Les regletes per a multiplicar que presentem van ser inventades, cap al 1890, per Henri Genaille, un enginyer de camins francès. Són una derivació de les regletes de Napier, però que permeten una lectura directa del resultat, sense preocupar-nos de la suma final. És a dir, per a multiplicacions d’una xifra, no ens cal fer càlculs addicionals, com a les de Napier.
Després aquestes regletes es van adaptar per a poder fer divisions. Aquestes es coneixen com a Regletes de Genaille-Lucas.
| Índex | ||
| Regletes per a multiplicar | Regletes per a dividir | Practiquem |
| Regletes de Genaille per a multiplicar |
Descripció
Tenim un mínim d’11 regletes diferents:
- Un reglet guia o índex, que s’haurà de col·locar sempre.
- Un per a cada xifra del 0 al 9 que ens serviran per a construir el nombre que vulguem multiplicar.
- Si un nombre té xifres repetides ens caldran tants reglets iguals com repeticions tingui aquella xifra.
Aquestes regletes presenten diferents possibilitats per a cada producte particular, des de contemplar les que s’han sumat abans (de les que ens emportàvem del producte anterior) fins a les que ens emportem del producte actual i que se sumaran al següent.
Per exemple, observem la regleta del 3 en el cas de multiplicar per 6 (3×6 =18). A la taula del 6 el nombre màxim que ens podem emportar és el 5, ja que el producte més gran que es pot aconseguir és el 59 (de sumar 9•6 +5). Per tant, els resultats possibles en multiplicar 3×6, tenint en compte les que puguem emportar d’un producte anterior són 18, 19, 20, 21, 22 i 23. Així a la regleta trobem escrites, en aquest cas, les possibles xifres d’unitat en columna: 8, 9, 0, 1, 2 i 3 i, amb dos triangles connectats els dos primers resultats amb l’1 (una desena) i els altres amb el 2 (dues desenes), que faran augmentar el següent producte, si cal.
Funcionament
Aquestes regletes ens permeten, de forma directa, fer només multiplicacions per una sola xifra. Per multiplicar per un nombre només cal alinear les regletes corresponents a cada xifra, col·locant la regleta guia a l’esquerra.
Exemple: Per multiplicar 72638 x 8 = 581104
Podríem resumir les passes de la següent manera:
- Es col·loca la regleta guia.
- A la seva dreta es van col·locant, ordenadament, les regletes de les xifres del factor gran.
- Busquem a la guia la fila del factor petit (d’una xifra)
- Triem la xifra que està a la part superior dreta d’aquesta fila.
- Seguim el triangle fins a la xifra de la regleta anterior, a la que apunta el vèrtex.
- Continuem regleta a regleta fins a arribar a la guia.
- Anotem les xifres obtingudes d’esquerra a dreta.
- El nombre format és el resultat.
Com es construeix una regleta?
Per a construir una regleta s’han de fer els productes, un per un, del nombre de la regleta per 1, per, 2, per 3… fins a 9. A cada cas, com ja hem comentat abans, hem de tenir en compte els resultats possibles d’arrossegaments anteriors. Veiem un exemple nou. Si estem fent el cas 8×4 el resultat inicial és 32. Però quan multipliquem per 4, en general, podem obtenir resultats entre 0 i 36. És a dir, es poden arrossegar de casos anteriors 0, 1, 2 o 3 desenes. Així els resultats possibles seran 32, 33 (32+1), 34 (32+2) i 35 (32+3). Tot això ho haurem de representar separant unitats de desenes i unint-les, convenientment, amb els triangles que veiem a cada fila de les regletes.
Mirem com construir la regleta del 7 pas a pas.
| Regletes de Genaille-Lucas per a dividir |
Descripció
Les regletes per a dividir són una adaptació posterior de les de la multiplicació. Édouard Lucas encara en va fabricar unes altres de semblants per a fabricar un calendari perpetu (que ens serveix per saber en quin dia de la setmana cau qualsevol data), ja que, en el fons, és un problema de residus de divisions. Podeu veure aquest calendari en aquest mateix web. Lucas va ser l’impulsor de la proposta de la creació de les regletes de multiplicar i de dividir. És un dels motius pels quals també es coneixen com a “regletes de Genaille-Lucas”.
Com abans, el joc mínim és d’onze o dotze regletes:
- Una que fa d’ídenz o guia.
- Una per a cada xifra del zero al nou. Per a fer divisions amb xifres repetides necessitarem, com és lògic, més regletes.
- Una regleta final per als residus.
- De vegades, hi ha versions en què la regleta guia i de residus s’unifiquen en una de sola.
En comptes dels triangles que teníem amb les regletes de multiplicar, aquí trobem segments. Anar seguint aquestes línies ens ajudaran a trobar les xifres del quocient i el residu.
Funcionament
Igual que les regletes de multiplicar, aquestes només ens permeten, de forma directa, fer divisions per una sola xifra. Podem observar les passes per a resoldre una divisió amb aquest exemple: la divisió 7348 : 8 = 918 (residu 4).
Podem resumir el procediment:
- Es col·loca la regleta guia.
- A la seva dreta es van col·locant, ordenadament, les regletes de les xifres del dividend.
- A la dreta del tot, es posa la regleta de residus. (Si les regletes guia i de residus estan unificades en una de sola, s’ha de col·locar a la dreta).
- Busquem a la guia la fila del divisor.
- Triem la xifra que està a la part superior esquerra d’aquesta fila.
- Seguim el segment que surt d’aquesta xifra fins a la xifra de la regleta següent.
- Continuem regleta a regleta fins a arribar a la de residus.
- Anotem les xifres obtingudes a les regletes de les xifres del dividend d’esquerra a dreta.
- El nombre format és el quocient.
- Anotem la xifra a què s’ha arribat a la regleta de residus i que serà el de la nostra divisió.
Com es construeix una regleta?
Fer aquestes regletes és més laboriós que dissenyar les de multiplicar. Posarem un exemple de com fer la fila del 8 en la regleta del 7. En els fons, hem de fer totes les divisions possibles de nombres de dues xifres acabats en 7 (a més del mateix 7 i entre 7 i 77, ja que el producte màxim de 8 és 72). Després anotarem quocients i residus.
| Practiquem |
- En línia pots jugar amb aquests aplicatius fets per Jügen Giesen: multiplicar i dividir.
- Pots descarregar-les en pdf i retallar-les: multiplicar i dividir.
- En aquest enllaç al web Autodesk Instructables, podreu descarregar uns arxius per a impressora 3D. Només tenen el model de multiplicar.
