Mirem els números naturals… Si vols saber quants companys hi ha a la classe, cal que assignis el valor 1 al primer que triïs, el valor 2 al segon, i així successivament fins a obtenir el nombre total d’alumnes.

    Des de petits ens han ensenyat a comptar els anys, dits, pilotes, etc. Aquests nombres que fas servir de manera habitual per comptar reben el nom de NOMBRES NATURALS, i el conjunt que formen s’indica amb el símbol. Cada nombre natural s’obté sumant 1 al nombre que el precedeix.

    Es representen amb la lletra N  i són   N = {1, 2, 3, 4, 5,..}

    Potser us sorprèn l’absència del zero (0) en el conjunt dels nombres naturals anterior. De fet, en la majoria de les antigues civilitzacions, com la romana, per exemple, no existia cap símbol per al zero, perquè no el trobaven necessari, simplement indicaven que no hi havia cap element. Per la seva banda, els babilonis i els grecs expressaven el zero amb una posició buida.

      No va ser fins al segle VII que l’astrònom i matemàtic indi Brahmagupta va escriure una obra on apareixia per primera vegada el zero tractat com un “nombre natural” més.

Actualment, el 0 es fa servir per indicar la inexistència d’elements. Es pot dir, que el conjunt de nombres naturals és:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

1.- Sistemes de numeració:

El sistema de numeració que utilitzem actualment és el decimal. S’utilitzen deu símbols o xifres diferents (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) i es regeix per aquestes normes:

  • És un sistema posicional, cada xifra té un  valor  segons  la  seva posició dins del nombre.
  • Es defineixen ordres d’unitats: unitats, desenes, centenes…
  • Cada 10 unitats formen una unitat de l’ordre immediatament superior.
  • El valor d’una xifra depèn del lloc que ocupi (sistema de tipus posicional).

Exemple: Descompon el nombre 24.785.021

Desena de milió                   2 Unitat de milió                      4 Centenar de miler                     7 Desena de miler                          8
Unitat de miler                     5          Centena                              0              Desena                                2              Unitat                                   1
2.- Els nombres grans:

El sistema de numeració decimal permet representar quantitats tan grans com desitgem.

  • Un milió ↔  Un 1 seguit de 6 zeros.
  • Un bilió ↔  Un milió de milions ↔ Un 1 seguit de 12 zeros.
  • Un trilió   ↔  Un milió de bilions ↔  Un 1 seguit de 18 zeros

Temps de vida a l’univers, 13.800.000.000  . Tretze milers de milions vuit-cents milions.

Nombre de neurones en un cervell, 100.000.000.000 . Cent milers de milions.

Volum de la Terra en Km3 , 1.000.000.000.000 . Un bilió.

3.- Aproximació de nombres naturals:

    Quan un  nombre  té  moltes  xifres,  l’acostumem a substituir per un altre, més manejable, de valor aproximat, acabat en zeros.

    Confirmem que aproximar un nombre és substituir-lo per un altre de proper acabat en zeros.

      El  podem  obtenir per dos mètodes diferents: truncament i arrodoniment.

     3.1 Aproximació per truncament.

         Truncar  un   nombre  a  un  cert  ordre,  consisteix  a  substituir  per  zeros   les xifres dels ordres inferiors.

    Exemple:

    Aproxima 7.875.897 per truncament a unitats de centena => 7.875.800

    Substituïm per zeros les xifres a partir de les unitats de centena.

    Aproxima 89.675 per truncament a les desenes de miler => 80.000

    Substituïm per zeros les xifres a partir de les desenes de miler.

 3.2 Aproximació per arrodoniment.

     Per   arrodonir  un  nombre  a  un  cert  ordre,  ens  fixem en la xifra  de  l’ordre següent:

  • Si és més gran o igual que 5, sumem una unitat a la xifra que volem

arrodonir i trunquem la resta (el resta de números són zeros).

  • Si és més petita que 5, mantenim la xifra com està i truquem la resta.

Exemple:

Aproxima 5.178.463 per arrodoniment a les unitats  de miler i a les centenes de miler.

Unitats de miler: 5.178.463  (“4” < “5”) arrodoniment = 5.178.000

Centenes de miler:  5.178.463  (“7” > “5”) arrodoniment = 5.200.000

4.- Operacions bàsiques amb nombres naturals:

4.1 Propietats de la suma i de la multiplicació:

             La suma i les seves propietats.

             La  propietat  commutativa: El  resultat de la suma  no  varia  encara que canviem l’ordre dels sumands.

                                                   a + b = b + a

               Imaginem   la   següent situació, l’Anna  i  la  Cristina  han reunit tots els seus jocs d’ordinador. L’Anna en té 15 i la Cristina 8. En  el  moment  de  sumar-los,  l’una  ha escrit  15 + 8 i l’altre  8 + 15, però han vist que els resultats coincidien.

              Direm que la suma  és  commutativa,  ja  que  l’ordre  de  sumands  no  n’altera  el resultat.

            Exemple: 15 + 8 = 8 + 15

          La  propietat  associativa:  El  resultat  de  la suma és independent de la forma com s’agrupin els sumands.

                                                  (a + b) + c = a + (b + c)

         En una taula hi ha 5 boles blanques, 7 de negres i 9  de  vermelles,  i  en  Joan  vol saber quantes boles hi ha en total. Primer ha agrupat les blanques i les  negres, que fan  12,  i  després  hi  ha  sumat  les  vermelles.  D’aquesta  manera  ha obtingut un resultat de 21 boles. Què passaria si sumés al nombre de boles  blanques  la  suma de les negres i de les vermelles?. Doncs el resultat total serà el mateix de 21 boles.

        La  suma  és  associativa, perquè, quan té més de  dos  sumands, la manera d’agrupar-los no n’altera el resultat.

           Exemple:   (5 + 7) + 9 = 12 + 9 = 21

                                    5 + (7 + 9) = 5 + 16 = 21

          L’element neutre:  És  aquell  nombre  que, sumat  a  un  altre, no  n’altera.  Per tant, l’element neutre és zero, perquè si sumem zero a qualsevol nombre, obtenim  el mateix nombre.

             Exemple: 347 + 0 = 347

           La resta i les seves relacions amb la suma. Restar és treure, suprimir, trobar que falta o el que sobra; és a dir, calcular la diferència.

               Exemple: 590 – 566 = 24   .

590 ⇒ Minuend (M)

 –  566   Subtrahend (S)

24  ⇒ Diferència (D)

 

Relacions entre la suma i la resta: M – S = D  ⇒  M = S + D  ;  S = M – D

         La multiplicació i les seves propietats.

       Multiplicar és   una  manera  abreujada  de  fer  una  suma  repetida  de  sumands iguals.

                             15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 90      ;      15 · 6 = 90

          Si  vols  comprar  12  entrades  per  anar  al  cinema  amb  els   teus   amics.  Com calcularies el que has de pagar, si cada entrada val 8 euros?.

          Tens dues maneres de fer-ho: o bé sumar 12 vegades els 6 euros que costa  cada entrada, o bé multiplicar 8 per 12.

               8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8 = 96      ;     8 · 12 = 96

         El resultat és el  mateix  en  tots  dos  casos.  Podem  dir,  que  la multiplicació és l’operació de sumar el multiplicand tantes vegades com indica el multiplicador.

           La multiplicació compleix les propietats següents:

           Propietat commutativa: El producte no varia en canviar l’ordre dels factors.

                                                        a · b = b · a

            Propietat associativa: El resultat  d’una  multiplicació  és  independent  de  la  forma com s’agrupen els factors.

(a · b) · c = a · (b · c)

Propietat distributiva: El producte d’un nombre per  una  suma (o resta) és igual a la suma (o resta) dels productes del nombre per cada sumand.

a · (b + c) = a · b + a · c        ;        a · (b – c) = a · b – a · c

4.2 Propietats de la resta i de la divisió.

         Propietats de la resta.

            Una noia té  10  xiclets  i  vol  donar-ne un  a  cadascuna  de  les  seves  7  amigues. Quants xiclets li sobraran?. Si fa la  resta  10 – 7, veuràs  que  li  sobraran  3  xiclets.  Si arriben 5 amigues més, tindrà prou xiclets per a totes?.

            Com encara té 3 xiclets, només cal resoldre la resta 3 – 5. Però no hi ha cap nombre natural que sigui solució d’aquesta operació, ja que el minuend mai no pot ser més petit que el subtrahend.

            Així ja podem veure que les propietats estudiades per la suma no es compleixen per la resta:

           Propietat commutativa: 12 – 5 ¹  5 – 12                        (5  – 12 no es pot fer)

           Propietat associativa: (10 – 5) – 6 ¹ 10 – (5 – 6)        (10–(5–6) no es pot fer)

     Propietats de la divisió.

          Dividir  és  repartir un  tot  en  parts iguals per esbrinar quantes en  toquen a cada un. Dividir  també és partir un  tot  en  porcions  iguals  d’una  determinada mida per esbrinar quantes porcions s’obtenen.

          Una divisió pot ser exacta o entera depenent del valor del residu.

          Imagina’t que una àvia vol repartir 12 caramels  entre  els  seus  4 nets. N’ha  donat 3 a cadascú  i  no  n’ha  sobrat  cap. En  aquest  cas  diem  que  la  divisió  és  exacta i es compleix que:

                                             dividend = divisor · quocient

         Un altre dia, l’àvia vol repartir 13 galetes entre els seus 4 nets. N’ha donat 3 a cadascú però n’ha sobrat una. En aquest cas diem que la divisió és entera i es compleix que:

                                            dividend = divisor · quocient + residu

         Una divisió exacta és aquella que té residu zero. Una divisió entera  és  la que té un residu diferent de zero.

5.- Operacions combinades:

      Sovint   has   de  fer   operacions  diferents   en   un  mateix  càlcul.  Aleshores  parlem d’operació combinada, com la següent:

                                            6 · 5 + 3

      Quin és l’ordre d’operacions que haurem de fer?, primer multiplicar o sumar?. Per evitar confusions hi ha uns criteris de prioritat de les operacions, que has de conèixer.

        Ordre  en  què  s’han  de  fer  les  operacions. En  operacions  combinades  hem  de resoldre primer, els parèntesis; després, les multiplicacions i les divisions, i  finalment,  les sumes i les restes.

         En  cas  d’expressions   més   complicades,  com  la  següent,  cal   operar  primer  els parèntesis interiors i després els exteriors:

             (5 + 4 · (8 – 3)  –2) + 10  =  (5 + 4 · 5 – 2) + 10  =  23 + 10  =  33

        En resum, per resoldre correctament una operació combinada  has  de  seguir  aquests passos:

  • Primer resol les operacions de dins del parèntesis, començant pels interiors.
  • Fes les multiplicacions i les divisions, començant per l’esquerra.
  • Finalment resol les sumes i les restes, començant per l’esquerra.
6.- Potències de nombres naturals:

     Si haguessis  de  multiplicar  el  mateix  nombre  moltes  vegades, podries utilitzar una operació anomenada potenciació, que s’indica mitjançant una potència.

          Una  potència  és  l’expressió  matemàtica  abreujada  d’una multiplicació de nombres iguals.  El  nombre  que es repeteix  s’anomena  base,  i  el nombre  de vegades que es repeteix, exponent.

      Exemple:

      25 =  2 · 2 · 2 · 2 · 2  = 32  (es llegeix “dos elevat a cinc”)

      34 =  3 · 3 · 3 · 3 = 81        (es llegeix  “tres elevat a quatre”)

   Hi ha dos casos que reben “noms específics”:  La  potència d’exponent 2, anomenada quadrat, i la potència d’exponent 3, anomenada cub.

      Exemple:

      72 =  7 · 7  = 49           (es llegeix “set al quadrat” o “set elevat a dos”)

      53 =  5 · 5 · 5 = 125     (es llegeix  “cinc al cub” o “cinc elevat a tres”)

      Les potències d’exponent 0 sempre donen 1. Per exemple 30 = 1.

7.- Potències de base 10. Descomposició polinòmica d’un nombre:
  1. Potències de base 10. Descomposició polinòmica d’un nombre.

      Per representar de manera abreujada nombres molts  grans, com  la  distància  de  la Terra al Sol, s’utilitzen les potències de base 10:

102 10 · 10 = 100
103 10 · 10 · 10 = 1000
104 10 · 10 · 10 · 10 = 10000
105 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100000
106 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1000000

Una potència de base 10 és igual  a  la  unitats  seguida  de  tants  zeros  com  indica l’exponent.

109 = 1.000.000.000  ( 9 zeros)                          105 = 100.000 ( 5 zeros)

Qualsevol   nombre  acabat  en  més  d’un zero es pot escriure com una multiplicació en què intervé una potència  de base 10. D’aquesta manera podem expressar nombres tan grans com per exemple:

  • Distància de la Terra al Sol: 150 milions de quilòmetres = 150000000 Km = 15 · 10000000 km = 15 · 107 km

   Descomposició polinòmica d’un nombre.

  Es tracta d’expressar un nombre com una suma de nombres naturals multiplicats per potències de base 10.

       Exemple:

       836279   =   800.000  +  30.000  + 6.000  + 200    + 70     +   9

                                     8·105      +  3·105    +  6·103  + 2·102 + 7·10 + 9

8.- Operacions amb potències:

8.1 Producte i quocient de potències amb  la mateixa base.

    Producte de potències amb la mateixa base. Per multiplicar dues potències  amb la mateixa base, es deixa la base i se’n sumen els exponents.

am · an = am+n        ;        73 · 72 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 =  73+2 = 75 = 16807

     Quocient de potències amb la  mateixa  base.  Per  dividir  dues  potències  de  la mateixa base, es deixa la base i es resten els exponents.

am : an = am-n        ;        45 : 43 =   45-3 = 42 = 16

8.2 Potències d’exponent 1 i 0.

    Les potències d’exponent 1 sempre donen el mateix  número que  la  base.  Per exemple 241 = 24   ;   1751 = 175   ;   81 = 8

     Les potències d’exponent 0 sempre donen 1. Per exemple 360 = 1 ; 2840 = 1

8.3 Potència d’una potència.

      Potències d’una altra potència, elevem una potència a  una  altra  potència,  es deixa la mateixa base i es multipliquen els exponents.

(an)m = an·m   ;   (54)3 = 54·3 = 512 = 244140625

8.4 Producte i quocient de potències amb el mateix exponent.

     Producte de potències amb el mateix exponent. La potència  d’un  producte  és igual al producte de les potències dels factors.

                (a · b)n = an · bn      ;       (2 · 3)4 = 64 = 6 · 6 · 6 · 6 = 1296

          24 · 34  = (2 · 2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3 · 3) = 16 · 81 = 1296

                                      (2 · 3)4 = 24· 34

        Quocient de potències amb el mateix exponent. La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor.

                  (a : b)n = an : bn      ;       (6 : 3)4 = 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

                 64 : 34  = (6 · 6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3 · 3) = 1296 : 81 = 16

                                         (6 : 3)4 = 64 : 34

         No hem de confondre la potència d’una suma o d’una resta que no és igual  a

la suma de les potències dels sumands.

                           (a + b)n ≠ an + bn       ;     (2 + 3)4 ≠ 24 + 34    ;    (2 + 3)4 = 54 = 625

                                    (a – b)n ≠ an – bn

9.- Arrel quadrada:

9.1 Arrel quadrada exacta.

     Acabes de veure que calcular el quadrat  d’un nombre  és  multiplicar-lo  per  ell mateix. Però, com faries l’operació inversa, és  a dir, trobar un nombre a partit del seu quadrat?. Per resoldre-ho, cal fer l’arrel quadrada.

      L’arrel quadrada d’un nombre,  anomenat   radicand, és  un  altre  nombre  que elevat al quadrat dona el primer.

    Per exemple, l’arrel quadrada de 25  és 5, ja  que 52 = 25.  Per indicar-ho d’una forma abreujada utilitzem el  símbol    i a sota hi  escrivim  el  nombre  del  qual volem calcular l’arrel:  √25 = 5.

       Exemples:

72 = √49   = 7.   L’arrel quadrada de 49 és 7.

112 = √121   = 11.   L’arrel quadrada de 121 és 11.

132 = √169   = 13.   L’arrel quadrada de 169 és 13.

    Fixa’t  que,  fins  ara,   hem  vist  les  arrels  quadrades  exactes, ja  que  elsnombres 25, 49, 121 i 169  resulten d’elevar al quadrat un  altre  nombre. És   per això que s’anomenen  quadrats perfectes. Però, es pot calcular l’arrel quadrada d’un nombre que no sigui quadrat perfecte?.

9.2 Arrel quadrada entera.

    L’arrel  de  la  majoria  de  nombres  no  coincideix  amb  una  quantitat  exacta d’unitats   senceres.  En  aquest  cas,  el  nombre   natural  que  més  s’aproxima, per sota, a l’arrel, l’anomenem arrel entera.

    Per  exemple, imagina’t  que  vols calcular √75  (no és arrel quadrada perfecte). Per fer-ho, cal veure entre quins  dos quadrats perfectes es troba el nombre 75:

√64 <√75 <√81     ⇒     √82 < √75 < √92     ⇒      8 <√75  < 9

   El nombre que  s’aproxima per sota és el 8,  aleshores  direm  que  8  és  l’arrel quadrada entera de 75.

   Càlcul de l’arrel quadrada per tempteig. Es tracta de trobar el nombre natural el quadrat del qual és igual o s’aproxima més al radicand.

   Per exemple, √3900 = 62  ⇒      602 = 3600  <  3900

                                                                       612 = 3721  <  3900

                                                                       622 = 3844  <  3900

                                                                       632 = 3969  >  3900

   L’arrel entera de 3900 és 62.

   Si vols saber amb més exactitud el resultat d’una arrel com l’anterior, pots recórrer a la calculadora i  obtindrem  el  resultat  en  decimals.  Per  calcular √3900 i s’obté el resultat 62,4499798.

   L’arrel quadrada de 75, √75 , el resultat amb claculadora és de 8,66025403.

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas_cat/1quincena1/index1_1.htm