Autor: Arnau Pineda Pascual

Tota la motivació per a aquest treball i el motiu pel qual vaig escollir-ne el tema, és la pura curiositat, interès acadèmic, conèixer pel plaer de conèixer. La meva tutora em va proposar un munt de temes interessants de matemàtiques, i d’entre ells un que va cridarme molt l’atenció va ser el terme de geometries no euclidianes. Em va semblar fascinant que pogués haver-hi geometries amb lleis diferents que la geometria euclidiana, sobre el pla, la “de tota la vida”. Geometries que permetin per exemple, triangles que els seus angles interns sumin més o menys dels 180º que sumen els triangles euclidians, tot reinterpretant el concepte de recta i adaptant-lo a cada geometria. Tot un món alternatiu, a vegades titllat d’imaginari i tot, amb aplicacions sorprenentment reals i pràctiques. Les geometries no euclidianes es classifiquen en la geometria esfèrica i la hiperbòlica. En el meu treball parlo d’ambdues, però em centro i aprofundeixo en l’esfèrica

En lloc d’haver-me plantejat un problema i buscar després les eines i la base teòrica que necessitava per resoldre’l, jo ja tenia la base teòrica, les equacions de la trigonometria de la geometria esfèrica ja enteses i estudiades i havia de trobar una cas pràctic on aplicar-les. Aquest ha estat mesurar la distància entre dos cims, la Mola i el turó de l’Home, i comparar la distància obtinguda fent els càlculs seguint la geometria plana o la geometria esfèrica, per tal de veure si la curvatura de la Terra és apreciable o no a aquesta escala. A  més, vaig proposar-me mesurar la distància sense sortir de Sabadell i a l’antiga, usant un teodolit, eina que serveix per mesurar els angles entre dos punts observats. Per a dur-ho a terme, vaig necessitar resoldre el problema plantejat usant per una banda la trigonometria plana i per altra l’esfèrica, aprendre a utilitzar el teodolit i desenvolupar un codi per a realitzar els càlculs, així que vaig aprendre a programar en “Python”. Per últim, necessitava dos llocs de dins de Sabadell des dels que es veiés la Mola i el turó de l’Home i que es veiessin entre si. Van ser un terrat del carrer de Mauritània i la Torre de l’Aigua. La distància entre aquests dos punts la vaig prendre de Google Earth i, amb els angles que vaig mesurar allà, vaig calcular la distància entre els dos cims.

El resultat en pla va ser de 38,649857 km i en esfèric de 38,649409 km. La diferència és de tan sols 45 cm, un 0,0012% de la distància, ridícul, absurd, completament negligible. Per tant, es pot concloure que per aquestes distàncies, uns 40 km, la curvatura de la Terra és completament menyspreable. D’ altra banda, es poden comparar aquests resultats experimentals amb el resultat de prendre la distància fent servir Google Earth.
Aquest és de 37,808 km, per la qual cosa els resultats experimentals només en diferencien un 2,22%. Aquesta diferència és molt petita, tenint en compte tots els errors experimentals que podrien haver-se produït en la mesura i, per tant, es pot dir que vaig aconseguir calcular amb prou exactitud la distància entre els dos cims sense sortir de Sabadell. Finalment, vaig simular de forma teòrica alguns casos en què la distància fos més gran per poder veure com la curvatura de la Terra cada cop es feia més influent en el càlcul de distàncies. I efectivament, el percentatge de la diferència entre la distància cada cop es feia més gran.

Tutora: Maria Carme Boada Casanovas