| Índex | ||
| Introducció | Laberints clàssics | Dissenyem laberints |
| Com sortir del laberint (o no) | L’algoritme de Trémaux | Resum |
| Descarregar en pdf | ||
| Introducció |
Quan ens parlen d’un laberint ens imaginem una intricada construcció feta de passadissos i bifurcacions constants, on el més fàcil és desorientar-se i perdre’s. De fet, els laberints més mítics sempre complien algun objectiu: la protecció d’algun tresor que es volia guardar al seu interior (com a les tombes egípcies) o convertir-lo en una mena de presó desesperant, ja que s’hi podia entrar, però, un cop dintre, semblava impossible retrobar la sortida. També se’ls hi ha donat significats místics. Ja més recentment han esdevingut un del passatemps més clàssics, en jardins o impresos en paper.
No hi ha millor manera de començar a investigar un joc que jugar-hi una mica al començament.
Segur que moltes vegades has intentat resoldre laberints com aquests dos. I que més d’una vegada els has intentat resoldre’ls començant des del final: de l’arribada cap a la sortida.
Així i tot, és fàcil observar que no és el mateix veure el laberint a “vista d’ocell” que estar-hi ficat a dins sense pistes, plànols o fils salvadors.
Laberint de Luki2009ic
| Laberints clàssics |
Llegendes
El laberint més conegut és el de Cnossos, relatiu a la llegenda de Teseu i el Minotaure:
“Minos, rei de l’illa de Creta, va fer construir un laberint per tancar al Minotaure, monstre amb cap de toro i cos d’home. Un cop acabada la construcció va tancar també al seu arquitecte, en Dèdal, i a Ícar, el fill d’aquest. Però aquests van escapar fent-se unes ales amb plomes enganxades amb cera. Ícar va desobeir el consell del seu pare i, en el seu vol, es va acostar massa al sol. A conseqüència d’això la cera es va desfer, provocant la seva caiguda i la seva mort.
El rei Minos havia imposat a la ciutat d’Atenes com a tribut per una derrota, el lliurament de set fadrins i set fadrines cada nou anys amb l’objectiu d’alimentar al Minotaure. Aquests eren enviats en un vaixell amb veles negres.
El príncep Teseu es va presentar com a voluntari amb la intenció de matar al Minotaure i acabar amb aquell tribut salvatge. Quan va arribar a Creta, Ariadna, la filla d’en Minos, es va enamorar d’en Teseu i per ajudar-lo li va proporcionar una troca de fil. El que havia de fer Teseu era entrar al laberint desfent la troca, matar el Minotaure i resseguir el fil de la troca desfeta per tornar a trobar l’entrada i escapar del laberint. Tot va sortir com ho havien pensat i ’aquesta manera va ser eliminat per sempre el monstre Minotaure. Tot i que la història de Teseu i Ariadna encara va continuar… “
Mosaic romà amb Teseu i el Minotaure
Sembla ser, però, que el famós laberint, per alguns estudiosos del tema, només era el nom del palau del rei, construït amb tant de desordre a còpia d’afegir estances i estances, que era absolutament perdedor.
Laberints i més laberints… però són laberints?
Sobre la història i el significat dels laberints no tenim massa coses segures. L’origen de la mateixa paraula no està clar. Alguns pensen que ve de la paraula Labrys amb què es coneixia la destral de doble fulla que simbolitzava Cnossos. D’altres assignen a la paraula significats com confús, marejant o intricat.
Així i tot, el tipus de figures que trobem a moltes cultures i moltes èpoques són una mena de recorreguts en espiral que recorden molt visualment als laberints, però… ho són? Mirem un exemple. No cal anar molt lluny d’on érem, continuem a Creta. Observem aquestes antigues monedes gregues.
Si caminem pel laberint observarem una cosa ben curiosa: arribarem al centre “sense remei”, no hi ha cap bifurcació. Podríem dir que és un laberint de camí únic (sense bifurcacions)
Curiosament, són molts els llocs de cultures i èpoques diferents on podem trobar laberints sense bifurcacions, alguns de ben antics. Hi ha dues variants: els que determinen unes parets per caminar entre elles (com fent un passadís) i els tracen un camí, una línia sobre la qual anar girant i regirant.
Gravat a les roques de Newgrange (Irlanda) 3500 a.n.e.
Nazca (Perú) Entre el 200 a.n.e i el 600 n.e
Murs de Jericó segons un gravat bíblic del segle XIV
Laberint renaixentista al Palau Ducal de Màntua (Itàlia)
El laberint de la Catedral de Chartres (1200 n.e.), un laberint "de passadís"
El laberint de la Catedral d'Amiens (1290 n.e.), un laberint "de camí"
Caminar per un laberint com els de les Catedrals Gòtiques franceses no és un passeig de no res. El de Chartres té gairebé uns 13 m de diàmetre i la longitud de tot el laberint és d’uns 250 m. El d’Amiens és lleugerament més curt: 234 m.
Les motivacions per fer-ho són diferents. Normalment, se’ls hi adjudica significats com que representen models de la vida (és complexa, no sabem on ens porta…). També són camins que, per alguns, conviden a la reflexió interior, a la pregària…
| Dissenyem laberints |
Dissenyem laberints cretencs
Dels laberints sense bifurcacions treballarem el disseny de dos models diferents. Primer ens enfrontarem al model cretenc.
Per dibuixar un laberint cretenc només hem de decidir prèviament de quants “circuits” el volem fer. (Podem comptar els “circuits” comptant els passadissos que es veuen des del passadís més exterior per la part superior del laberint fins a l’immediatament anterior al centre).
El mètode s’aplica partint d’un dibuix base, marcat per la quantitat de circuits, i anar unint posteriorment, i de manera ordenada, els punts i els extrems dels segments amb línies corbes. Per exemple, en el cas més senzill, el de tres circuits, el dibuix base està format per una creu i quatre punts formant un quadrat. Si el volem fer una mica més gran hem d’augmentar 4 braços més, que formaran 4 circuits nous.
Estudiar el recorregut
És interessant estudiar l’ordre numèric en què es passen els passadissos i buscar pautes per un laberint de qualsevol nombre de circuits.
Així la seqüència en un laberint cretenc d’11 circuits és: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7. Quina serà la del de 15 passadissos? I la del de 19?
Laberints gòtics
Els laberints a l’estil de les catedrals gòtiques com els dels exemples de Chartres o Amiens són un pèl més complicats de construir. Els més fàcils són els que es construeixen amb una línia sobre la qual caminar. Podem seguir un procés com aquest:
- Dibuixem una sèrie de circumferències concèntriques (que podem canviar per quadrats concèntrics, hexàgons, octògons…).
- S’esborren algunes zones (habitualment quatre)
- Es comença a “caminar” des de l’inici.
- Quan arribem a una zona esborrada la connectem amb una altra línia
- Seguim així fins a completar el circuit.
Un parell de les coses que hem de vigilar són la de no encreuar línies i procurar no quedar-nos tancats.
Observa aquest exemple:
Construïm els laberints
Construir aquest tipus de laberints amb una grandària suficient per poder caminar pot ser una activitat interessant. Els més fàcils de fer són els d’estil clàssic cretenc.
No calen grans materials: un guix sobre un terra cimentat o asfaltat, un pal sobre un sòl sorrenc…
Hi ha un mètode per a dibuixar ràpidament un laberint d’aquest tipus amb una corda i unes quantes estaques. Per al de set circuits en calen cinc i el mètode el podeu observar en aquesta presentació. Aquest laberint es pot dibuixar amb una corda i cinc estaques amb un mètode ben curiós que pots observar aquí.
Laberints amb bifurcacions
Els laberints amb bifurcacions són entretinguts de dibuixar. Per fer els més senzills podeu trobar programes per internet que en generen automàticament.
Un dels procediments més habituals consisteix a fer un rectangle sobre una quadrícula i anar esborrant línies fen un camí. Després s’afegeixen els passadissos extres esborrant noves línies.
Observa aquest exemple:
En aquest enllaç pots practicar en línia aquest sistema.
| Com sortir del laberint (o no) |
Els ratolins no es perden
Un passadís acostuma a tenir dues parets que conformen una mena de tub. Quan a casa hem de caminar per un passadís a les fosques acostumem a posar una mà a la paret i, a les palpentes, arribem al nostre destí sense problemes. Els ratolins, que acostumen a caminar enganxats a les parets. Tampoc acostumen a tenir problemes. El fet de que el passadís sigui tingui corbes, sigui “recargolat”, no varia la situació. Amb la mà a la paret o caminant com els ratolins arribarem igualment a la sortida.
Molts laberints amb bifurcacions es poden transformar en un senzill passadís. Només cal anar deformant, com si fossin de plastilina, les parets. L’única norma que no ens podem saltar és la de no fer talls que les foradin per obrir noves “portes” o camins.
Encara tenim una altra manera de mirar-ho. Si et demanem quantes parets hi ha a casa teva començaràs a repassar mentalment la seva distribució i a comptar parets. Però si t’imagines a tu mateix entrant a casa, enganxant la mà a la paret de la dreta i anar resseguint-la tota sense desenganxar-te veuràs que, segurament, després de fer tot el recorregut, acabaràs una altra vegada a l’entrada. Mirat d’aquesta manera veuràs que casa teva només té una paret. El laberint de sota, encara que no ho sembli a primera vista, només en té dues.
Així, resumint, per a trobar la sortida del laberint ens hem de limitar a posar la mà a la paret i anar-la seguint fins a arribar a la sortida. Caminar, com els ratolins, enganxats a la paret.
Amb aquest algorisme (un algoritme podria ser la llista d’instruccions per resoldre un problema concret) faràs voltes i voltes, però sempre sortiràs del laberint. Si vols tornar per un camí més curt l’únic que has de fer, si has marcat la paret cada vegada que has entrat o sortit d’un passadís, és no entrar als passadissos que tinguin dues marques perquè voldrà dir que estan tancats (has entrat i has tornat a sortir). Al laberint superior és el camí dibuixat de color groc que es veu quan acaba l’animació.
Provem de “fer el ratolí”
La dita diu que “el movimient es demostra caminant”. Així que ara intenta aplicar el mètode del ratolí en aquest laberint. No et preocupis per si veus que dones voltes innecessàries.
Laberint fet per xsimek00
Un mètode equivalent al de caminar enganxat a la paret és el següent:
- Cada vegada que arribis a una bifurcació agafa sempre la que estigui més a la dreta
- Lògicament també val triar sempre la de l’esquerra.
Hampton Court
Al laberint de Hampton Court hi ha un ratolí espavilat que ha amagat un formatge a resguard dels altres ratolins.
Si apliquem el l’algorisme que sabem que fan servir tots els ratolins potser esbrinarem on el té amagat.
El formatge estarà amagat a l’únic carrer pel qual no passem aplicant l’algoritme del ratolí. I per què no passem? Perquè, si ens hi fixem bé, té un grups de parets que estan separades de les altres, que no tenen cap punt de contacte.
El laberint d’Horta
El laberint de Hampton Court ens agafa una mica lluny. Molt més a prop tenim el Parc del Laberint d’Horta amb un magnífic laberint.
Al laberint d’Horta hi ha dos objectius. Arribar a la glorieta central (B) i sortir per la banda de l’estany.
Si provem el “mètode del ratolí” seguint la paret de la dreta arribarem a la glorieta i sortirem per l’estany. Però si seguim la paret de l’esquerra ens trobarem donant voltes repetides sense passar pel centre. Té un problema semblant al del laberint de Hampton Court. No totes les parets es toquen entre sí: hi ha parets soltes, desconnectades de les altres.
Aquests dos darrers laberints encara tenen un nivell de desconnexió petit de les parets. Què passarà si intentem aplicar el mètode del ratolí en un laberint amb un fort grau de desconnexió de les parets?
| L’algoritme de Trémaux |
Existeix un algoritme general que serveix per qualsevol laberint i que garantitza passar per tots els passadissos del laberint dues vegades (una d’anada i una altra de tornada). Es coneix com l’algoritme de Trémaux, un enginyer francès de finals del segle XIX. Amb un algoritme com aquest no se’ns escaparia el formatge de Hampton Court.
Comencem-lo a estudiar marcant algunes primeres normes i definicions:
- Cada vegada que arribem a una bifurcació hem de fer marques a la sortida del passadís que deixem i a l’entrada del passadís que agafem.
- Farem dos tipus de marques: un per la primera vegada que passem i una altra per la segona vegada (aquesta segona marca “tancarà” el passadís, ens indicarà que no l’hem de tornar a agafar)
Quan arribem a una cruïlla haurem de mirar sempre si arribem per un passadís nou (un pel qual és la primera vegada que passem) o si ho fem per una passadís transitat (un pel que ja hem passat abans una vegada i té una primera marca). Dels camins que es troben a la ctuïulla també haurem mirar si hi ha de nous, transitats (amb una marca) o són passdissos tancats (amb la segona marca de “tancar” camí; normnalment hi haurem passat dues vegades).
L’algoritme complet, observant el que s’ha de fer a cada cruïlla, esdtà explicat en la següent presentació. Veuràs que hi ha quatre situacions clau a cada cruïlla, i que, per a cada situació, tindràs una instrucció concreta a seguir. La instrucció més estranya la trobaràs marcada amb una fletxa. És a la que s’ha de parar més atenció.
Recuperem el tresor
És hora de provar el mètode passejant per un laberint.
- Has de trobar tres joies que estan repartides pel laberint. Després has de sortir.
- El laberint el tens tapat per una mena de cartolina que només té un forat. Pots moure-la clicant sobre ella. Si vols destapar el mapa clicla sobre qualsevol punt que no estigui tapat.
- Trobaràs a les entrades de cada passadís un punt verd. Indica que no has passat mai. Pitjant sobre el punt es posarà de color groc (camí transitat). Si tornes a pitjar es posarà de color vermell (camí tancat)
- Si en algun moment t’interessa destapar el laberint clicla sobre qualsevol punt que no estigui tapat. Però millor deixa-ho pel final, només per comprovar que has passat per tot el laberint (tots els punts estaran vermells).
Que tinguis sort i no et perdis pel laberint. Comprova quan acabis que has passat per tot arreu (tots els punts hauran d’estar vermells)
| Un petit resum |
Hi ha dos tipus bàsics de laberints :
- sense bifurcacions
- amb bifurcacions
Entre els laberints amb bifurcacions podem diferenciar també entre dos tipus:
- connexos (totes les parets es toquen, tenen, bàsicament, una o dues parets). Per trobar la sortida només cal caminar amb una ma enganxada a la paret o agafar sempre la bifurcació d’un mateix costat: sempre la dreta o bé sempre la de l’esquerra.
- inconnexos (hi ha parets separades). Per recórrer tots els passadissos dus vegades i trobar la sortida es pot utilitzar l’agorisme de Trémaux.
I si, per acabar, vols una versió més detallada de la llegenda del laberint aquí tens l’enllaç a una magnífica web sobre el món clàssic de Sebastià Giralt, “Labyrinthus”.