Aquest és un exemple clàssic dintre dels problemes operatius: un problema d’intercanvi de discs amb unes regles especials. També proposem una petita investigació sobre la quantitat mínima de moviments necessaris (segons la quantitat de discs) i algunes curiositats sobre el problema.
| Índex | ||
| Llegenda i problema | Investiguem | Variants |
| Curiositats | Activitat en pdf | |
| Llegenda i problema |
La llegenda de les Torres de Brama
Encara que l’activitat que presentem es coneix amb el nom de Torre de Hanoi (o Torres de Hanoi), sembla que originàriament es coneixia com el Problema de les Torres de Brama, per aquesta llegenda que ara transcrivim.
Al costat del riu Ganges, el riu sagrat de l’Índia, s’aixeca la ciutat de Benarés. Hi ha una llegenda que explica que al Gran Temple, sota la cúpula que assenyala el centre del món, Déu va posar una safata d’argent amb tres pals diamantins. Durant la creació Déu va posar 64 discs d’or de diàmetres diferents i apilats de més gran a més petit. Aquesta és la torre de Brama. Dia i nit els monjos del Temple van passant discs d’un pal a un altre d’acord amb les estrictes regles de Brama:
- Només es pot moure un disc cada vegada.
- Cada moviment consisteix a agafar el disc superior d’una de les piles i col·locar-lo a sobre d’una altra pila.
- Mai un disc pot ser posat a sobre d’un de diàmetre més petit.
Quan els 64 discs hagin estat transferits a un altre dels pals la Torre, el Temple i els bramans es convertiran en pols i, amb un gran estrèpit, el món desapareixerà.
Pregunta objectiu: “Queda molt per a la fi del món?”
El problema
Si volem calcular quants moviments calen per canviar els 64 discs és millor que comencem a estudiar la solució amb una quantitat més reduïda. Comencem, per exemple, amb 3 discs.
Applets adaptats dels originals de GroovyYayman
Si volem anotar les passes de la solució hem de pensar una manera de fer-ho. Podem dibuixar les posicions o, encara més còmode, buscar alguna anotació amb lletres (per simbolitzar els pals) i nombres per anotar els discs. Amb el nombre indiquem el disc a moure i amb la lletra el pal de destí. Per exemple, si anomenem 1 al disc més petit, 2 al següent, etc. i A al 1r pal, B al segon i C al tercer, moure el primer disc del pal A al C s’indicaria com 1C i el segon disc al pal B com 2B.
Intenta ara estudiar els moviments necessaris per transferir 4 discs.
Ara pots començar a estudiar el problema amb altres quantitats de discs. Pots començar amb situacions més trivials (com un sol disc o dos) i passar a cinc, sis…
Si hem resolt els problemes anteriors comencem a estar en condicions de resumir els resultats i començar a esbrinar quants moviments caldran per traslladar els 64 discs.
| Investiguem |
De cara a estudiar la quantitat mínima de moviments necessaris a cada quantitat de discs cal que t’hi fixis bé en quin pal cal començar, segons la quantitat de discs sigui parell o senar. Posa atenció en els casos de 2, 3, 4 i 5 discs.
I si ja ho has treballat prou en aquest enllaç tens un applet fet amb scratch (també de GroovyYayman) que et mostra les resolucions per a diferents quantitats de discs.
En una taula podem resumir els resultats que anem obtenint (intenta endevinar els resultats següents a partir dels que tens).
| Discs | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … |
| Moviments mínims | 1 | 3 | 7 |
Completa i observa la taula i intenta trobar una manera de calcular la quantitat de moviments necessària per moure cada quantitat de discs. Pots fer una predicció seguint els resultats de la taula o buscant una fórmula.
Si no en trobes cap pots mirar la solució. A aquesta pàgina també hi trobaràs la seva justificació.
I quan acabarà el món?
Ara ja estem en condicions per calcular quan acabarà el món segons la llegenda que hem explicat al principi.
Pots imaginar que es fa un moviment cada segon i després calcular, si cal, els dies, anys, etc.
I si no tens ganes de fer els càlculs mira la solució.
| Variants |
A partir del joc de les Torres de Hanoi es poden presentar altres variants no menys interessants. Aquí tenim un parell, que no cal dir, es poden proposar amb més o menys discs per moure.
Siva-vishnu
Amb les mateixes regles de moviment que ja coneixem, podem intentar intercanviar els discs senars de l’esquerra amb els discs parells de la dreta. També podem investigar quants moviments calen amb 2 discs (1 i 1), amb 4 (2 i 2), amb 6 (3 i 3), etc.
La Sagrada Trinitat
En aquest cas es tracta de col·locar els discs 1-4 al pal central, els discs 2-5 al pal de la dreta i els discs 3-6 al de l’esquerra.
| Curiositats |
La veritat sobre la Llegenda de les Torres de Brahma
La llegenda és falsa
El joc té un inventor conegut: el francès Edouard Lucas (1842-1891), un dels primers autors importants sobre recreacions matemàtiques i el va batejar amb el nom de “Torre de Hanoi” (en singular). No sabem en quin moment es va canviar el nom al plural.
El joc es va comercialitzar el 1883 i, al prospecte indicava que l’autor era una tal “Professor Claus” de Siam que, com es pot veure, és un anagrama del mateix nom de Lucas. Les instruccions encara contenien un altre anagrama. El suposat professor Claus pertanyia al “Col·legi Li-Sou-Stian”. L’autèntic Lucas al “Col·legi Saint Louis”.
Aquí tenim una imatge del prospecte original:
En aquest prospecte s’especificava que l’origen del joc era oriental i s’explicava breument la llegenda que, donat que no s’ha trobat cap altra documentació, hem de suposar que va ser un “truquet publicitari”.
Si tens interès pots llegir un petit escrit del mateix Lucas de l’any 1892. Apareix al tercer volum de les seves Récréations mathématiques (pàgines 55 a 57).
Una composició sobre la llegenda
El compositor John Greschak va compondre el 1997 una melodia per orquestra de corda sobre la llegenda de les Torres de Hanoi.
Només començar sentim els tres cops que Brama va donar per clavar els claus. Després comencem a sentir els moviments dels discs. Segons el pal la nota és més greu o més aguda. També la grandària dels dics moguts queda reflectida segons el to i la durada de la nota corresponent.
Partitura completa
Descarregar audio
Algunes imatges de les torres
De tant parlar potser sents curiositat per veure alguna imatge del Temple de Benarés. Aquí et presentem alguna imatge antiga i una il·lustració de les torres daurades.
I aquí en tens una imatge de la torre de la Pagoda Tran Quoc de Hanoi que probablement hagi donat nom al joc.
