1.- Nombres enters:

   Hi ha situacions de la vida quotidiana que no poden expressar-se solament amb nombres naturals. Usem un altre tipus de nombres, els nombres enters.

   Si la quantitat expressada per un nombre enter està per sota de zero, o a l’esquerra de la recta numèrica dels nombres enters, el nombre enter estarà precedit d’un signe “menys”, aquests són els nombres negatius.

    Així doncs, el conjunt de nombres enters que el designem amb la lletra Z, està format pels nombres enters positius , el nombre zero i els nombres enters negatius.

Z = { …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,… }

    Amb els nombres negatius podem expressar quantitats que amb els nombres naturals ens era impossible. Per exemple “vuit graus sota zero” , el podem escriure com -8 º C, o per expressar “quinze metres sota el nivell del mar”, ho farem mitjançant -15 m.

1.1 Representació en la recta numèrica.

Els nombres enters es representen ordenats en la recta numèrica de la següent forma:

– El nombre zero, 0, divideix la recta en dos parts iguals.

– Fixem el nombre 1 a la dreta del zero i l’escollim com unitat seva distància al zero.

– Desplacem aquesta unitat a la dreta del zero, per representar el nombres enters positius, i a l’esquerra del zero, per representar els nombres negatius.

1.2 Valor absolut d’un nombre enter. 

     El valor absolut d’un nombre enter és la distància, en unitats, que el separa del zero en la recta numèrica. La manera de representar el valor absolut és mitjançant dues barres I I . Com la 2 distància sempre és positiva, el valor absolut d’un nombre positiu serà el mateix nombre; i el valor absolut d’un nombre negatiu serà el mateix nombre i sempre amb signe positiu.

     El valor absolut de zero, I0I = 0 , perquè la distància del zero al zero és de zero unitats.

     Exemples de valor absolut: I-7I = 7 ; I65I = 65 . La distància del – 7 a zero és de 7 unitats i la distància del 65 a zero és de 65 unitats.

1.3 Oposat d’un nombre enter.

    Diem que dos nombre enters són oposats quan estan situats a la mateixa distància del zero. Així, l’oposat d’un nombre enter a és -a, i viceversa. A més de “menys a”, -a també es llegeix “oposat de a”.

2.- Comparació de nombres enters:

– Qualsevol nombre enter positiu és més gran que qualsevol nombre enter negatiu.

– De dos nombres enters positius, és més gran el que te més gran el valor absolut.

– De dos nombres enters negatius és més gran el que té menor valor absolut.

En general, un nombre és menor que l’altre si el primer està situat a l’esquerra del segon en la recta numèrica. Per comparar nombres enters farem servir els símbols “menor que” (<) i “major que” (>).

Com exemples tenim: 4<7 (4 és menor que 7) ; 5>2 (5 és més gran que 2) ; 0>-8 (0 és més gran que -8) ; -15<0 (-15 és menor que 0).

3.- Com es sumen i es resten els nombres enters?

Ens serà més fàcil explicar-ho amb exemples.

Exemple 1:

8 + 3 – 7 + 5 – 4

a) Sumem els nombres positius: 8 + 3 + 5 = 16

b) Sumem els nombres negatius: 7 + 4 = 11

c) Llavors restem: 16 – 11 = 5 (observem que el resultat és en aquest cas positiu).

Exemple 2:

-6 + 5 – 4 + 8 -9

a) Sumem els nombres positius: 5 + 8 = 13

b) Sumem els nombres negatius: 6 + 4 + 9 = 19

c) Llavors fem la resta: 13 – 19 = -6 (Observem que el resultat ara és negatiu perquè el 19 és més gran que 13)

 

A mesura que aneu practicant podreu fer-ho en una sola línia.

8 + 3 – 7 + 5 – 4 = 16 – 11 = 5

-6 + 5 -4 +8 -9 = 13 – 19 = -6

L’altre mètode a seguir és sumes i restes pas a pas; fent les operacions sempre d’esquerra a dreta:

8 + 3 – 7 + 5 – 4 # 8 + 3 = 11

11 – 7 + 5 – 4 # 11 – 7 = 4

4 + 5 – 4 # 4 + 5 = 9

9 – 4 # 9 – 4 = 5

– 6 + 5 – 4 + 8 – 9 # – 6 + 5 = -1

-1 – 4 + 8 – 9 # -1 – 4 = -5

-5 + 8 – 9 # -5 + 8 = 3

3 – 9 # 3 – 9 = -6

   Escull la manera que més t’agradi, el resultat és el mateix i és el correcte!!

3.1 Si hi ha parèntesis?.

   Primer haurem de fer l’operació que hi ha dins del parèntesis i després veurem si davant del parèntesis ens trobem amb un signe “+” o un signe “-”.

Exemple 3:

9 – (2 – 7 + 3) + (-2 + 6) =

9 – (-2) + (4) =

9 + 2 + 4 = 15

El signe “-” davant del parèntesis fa canviar de signe el resultat del parèntesis. I el signe “+” davant el parèntesis no suposa cap canvi

Exemple 4:

12 + (8 – 15) – (5 + 8) =

12 + (-7) – (13) =

12 – 7 – 13 = – 8

El signe “-” davant del parèntesis fa canviar de signe el resultat del parèntesis. I el signe “+” davant el parèntesis no suposa cap canvi.

    Veiem un nou exemple utilitzant claudàtor i el parèntesis dins.

Exemple 5:

[10 – (14 – 21)] – [5-(17 – 11+6)] =

[10-(-7)] – [5-(23 – 11)] =

[10 + 7] – [5 – 12] =

17 – [-7] =

17 + 7 = 24

 

4.- Com es multipliquen i es divideixen els nombres enters?

    El producte o multiplicació el farem amb un “·” . De vegades us trobareu davant d’un parèntesis que no es posa res. Per exemple: 2(3 + 5) = 2 · 8 = 16 . Entre el 2 i el parèntesis no hi ha cap símbol i sabem que s’està multiplicant. Per la divisió s’utilitza “:”

Però recordem abans la regla dels signes:

Multiplicació Divisió
Regla Exemple Regla Exemple
(+) · (+) = + 3 · 5 = 15 (+) : (+) = + 20 : 5 = 4
(–) · (–) = + –3 · (–5) = 15 (–) : (–) = + –20 : (–5) = 4
(+) · (–) = – 3 · (–5) = –15 (+) : (–) = – 20 : (–5) = –4
(–) · (+) = – –3 · (5) = –15 (–) : (+) = – –20 : 5 = –4

Si no és necessari no cal posar els parèntesis en els nombres. Com tampoc és necessari posar el signe positiu “+” als nombres positius.

 Molts cops aquestes operacions apareixen barrejades. En aquest cas s’efectuen d’esquerra a dreta tenint en compte les regles que hem senyalat.

Exemple 6:

(–2) · (–5) · 4 : 2 · (–3) =

10 · 4 : 2 · (–3) =

40 : 2 (–3) =

20 · (–3) = –60

Exemple 7:

3 · (–4) · (–1) : (–2) · (–7) =

–12 · (–1) : (–2) · (–7) =

12 : (–2) · (–7) =

(–6) · (–7) = 42

 

5.- Operacions combinades:

  Normalment, les quatre operacions anteriors (suma, resta, multiplicació i divisió), apareixen combinades. Per no equivocar-te hauràs de seguir sempre el següent ordre de prioritat:

1. Claudàtor i parèntesis.

2. Multiplicacions i divisions.

3. Sumes i restes

    Recordeu que si pareixen potències i arrels quadrades abans de res haureu de convertir-les en nombres enters. Haureu de tenir en compte que tant les operacions de multiplicacions i divisions, com les de sumes i restes es realitzen sempre d’esquerra a dreta.

Exemple 8:

(–2) · (5 – 9) +6 · (3 – 5) =

(–2) · (–4) + 6 · (–2) =

8 + (–12) =

8 – 12 = –4

Exemple 9:

5 + 28 : (–7) – (–6) · [23 – 5·(9 – 4)]=

5 + 28 : (–7) – (–6) · [23 –5 · 5] =

5 + 28 : (–7) – (–6) · (–2) =

5 + (–4) – (12) = 5 – 4 – 12 = –11

    Si les operacions són una mica més llargues no passa res, recordeu que en les matemàtiques és pràctica i constància, obtindreu sense problema els resultats.

Exemple 10:

5 · (10 – 2 · 3) + [9 · 2 – 8 · 3 – (1 + 6 · 4 – 5) + 3 · 8] – 3 · (1 + 2) =

5 · (10 – 6) + [18 – 24 – (1 +24 – 5) + 24] –3 · 3 =

5 · 4 + [18 – 24 – 20 + 24] –3 · 3 =

20 + (–2) – 9 =

20 – 2 – 9 =

18 – 9 = 9

 

http://www.xtec.cat/~voliu/enters/