Mirem els números naturals… Si vols saber quants companys hi ha a la classe, cal que assignis el valor 1 al primer que triïs, el valor 2 al segon, i així successivament fins a obtenir el nombre total d’alumnes.
Des de petits ens han ensenyat a comptar els anys, dits, pilotes, etc. Aquests nombres que fas servir de manera habitual per comptar reben el nom de NOMBRES NATURALS, i el conjunt que formen s’indica amb el símbol. Cada nombre natural s’obté sumant 1 al nombre que el precedeix.
Es representen amb la lletra N i són N = {1, 2, 3, 4, 5,..}
Potser us sorprèn l’absència del zero (0) en el conjunt dels nombres naturals anterior. De fet, en la majoria de les antigues civilitzacions, com la romana, per exemple, no existia cap símbol per al zero, perquè no el trobaven necessari, simplement indicaven que no hi havia cap element. Per la seva banda, els babilonis i els grecs expressaven el zero amb una posició buida.
No va ser fins al segle VII que l’astrònom i matemàtic indi Brahmagupta va escriure una obra on apareixia per primera vegada el zero tractat com un “nombre natural” més.
Actualment, el 0 es fa servir per indicar la inexistència d’elements. Es pot dir, que el conjunt de nombres naturals és:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
1.- Sistemes de numeració:
El sistema de numeració que utilitzem actualment és el decimal. S’utilitzen deu símbols o xifres diferents (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) i es regeix per aquestes normes:
- És un sistema posicional, cada xifra té un valor segons la seva posició dins del nombre.
- Es defineixen ordres d’unitats: unitats, desenes, centenes…
- Cada 10 unitats formen una unitat de l’ordre immediatament superior.
- El valor d’una xifra depèn del lloc que ocupi (sistema de tipus posicional).
Exemple: Descompon el nombre 24.785.021
| Desena de milió 2 | Unitat de milió 4 | Centenar de miler 7 | Desena de miler 8 |
| Unitat de miler 5 | Centena 0 | Desena 2 | Unitat 1 |
2.- Els nombres grans:
El sistema de numeració decimal permet representar quantitats tan grans com desitgem.
- Un milió ↔ Un 1 seguit de 6 zeros.
- Un bilió ↔ Un milió de milions ↔ Un 1 seguit de 12 zeros.
- Un trilió ↔ Un milió de bilions ↔ Un 1 seguit de 18 zeros
Temps de vida a l’univers, 13.800.000.000 . Tretze milers de milions vuit-cents milions.
Nombre de neurones en un cervell, 100.000.000.000 . Cent milers de milions.
Volum de la Terra en Km3 , 1.000.000.000.000 . Un bilió.
3.- Aproximació de nombres naturals:
Quan un nombre té moltes xifres, l’acostumem a substituir per un altre, més manejable, de valor aproximat, acabat en zeros.
Confirmem que aproximar un nombre és substituir-lo per un altre de proper acabat en zeros.
El podem obtenir per dos mètodes diferents: truncament i arrodoniment.
3.1 Aproximació per truncament.
Truncar un nombre a un cert ordre, consisteix a substituir per zeros les xifres dels ordres inferiors.
Exemple:
Aproxima 7.875.897 per truncament a unitats de centena => 7.875.800
Substituïm per zeros les xifres a partir de les unitats de centena.
Aproxima 89.675 per truncament a les desenes de miler => 80.000
Substituïm per zeros les xifres a partir de les desenes de miler.
3.2 Aproximació per arrodoniment.
Per arrodonir un nombre a un cert ordre, ens fixem en la xifra de l’ordre següent:
- Si és més gran o igual que 5, sumem una unitat a la xifra que volem
arrodonir i trunquem la resta (el resta de números són zeros).
- Si és més petita que 5, mantenim la xifra com està i truquem la resta.
Exemple:
Aproxima 5.178.463 per arrodoniment a les unitats de miler i a les centenes de miler.
Unitats de miler: 5.178.463 (“4” < “5”) arrodoniment = 5.178.000
Centenes de miler: 5.178.463 (“7” > “5”) arrodoniment = 5.200.000
4.- Operacions bàsiques amb nombres naturals:
4.1 Propietats de la suma i de la multiplicació:
La suma i les seves propietats.
La propietat commutativa: El resultat de la suma no varia encara que canviem l’ordre dels sumands.
a + b = b + a
Imaginem la següent situació, l’Anna i la Cristina han reunit tots els seus jocs d’ordinador. L’Anna en té 15 i la Cristina 8. En el moment de sumar-los, l’una ha escrit 15 + 8 i l’altre 8 + 15, però han vist que els resultats coincidien.
Direm que la suma és commutativa, ja que l’ordre de sumands no n’altera el resultat.
Exemple: 15 + 8 = 8 + 15
La propietat associativa: El resultat de la suma és independent de la forma com s’agrupin els sumands.
(a + b) + c = a + (b + c)
En una taula hi ha 5 boles blanques, 7 de negres i 9 de vermelles, i en Joan vol saber quantes boles hi ha en total. Primer ha agrupat les blanques i les negres, que fan 12, i després hi ha sumat les vermelles. D’aquesta manera ha obtingut un resultat de 21 boles. Què passaria si sumés al nombre de boles blanques la suma de les negres i de les vermelles?. Doncs el resultat total serà el mateix de 21 boles.
La suma és associativa, perquè, quan té més de dos sumands, la manera d’agrupar-los no n’altera el resultat.
Exemple: (5 + 7) + 9 = 12 + 9 = 21
5 + (7 + 9) = 5 + 16 = 21
L’element neutre: És aquell nombre que, sumat a un altre, no n’altera. Per tant, l’element neutre és zero, perquè si sumem zero a qualsevol nombre, obtenim el mateix nombre.
Exemple: 347 + 0 = 347
La resta i les seves relacions amb la suma. Restar és treure, suprimir, trobar que falta o el que sobra; és a dir, calcular la diferència.
Exemple: 590 – 566 = 24 .
590 ⇒ Minuend (M)
– 566 ⇒ Subtrahend (S)
24 ⇒ Diferència (D)
Relacions entre la suma i la resta: M – S = D ⇒ M = S + D ; S = M – D
La multiplicació i les seves propietats.
Multiplicar és una manera abreujada de fer una suma repetida de sumands iguals.
15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 90 ; 15 · 6 = 90
Si vols comprar 12 entrades per anar al cinema amb els teus amics. Com calcularies el que has de pagar, si cada entrada val 8 euros?.
Tens dues maneres de fer-ho: o bé sumar 12 vegades els 6 euros que costa cada entrada, o bé multiplicar 8 per 12.
8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8 = 96 ; 8 · 12 = 96
El resultat és el mateix en tots dos casos. Podem dir, que la multiplicació és l’operació de sumar el multiplicand tantes vegades com indica el multiplicador.
La multiplicació compleix les propietats següents:
Propietat commutativa: El producte no varia en canviar l’ordre dels factors.
a · b = b · a
Propietat associativa: El resultat d’una multiplicació és independent de la forma com s’agrupen els factors.
(a · b) · c = a · (b · c)
Propietat distributiva: El producte d’un nombre per una suma (o resta) és igual a la suma (o resta) dels productes del nombre per cada sumand.
a · (b + c) = a · b + a · c ; a · (b – c) = a · b – a · c
4.2 Propietats de la resta i de la divisió.
Propietats de la resta.
Una noia té 10 xiclets i vol donar-ne un a cadascuna de les seves 7 amigues. Quants xiclets li sobraran?. Si fa la resta 10 – 7, veuràs que li sobraran 3 xiclets. Si arriben 5 amigues més, tindrà prou xiclets per a totes?.
Com encara té 3 xiclets, només cal resoldre la resta 3 – 5. Però no hi ha cap nombre natural que sigui solució d’aquesta operació, ja que el minuend mai no pot ser més petit que el subtrahend.
Així ja podem veure que les propietats estudiades per la suma no es compleixen per la resta:
Propietat commutativa: 12 – 5 ¹ 5 – 12 (5 – 12 no es pot fer)
Propietat associativa: (10 – 5) – 6 ¹ 10 – (5 – 6) (10–(5–6) no es pot fer)
Propietats de la divisió.
Dividir és repartir un tot en parts iguals per esbrinar quantes en toquen a cada un. Dividir també és partir un tot en porcions iguals d’una determinada mida per esbrinar quantes porcions s’obtenen.
Una divisió pot ser exacta o entera depenent del valor del residu.
Imagina’t que una àvia vol repartir 12 caramels entre els seus 4 nets. N’ha donat 3 a cadascú i no n’ha sobrat cap. En aquest cas diem que la divisió és exacta i es compleix que:
dividend = divisor · quocient
Un altre dia, l’àvia vol repartir 13 galetes entre els seus 4 nets. N’ha donat 3 a cadascú però n’ha sobrat una. En aquest cas diem que la divisió és entera i es compleix que:
dividend = divisor · quocient + residu
Una divisió exacta és aquella que té residu zero. Una divisió entera és la que té un residu diferent de zero.
5.- Operacions combinades:
Sovint has de fer operacions diferents en un mateix càlcul. Aleshores parlem d’operació combinada, com la següent:
6 · 5 + 3
Quin és l’ordre d’operacions que haurem de fer?, primer multiplicar o sumar?. Per evitar confusions hi ha uns criteris de prioritat de les operacions, que has de conèixer.
Ordre en què s’han de fer les operacions. En operacions combinades hem de resoldre primer, els parèntesis; després, les multiplicacions i les divisions, i finalment, les sumes i les restes.
En cas d’expressions més complicades, com la següent, cal operar primer els parèntesis interiors i després els exteriors:
(5 + 4 · (8 – 3) –2) + 10 = (5 + 4 · 5 – 2) + 10 = 23 + 10 = 33
En resum, per resoldre correctament una operació combinada has de seguir aquests passos:
- Primer resol les operacions de dins del parèntesis, començant pels interiors.
- Fes les multiplicacions i les divisions, començant per l’esquerra.
- Finalment resol les sumes i les restes, començant per l’esquerra.
6.- Potències de nombres naturals:
Si haguessis de multiplicar el mateix nombre moltes vegades, podries utilitzar una operació anomenada potenciació, que s’indica mitjançant una potència.
Una potència és l’expressió matemàtica abreujada d’una multiplicació de nombres iguals. El nombre que es repeteix s’anomena base, i el nombre de vegades que es repeteix, exponent.
Exemple:
25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 (es llegeix “dos elevat a cinc”)
34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 (es llegeix “tres elevat a quatre”)
Hi ha dos casos que reben “noms específics”: La potència d’exponent 2, anomenada quadrat, i la potència d’exponent 3, anomenada cub.
Exemple:
72 = 7 · 7 = 49 (es llegeix “set al quadrat” o “set elevat a dos”)
53 = 5 · 5 · 5 = 125 (es llegeix “cinc al cub” o “cinc elevat a tres”)
Les potències d’exponent 0 sempre donen 1. Per exemple 30 = 1.
7.- Potències de base 10. Descomposició polinòmica d’un nombre:
- Potències de base 10. Descomposició polinòmica d’un nombre.
Per representar de manera abreujada nombres molts grans, com la distància de la Terra al Sol, s’utilitzen les potències de base 10:
| 102 | 10 · 10 = 100 |
| 103 | 10 · 10 · 10 = 1000 |
| 104 | 10 · 10 · 10 · 10 = 10000 |
| 105 | 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100000 |
| 106 | 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1000000 |
Una potència de base 10 és igual a la unitats seguida de tants zeros com indica l’exponent.
109 = 1.000.000.000 ( 9 zeros) 105 = 100.000 ( 5 zeros)
Qualsevol nombre acabat en més d’un zero es pot escriure com una multiplicació en què intervé una potència de base 10. D’aquesta manera podem expressar nombres tan grans com per exemple:
- Distància de la Terra al Sol: 150 milions de quilòmetres = 150000000 Km = 15 · 10000000 km = 15 · 107 km
Descomposició polinòmica d’un nombre.
Es tracta d’expressar un nombre com una suma de nombres naturals multiplicats per potències de base 10.
Exemple:
836279 = 800.000 + 30.000 + 6.000 + 200 + 70 + 9
8·105 + 3·105 + 6·103 + 2·102 + 7·10 + 9
8.- Operacions amb potències:
8.1 Producte i quocient de potències amb la mateixa base.
Producte de potències amb la mateixa base. Per multiplicar dues potències amb la mateixa base, es deixa la base i se’n sumen els exponents.
am · an = am+n ; 73 · 72 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 73+2 = 75 = 16807
Quocient de potències amb la mateixa base. Per dividir dues potències de la mateixa base, es deixa la base i es resten els exponents.
am : an = am-n ; 45 : 43 = 45-3 = 42 = 16
8.2 Potències d’exponent 1 i 0.
Les potències d’exponent 1 sempre donen el mateix número que la base. Per exemple 241 = 24 ; 1751 = 175 ; 81 = 8
Les potències d’exponent 0 sempre donen 1. Per exemple 360 = 1 ; 2840 = 1
8.3 Potència d’una potència.
Potències d’una altra potència, elevem una potència a una altra potència, es deixa la mateixa base i es multipliquen els exponents.
(an)m = an·m ; (54)3 = 54·3 = 512 = 244140625
8.4 Producte i quocient de potències amb el mateix exponent.
Producte de potències amb el mateix exponent. La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors.
(a · b)n = an · bn ; (2 · 3)4 = 64 = 6 · 6 · 6 · 6 = 1296
24 · 34 = (2 · 2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3 · 3) = 16 · 81 = 1296
(2 · 3)4 = 24· 34
Quocient de potències amb el mateix exponent. La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor.
(a : b)n = an : bn ; (6 : 3)4 = 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
64 : 34 = (6 · 6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3 · 3) = 1296 : 81 = 16
(6 : 3)4 = 64 : 34
No hem de confondre la potència d’una suma o d’una resta que no és igual a
la suma de les potències dels sumands.
(a + b)n ≠ an + bn ; (2 + 3)4 ≠ 24 + 34 ; (2 + 3)4 = 54 = 625
(a – b)n ≠ an – bn
9.- Arrel quadrada:
9.1 Arrel quadrada exacta.
Acabes de veure que calcular el quadrat d’un nombre és multiplicar-lo per ell mateix. Però, com faries l’operació inversa, és a dir, trobar un nombre a partit del seu quadrat?. Per resoldre-ho, cal fer l’arrel quadrada.
L’arrel quadrada d’un nombre, anomenat radicand, és un altre nombre que elevat al quadrat dona el primer.
Per exemple, l’arrel quadrada de 25 és 5, ja que 52 = 25. Per indicar-ho d’una forma abreujada utilitzem el símbol i a sota hi escrivim el nombre del qual volem calcular l’arrel: √25 = 5.
Exemples:
72 = √49 = 7. L’arrel quadrada de 49 és 7.
112 = √121 = 11. L’arrel quadrada de 121 és 11.
132 = √169 = 13. L’arrel quadrada de 169 és 13.
Fixa’t que, fins ara, hem vist les arrels quadrades exactes, ja que elsnombres 25, 49, 121 i 169 resulten d’elevar al quadrat un altre nombre. És per això que s’anomenen quadrats perfectes. Però, es pot calcular l’arrel quadrada d’un nombre que no sigui quadrat perfecte?.
9.2 Arrel quadrada entera.
L’arrel de la majoria de nombres no coincideix amb una quantitat exacta d’unitats senceres. En aquest cas, el nombre natural que més s’aproxima, per sota, a l’arrel, l’anomenem arrel entera.
Per exemple, imagina’t que vols calcular √75 (no és arrel quadrada perfecte). Per fer-ho, cal veure entre quins dos quadrats perfectes es troba el nombre 75:
√64 <√75 <√81 ⇒ √82 < √75 < √92 ⇒ 8 <√75 < 9
El nombre que s’aproxima per sota és el 8, aleshores direm que 8 és l’arrel quadrada entera de 75.
Càlcul de l’arrel quadrada per tempteig. Es tracta de trobar el nombre natural el quadrat del qual és igual o s’aproxima més al radicand.
Per exemple, √3900 = 62 ⇒ 602 = 3600 < 3900
612 = 3721 < 3900
622 = 3844 < 3900
632 = 3969 > 3900
L’arrel entera de 3900 és 62.
Si vols saber amb més exactitud el resultat d’una arrel com l’anterior, pots recórrer a la calculadora i obtindrem el resultat en decimals. Per calcular √3900 i s’obté el resultat 62,4499798.
L’arrel quadrada de 75, √75 , el resultat amb claculadora és de 8,66025403.
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas_cat/1quincena1/index1_1.htm
Deixa un comentari