Tècniques per comptar: Combinatòria

De quantes formes es poden ordenar cinc llibres en una prestatgeria? quants nombres podem formar amb 3 dígits si cap d’ells es pot repetir?, quants grups diferents de 4 membres podem arribar a formar en una classe amb 32 estudiants?,…; només són una petita mostra de preguntes relacionades amb “recomptes” que podem resoldre emprant la combinatòria. Per tant, una part de la combinatòria inclou el “comptar” el nombre d’objectes que satisfan un determinat criteri.

NOMBRE FACTORIAL I NOMBRE COMBINATORI

Abans de poder resoldre exercicis amb combinatòria heu de tenir uns coneixements bàsics: El nombre factorial i el nombre combinatori.

Visiteu les següents pàgines d’internet per descobrir com es calcula un nombre factorial i un nombre combinatori i les seves propietats.

Per practicar ja podeu fer el primer exercici del fitxer Exercicis fórmules combinatòria que trobareu en el suro de la plataforma de l’escola i a més, podeu calcular els següents nombres combinatòris (aquest triangle el trobareu, també, en una pàgina del document “PDI Aprenem probabilitat” juntament amb una petita activitat :

números combinatorios

Aquests triangle infinit rep el nom de TRIANGLE DE TARTAGLIA 

ACTIVITAT 4

Ara que ja has calculat el Triangle de Tartaglia ja pots buscar informació (Autor i curiositats) a internet sobre el mateix i a continuació realitza les dues activitats següents individualment. A la plataforma de l’escola s’ha obert un pou on enviareu un document word amb les següents informacions:

Autor del Triangle de Tartaglia:

Quin personatge/s va ser el creador d’aquest triangle tant famós?

Per qué es diu Triangle de Tartaglia?:

Contesta  quin és el motiu pel qual aquest famós triangle té el nom de Tartaglia i no el cognom del seu autor

Curiositats del Triangle de Tartaglia:

Haurieu d’escriure quines curiositats heu trobat referents al famós triangle de Tartaglia. Podeu inserir una imatge que us ajudi en l’explicació.

BINOMI DE NEWTON

El Triangle de Tartaglia és molt útil per calcular els coeficients del Binomi de Newton En aquest enllaç trobareu la teoria, exemples i exercicis del binomi de Newton que fareu a la llibreta.

FÓRMULES DE COMBINATÒRIA

Ara cal que aprengueu a aplicar correctament les fómules de combinatòria:

Variacions ordinàries Vm,n

Variaciones

Variacions amb repetició VRm,n

Variaciones con repetición

Permutacions ordinàries

Permutaciones

Permutacions circulars

Permutaciones circulares

Permutacions amb repetició

Permutaciones con repetición

Combinacions ordinàries Cm,n

Cm,n=número condenatorio

Combinaciones con repetición CRm,n

Combinaciones con repetición

Exercicis per practicar:

– Exercicis 2 i 3 del fitxer “Exercicis fórmules combinatòria” que trobareu al suro de la plataforma de l’escola

_ Exercicis que trobareu en aquest enllaç

PROBLEMES DE COMBINATÒRIA 1

De qué us serveixen aquestes fórmules?

Per resoldre problemes, com el que s’havia plantejat a la pàgina anterior:  Quants equips de basquet diferents es poden formar amb els 23 alumnes de la classe?

Quan afrontem un problema de combinatòria,

1r – heu de fer una configuració i indicar “m elements agrupats de k en k”:

A  B C  D  E          E  A  D  B  C             A  B  B  B  E

23 elements agrupats de 5 en 5

2n – heu de fer dues configuracions més, una canviant l’ordre i l’altra intentant repetir els elements , aquestes us permetran respondre a les següents preguntes clau:

Importa l’ORDRE? No, ja que si canviem l’ordre de les persones escollides no canvia l’equip de basquet.

Intervenen TOTS els elements en totes les configuracions? No, ja que en cada configuració sols intervenen 5 alumnes.

Es poden REPETIR els elements en una configuració? No, ja que un alumne no pot està jugant per 2 o més persones.

3r – Si sabem respondre aquestes qüestions, i tenim clara la teoria, podrem saber si es tracta de variacions, permutacions o combinacions seguint l’esquema següent

Esquema probabilitat

Esquema probabilitat

Seguint l’esquema ens porta a combinacions ordinàries C23,5, apliquem la fórmula i ens dona 33649, pertant hi ha 33649 equips de basquet diferents.

El problema que s’havia plantejat a l’anterior pàgina ja està resolt, ara ja esteu preparats per resoldre qualsevol altre problema. Aquí en teniu alguns que us poden servir d’exemple:

1.- En quants d’aquells equips de basquet hi serà l’alumne F?          Solució: C22,4=7315

2.- Amb els 23 alumnes de la classe, de quantes maneres diferents es pot escollir Delegat, Sots-Delegat i Delegat de Pastoral?                       Solució: V23,3=10626

4.- De quantes maneres diferents es poden asseure en els 5 seients de la primera fila els alumnes A, B, C, D i E?     Solució: P5=120

5.- Amb les xifres 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7

          a) Quants números de 4 xifres es poden formar? Sol: VR7,4=2041

          b) Quants d’aquests números són més grans que 5000?                                                                                                Sol: 3.VR7,3=1029

          c) Quants números de 7 xifres diferents es poden formar?                                                                                               Sol: P7=5040

          d) Quants números de 7 xifres es poden formar?                                                                                                             Sol: VR7,7=823543

          e) Quants números d’aquests números de 7 xifres són capicues?                                                                                   Sol: VR7,4=2401

6.- Quantes paraules diferents (tinguin sentit o no) es poden formar amb totes les lletres de la paraula BOMBOLLA?                                                                                                                Sol: PR8(baix)i2,2,2(dalt) =5040

Ara cal que practiqueu:

Al suro de la plataforma de l’escola trobareu el fitxer d’exercicis  Problemes combinatòria amb un recull de problemes que haureu de fer a la llibreta.

PROBLEMES DE COMBINATÒRIA 2

Hi ha problemes que s’han de resoldre amb blocs, com per exemple:

Quantes matricules diferents es poden formar si una matricula està formada per tres lletres seguides de 4 números.

ABC1234

Bloc de les lletres:

26 elements agrupats de 3 en 3

Importa l’ORDRE?

Intervenen TOTS els elements en totes les configuracions? No

Es poden REPETIR els elements en una configuració?

Variacions amb repetició  VR26,3

Bloc dels números:

10 elements agrupats de 4 en 4

Importa l’ORDRE?

Intervenen TOTS els elements en totes les configuracions? No

Es poden REPETIR els elements en una configuració?

Variacions amb repetició  VR10,4

La solució és la MULTIPLICACIÓ dels dos resultats VR26,3 x VR10,4

Un altre exemple:

Es vol posar en una prestatgeria 5 llibres diferents de matemàtiques, 4 llibres diferents d’anglès i 3 llibres diferents de català. De quantes maneres diferents es poden posar si volem que els de la mateixa materia quedin junts?

VIGILA! – A més dels blocs de mates, d’anglès i de català hauràs de fer el bloc dels blocs

Més exercicis per practicar:

Al suro de la plataforma de l’escola trobareu el fitxer Problemes combinatòria 2 amb un recull de problemes que haureu de fer a la llibreta i el fitxer Recopilatori problemes combinatòria com a resum.

JA SABEU COMBINATÒRIA, ANEM A APLICAR-HO AL CÀLCUL DE PROBABILITATS.

 

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà Els camps necessaris estan marcats amb *