7 | 30 | 1 |
| Taula 3 | |||
| TOC | BUM | Tots a partir de… | Salt |
| 9 | 15 | 24 | 3 |
| 10 | 12 | 40 | 2 |
| 12 | 15 | 36 | 3 |
| 10 | 25 | 20 | 5 |
| 6 | 8 | 12 | 2 |
| 14 | 22 | 120 | 2 |
| 8 | 12 | 8 | 4 |
| 6 | 9 | 6 | 3 |
Sobre el salt
- Si mires la taula 3, pots observar alguna relació entre el TOC i el BUM i el salt?
- El que has observat és contradictori amb la taula 2 o és coherent? És a dir, hi ha una manera general per saber quin serà el salt a partir del moment que es podran fer tots els nombres?
A partir de quan es poden fer tots?
- En aquest cas és millor començar per la taula 2. Hi ha uns càlculs no massa complicats amb el TOC i el BUM que et permeten descobrir a partir de quan es poden fer tots. Pots intentar descobrir-los fent tempteigs. Però els càlculs no varien: sempre es fan de la mateixa manera.
- Pel cas en què hi ha salts superiors a 1 és una mica més complicat. Però tampoc gaire més. Has d’adaptar el que hem descobert per a la taula 2 a la mida del salt. Potser també fer alguna petita operació més.
| Diofant i el TOC-BUM |
Les equacions diofàntiques i el Joc del TOC-BUM
En honor al matemàtic grec Diofant d’Alexandria les equacions del tipus Ax ± By = C amb solucions enteres es coneixen com a equacions diofàntiques. En principi aquestes equacions tenen sempre solucions enteres quan C és un múltiple del màxim comú divisor de A i B.
Per exemple l’equació 24x – 16y = 104 té infinites solucions enteres perquè 104 és múltiple de 8, que és el m.c.d (24, 16). Per exemple x = 5 i y = 1 o bé x = 7 i y = 4.
24·5 – 16·1 = 120 – 16 = 104
24·7 – 16·4 = 168 – 64 = 104
etc.
En canvi, no en tindrà cap solució entera per un nombre com 103 que no és múltiple del m.c.d.de 24 i 16.
El nostre joc del TOC-BUM és, en el fons, un problema d’aquest tipus d’equacions. L’única restricció nova és que els valors de x i y han de ser positius.
L’equació diofàntica associada al nostre joc seria del tipus:
TOC·x + BUM·y = N
Així si tenim com a TOC el 4 i com a BUM el 7, quan volem aconseguir 31 l’equació associada és:
4x + 7y = 31
i una solució possible és x = 6 i y = 1
4·6 + 7·1 = 24 + 7 = 31
A la Viquipèdia mateix pots trobar diferents mètodes per a resoldre aquests tipus d’equacions.
Qui era Diofant d’Alexandria?
No es coneixen gaires coses de la vida d’aquest matemàtic grec. Es pensa que va viure al voltant del segle III.
L’obra més coneguda d’ell es titula Aritmètica i estava dividida en 13 llibres dels quals en coneixem mitja dotzena. Des del seu “descobriment” al segle XVI ha estat un llibre molt estudiat.
La majoria de problemes plantejats es resolen amb equacions de 1r o 2n grau, però no s’acceptaven més que les solucions racionals i positives. (Encara havien d’avançar molt les matemàtiques per admetre els nombres negatius i els irracionals).
L’epitafi de Diofant
Una de les llegendes més esteses en el món de la matemàtica és la de l’epitafi de Diofant. S’explica que a la seva tomba hi havia l’enunciat d’un problema que, tot repassant la seva biografia, un cop resolt, ens deia l’edat que tenia quan va morir.
L’epitafi és aquest:
Quants anys va viure Diofant?