Un objecte que no falta pràcticament a cap casa del món són uns daus. Molts jocs en fan ús i d’altres es juguen exclusivament amb ells. Un d’aquests jocs va donar origen a l’estudi de les probabilitats que tanta importància tenen al nostre món actual. Mirarem una mica les seves característiques i estudiarem alguns jocs.
| Índex (Part 1) | |||||
| Introducció | Un dau | Rugbi | Descarregar | Part 2 | Part 3 |
| Introducció |
Des de quan hi ha daus?
A les excavacions arqueològiques de l’antiga Mesopotàmia o de l’Egipte s’han trobat jocs en què, per a realitzar moviments que depenguessin de l’atzar, com a l’actual parxís o al joc de l’oca, calia l’ús d’algun tipus de dau.
A la ciutat sumèria d’Ur es va trobar un joc (de fa uns 5000 anys) que feia servir uns daus tetraèdrics. En comptes de tenir punts o nombres a les seves cares, tenien alguns vèrtexs pintats. Es tiraven tres daus i les combinacions de vèrtexs pintats que quedaven a la part superior indicaven la jugada a fer.
Joc d'Ur i daus moderns (Regles, jugar en línia)
Un antic joc egipci força conegut és el Senet (hi ha referències del 2650 a.n.e). En comptes de daus com els actuals es tiraven 4 bastonets plans per un costat (amb la cara pintada de color clar) i cilíndrics per l’altra (amb la cara de color fosc). D’una manera semblant al joc d’Ur les diferents combinacions de cares clares i fosques indicaven la jugada. Més tard es van fer servir uns bastonets amb forma ortoèdrica que puntuaven d’1 a 4.
Tauler i daus de senet (Regles, jugar en línia)
Els antics grecs i romans ja jugaven amb daus similars als que fem servir actualment. Sembla que el seu origen és també egipci o oriental. Els jocs de daus eren tan populars a l’antiga Roma que fins i tot l’emperador Claudi va escriure un llibre (que no ens ha arribat) titulat “Com guanyar als daus”.
Dels romans ve també l’ús del gobelet per tirar els daus. Un jugador hàbil amb els dits podia aconseguir bones puntuacions amb els daus. Els gobelets (amb certes irregularitats a dins) impedien aquestes manipulacions.
Curiosament, als països de cultura islàmica on es practiquen molts jocs sobre el tauler del jaquet (backgammon) s’acostuma a tirar amb les mans perquè es respecta aquesta habilitat dels jugadors. És el mateix respecte el que s’aplica als casinos de Las Vegas on també es tiren amb la mà.
Els daus han entrat ja a la nostra vida quotidiana. Per una banda, han esdevingut símbols de l’atzar. Per exemple, Einstein va escriure una carta a Max Born en la que li deia: “Vostè creu en un Déu que juga als daus, i jo en la llei i en l’ordre absoluts”. El poeta Joan Brossa els va fer servir també a les seves obres per posar de manifest certes paradoxes.
També, en la nostra societat actual “del disseny” no s’han escapat d’entrar-hi com a objecte d’inspiració en objectes d’ús quotidià, amb més o menys gust, evidentment. No heu vist mai uns daus de drap penjant del retrovisor d’un cotxe?
Com que paradoxes sempre hi ha d’haver, una original proposta de Joan Brossa, un dau esfèric, es va desvirtuar en un “objecte original” per una empresa que va fabricar uns daus esfèrics, però que, per un sistema de contrapesos, funcionaven com un dau normal.
La forma dels daus
El que en principi esperem d’un dau és que totes les cares tinguin la mateixa probabilitat de sortir (siguin equiprobables). Per aconseguir-ho totes les cares i arestes han de ser exactament iguals. Això ens porta directament als 5 políedres regulars. De tots ells el més idoni és el cub: no té un nombre ni massa gran ni massa petit de cares i rodola “amb dignitat”. El tetràedre no rodola tan bé, l’octàedre no ho fa pràcticament i el dodecàedre i l’icosàedre ho fan massa (hauríem d’estar perseguint els daus per tota la taula).
| Nom | Cares | Desenvolupament |
| Tetràedre | 4 |  |
| Cub | 6 |  |
| Octàedre | 8 |  |
| Dodecàedre | 12 |  |
| Icosàedre | 20 |  |
Actualment, els altres daus no cúbics s’han posat de moda gràcies als jocs de rol.
Així i tot, la imaginació humana és prou potent per haver inventat daus equiprobables de moltes més cares, fins i tot de 100 cares. Podeu trobar més de 300 exemples de formes diferents en aquest enllaç.
| Amb un sol dau |
Comptem possibilitats, mesurem probabilitats
Un dau (dels que fem servir habitualment) té 6 cares. Cada cara del dau té les mateixes probabilitats de sortir. Com podem establir les probabilitats que surti, per exemple, un dos.
Començarem per establir dues fronteres:
- Quan un succés és impossible, com per exemple que demà el Sol surti per ponent, diem que la seva probabilitat és 0.
- Quan un succés és segur, com per exemple, que demà el Sol sortirà per llevant, diem que la seva probabilitat és 1.
Ara es tracta de mesurar, entre 0 i 1, les probabilitats del fenomen que volem estudiar. Això no sempre és fàcil, però en el cas del dau no ho és gens. Tranquil·lament, si el dau està ben fet podem dir que la probabilitat de treure un dos és d’una entre sis. Si volguéssim esbrinar la probabilitat que una xinxeta caigui de manera que la punxa toqui la taula l’únic que podríem fer seria una estadística exhaustiva dels resultats del llançament de milers de xinxetes.
En general, acostumem a escriure la probabilitat d’un fet en forma de fracció. Al denominador posem la quantitat total de possibilitats que tenim i al numerador la quantitat de casos favorables (en el nostre cas un de sol).
Les probabilitats també s’acostumen a donar en forma de percentatges. Observem aquests exemples:
- la probabilitat que en tirar un dau obtinguem un nombre de l’1 al 6 és del 100%.
- la probabilitat de treure un dos en una tirada és del 16,66%.
- la probabilitat que en tirar un dau es pari sol a un centímetre de la taula, faci quatre cabrioles i em torni a la mà és d’un 0% (si no soc en Harry Potter).
Si vols pots provar d’assignar probabilitats a alguns casos amb daus
Podem comprovar de manera pràctica aquestes probabilitats tirant moltes vegades un dau i comptant quantes vegades surt cada cara. Però com que és una feina molt pesada millor fem una simulació informàtica deixant que l’ordinador faci tota la feina.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1000438600
Podràs observar que com més estona deixis tirar el dau més s’acosten els resultats reals de l’experiment als esperats. Això és degut a la Llei dels Grans Nombres.
Un dau carregat
Imaginem que volem fer trampes i “carregar” un dau (fer que un número sigui més probable que els altres). Amb cartolina es pot fer molt fàcilment construint un dau i enganxant un petit pes (un botó, més cartolina, una moneda…) a la part interior d’una de les cares.
Per diferenciar un dau carregat d’un de normal l’únic que hem de fer és tirar-lo moltes vegades i fer recompte.
En aquest joc tenim daus de tres tipus: uns de ben fets (equiprobables), uns una mica carregats i uns altres de molt carregats. Deixar tirar els daus i intenta endevinar quin és el dau que et presentem cada vegada i, si és un dels carregats, pensa quina és la cara carregada.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1000443273
És possible que jugant hagis confós alguna vegada els daus equiprobables i els poc carregats. Això és perquè no l’has deixat jugar prou. Si tens paciència i deixar fer moltes, moltes, moltes tirades veuràs com els resultats s’ajusten al tipus de dau presentat.
Per què no em surt el cinc?
Moltes vegades el desig que passi una cosa fa que el temps d’espera se’ns faci especialment llarg. Per exemple, quan juguem al parxís i hem de treure una fitxa de vegades sembla que el cinc no vulgui sortir mai. Diem que estem tenint mala sort. Però el que passa és absolutament normal. Si provem 14 vegades a treure un cinc amb un dau i comptem quantes tirades triguem a treure’l veurem que algunes sèries poden ser especialment llargues.
Enllaç; https://scratch.mit.edu/projects/1000528908
Si volem veure que la quantitat de tirades es correspon amb la probabilitat prevista (1/6) hem de tornar a comptar. Si tirem 100 daus i comptem amb cadascun quant tardem a treure un cinc veurem que la mitjana de tirades està al voltant de 6. També podrem trobar “ratxes” especialment llargues sense treure el cinc.
| El joc del rugbi |
Regles
És molt possible que coneguis el joc del rugbi. La jugada que dona més punts és l’assaig. Un jugador passa, amb la pilota a la mà, la línia de fons del camp contrari. El joc que et proposem ara és molt semblant.
Les regles són les següents:
- cada jugador tria una opció: A o B
- es tira un dau
- el jugador A mou cap a l’esquerra tantes caselles com indica el dau si surt un 1, un 2, un 3 o un 4.
- el jugador B mou cap a la dreta tantes caselles com indica el dau si surt un 5 o un 6
- guanya el primer que travessa la línia d’assaig
Intenta observar si el joc és equitatiu (pot guanyar qualsevol dels dos jugadors) o si un d’ells té avantatge.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1001365118
Estudiem el joc
En una primera observació podem pensar que al joc del rugbi el jugador A pot tenir més avantatge, ja que mourà 4 de cada 6 vegades mentre que el B ho farà 2 de cada 6. El que passa és que hem de tenir en compte el “premi” de la jugada: la quantitat de caselles que avança.
Canviem la situació per fer-la un pèl més entenedora. Imaginem que el joc és diferent. El jugador A guanya tants euros com indiqui la tirada si surt un 1, un 2, un 3 o un 4. El jugador B guanyarà tants euros com indiqui la jugada quan surti un 5 o un 6. Si multipliquem la probabilitat pel premi, ens podem fer una idea dels possibles guanys o pèrdues.
Confeccionem una taula que combini les probabilitats i els premis corresponents pel jugador A.
| Jugador A | |||
| Tirada | Probabilitat | Premi | Producte |
| 1 | 1/6 | 1 | 1/6 |
| 2 | 1/6 | 2 | 2/6 |
| 3 | 1/6 | 3 | 3/6 |
| 4 | 1/6 | 4 | 4/6 |
Com li anirà al jugador A?
Guanyarà 10 € per cada 6 jugades
De la mateixa manera podem calcular com li pot anar al jugador B.
| Jugador B | |||
| Tirada | Probabilitat | Premi | Producte |
| 5 | 1/6 | 5 | 5/6 |
| 6 | 1/6 | 6 | 6/6 |
El jugador B guanya 11 € per cada 6 tirades
Com es pot veure al jugador B li va lleugerament millor que a l’A. Cada 6 tirades guanyarà 1 € més que l’altre. Per tant, en general, serà millor optar pel jugador B. Encara que guanyi menys vegades els seus premis, en ser més grans, compensen.
Comprovem-ho
Podem comprovar el que hem calculat si juguem moltes partides i observem què passa. En aquesta simplificació considerarem que A guanya senzillament si treu un 1, un 2, un 3 o un 4. De forma equivalent B guanyarà amb un 5 o un 6. Si deixes jugar prou a l’ordinador veuràs que A guanyarà el 2/3 de les partides (un 66,66%) però que B obtindrà una mica més de la meitat dels guanys.
Enllaç: https://scratch.mit.edu/projects/1001408072
Fem el joc equitatiu
Podem pensar una manera de fer que el joc sigui equitatiu?
Primer observem que la suma de totes les cares d’un dau és 21. Al ser una quantitat senar és impossible dividir-la en dues parts enteres iguals: una part sempre serà pàrell i l’altre senar.
Hem de fer una petita correcció com, per exemple, prescindir de l’1, perquè la suma de les cares vàlides pel joc sigui parell. Una solució possible és aquesta:
- Jugador A: mou amb 2, 3 i 5.
- Jugador B: mou amb 4 i 6.
- Si surt un 1, no es mou la fitxa.
Hi ha més solucions?