Jocs matemàtics

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I si us agraden els jocs de paraules i la lògica, llegiu a continuació.

Paradoja, antilogía o endíadis

Expresión apotegmática o sentenciosa de un enunciado en forma contradictoria:

No me buscarías si no me hubieras encontrado… San Agustín.

Del tiempo huye lo que el tiempo alcanza… Lope de Vega

No sé qué tiene el aldea
donde vivo y donde muero
que con venir de mí mismo
no puedo venir más lejos…
Lope de Vega.

Yo me equivoqué una vez: cuando creí haberme equivocado. Un político antillano

Sor Juana Inés de la Cruz compuso con paradojas su famosa queja contra los hombres inconsecuentes que culpan a las mujeres de lo que ellos mismos causan:

Si con ansia sin igual
solicitáis su desdén,
¿por qué queréis que obren bien
si las incitáis al mal?
Combatís su resistencia
y luego, con gravedad,
decís que fue liviandad
lo que hizo la diligencia.
Parecer quiere el denuedo
de vuestro parecer loco
al niño que pone el coco
y luego le tiene miedo…
Sor Juana Inés de la Cruz

Es muchas veces irónica:

Todos somos iguales, pero unos más iguales que otros, George Orwell, Rebelión en la Granja

El señor don Juan de Robres,
con caridad sin igual,
hizo hacer este hospital;
y también hizo los pobres.
Tomás de Iriarte.

En otras ocasiones la paradoja denota los usos imaginativos del surrealismo, que expresa frustraciones mediante las paradojas que aparecen en los sueños:

Nació y no supo. Respondió, y no ha hablado… V. Aleixandre.

Es un recurso que revela una vívida imaginación cuando se funde con otros:

Nadar sabe mi llama l’agua fría

Aquí Quevedo personifica la llama, que metaforiza su amor, y alitera con la vocal más sonora, la a, mientras que contrasta con paradoja el calor de la vida y el frío de la muerte y utiliza la alusión al referirse implícitamente a la laguna Estigia y al destino de las almas que no han conseguido pasarla.

La paradoja puede pasar desde los límites microestilísticos a los macroestructurales; así, los frecuentes oxímoros de Borges pueden reflejarse en personajes contradictorios, como un preso-detective que resuelve los crímenes más complejos desde la cárcel donde está recluido acusado injustamente de asesinato (Seis problemas para don Isidro Parodi) o Chesterton idea toda una novela, El hombre que fue Jueves, sobre una conspiración anarquista en la cual todos los implicados son policías infiltrados, o Miguel de Unamuno crea otra en la que el protagonista, un cura, es el peor de los ateos y hace, sin embargo, tener fe a todo el pueblo donde habita (San Manuel Bueno, mártir), o bien, en otra de esas ficciones, hace triunfar a personas de las que todos saben su ineptitud e inmoralidad y, en cambio, concede el peor de los fracasos sociales a personas que son, por el contrario, auténticos ejemplos de eficiencia y civismo (Abel Sánchez) .

Según su verdad, existen varios tipos de paradojas:

  1. Afirmaciones que parecen falsas, aunque en realidad son verdaderas.

  1. Afirmaciones que parecen verdaderas, pero en realidad son falsas.

  1. Cadenas de razonamientos aparentemente correctas, pero que conducen a contradicciones lógicas (a éstas se les llama falacias).

  1. Declaraciones cuya veracidad o falsedad es indecidible.

· Paradojas estadísticas, como la de Hempel o la de Goodman.

La de Hempel es la siguiente: “Todos los cuervos son negros” es una verdad incontrastable, científica; pero si solamente se hubieran observado tres o cuatro cuervos negros, la ley estaría débilmente confirmada, lo contrario a si observamos millones de cuervos y todos son negros. Pero si existiese un cuervo blanco y no lo observáramos, no sabríamos que la ley es falsa. ¿Qué pasaría si observásemos una oruga amarilla?. ¿Podría servirnos para confirmar la ley que hemos enunciado? Enunciemos la ley de esta otra forma: “Todo objeto no negro no es cuervo” Es la misma ley antes enunciada, porque tenemos una doble negación. Al ver la oruga amarilla, vemos que es un objeto no negro, y que no es un cuervo, por tanto, queda confirmada la ley Todo objeto no negro no es cuervo y, a su vez, queda confirmada la ley “Todos los cuervos son negros”, por ser leyes equivalentes. Por cada objeto no negro que no sea cuervo que observemos confirmamos las leyes enunciadas. Por supuesto, estas confirmaciones son muy pequeñas, pues existen millones de objetos no negros que no son cuervos. Cuantos menos objetos hubiera, más se confirmaría la ley por cada objeto no negro que no sea cuervo. Sin embargo, siguiendo este razonamiento, se puede enunciar la ley Todos los cuervos son blancos, hallar la ley equivalente, Todo objeto no blanco no es cuervo, y encontrar confirmación de esta ley igual que con la otra. ¿Cómo es posible que los mismos objetos confirmen leyes opuestas?

La de Goodman es la siguiente: sabemos que ciertos objetos cambian de color en cierto momento. Por ejemplo, las manzanas pasan de color verde a color rojo, el pelo encanece con la edad, etc. Llamemos verzules a los objetos que cumplan que sean verdes hasta fin de siglo, y que a partir de ese momento pasen a ser azules. Consideremos ahora las siguientes dos leyes: Todas las esmeraldas son verdes. Todas las esmeraldas son verzules. ¿Cuál de estas dos leyes está más confirmada?. Aunque no lo parezca, ambas leyes están igualmente confirmadas. Toda observación que se haga de una esmeralda será un ejemplo que confirme cada ley, y nadie ha observado jamás un contraejemplo. Sin embargo, la primera ley se acepta, pero la segunda no.

· Paradojas geométricas

La del cazador y la ardilla. La ardilla está sobre un tocón, y el cazador a una cierta distancia del tocón. El cazador va rodeando el tocón, y mientras lo rodea, la ardilla va girando sobre sí misma sin perder de vista al cazador. Cuando el cazador haya dado una vuelta completa alrededor del tocón, ¿habrá dado una vuelta en torno a la ardilla?.

Cazador: Puesto que la ardilla está sobre el tocón, como he dado una vuelta alrededor del tocón, forzosamente habré dado una vuelta alrededor de la ardilla.

Ardilla: El cazador sólo me ha visto de frente. No me ha visto la espalda, por tanto, no ha dado una vuelta alrededor de mí.

¿Quién de los dos tiene razón?. A primera vista, ambos tienen razón, pero esto no puede ser, porque o bien el cazador da una vuelta alrededor de la ardilla, o bien no la da, pero no las dos cosas a la vez.

El problema radica en la definición de la palabra “rodear”. Según cómo se defina, así tendrá uno u otro razón. Otra paradoja parecida es la que surge al contemplar la Luna. Puesto que siempre vemos su cara, cuando la Luna da una vuelta alrededor de la Tierra, ¿habrá dado la Luna una vuelta sobre sí misma? Vista la Luna desde otro planeta distinto a la Tierra, se la vería dar una vuelta alrededor de su propio eje. Vista la Luna desde la Tierra, puesto que no la vemos por todas partes, sino sólo por una mitad, podemos decir que la Luna no da una vuelta sobre su eje cada vez que da una vuelta alrededor de la Tierra. Aquí está de nuevo envuelto el significado de una palabra, en este caso, “revolución”. Sin embargo, ésta ya no es una paradoja, porque por el péndulo de Foucault puesto en la Luna se puede constatar que sí da una vuelta alrededor de su eje.

· Paradojas lógicas

La paradoja del barbero o de Russell es conocidísima:
En una barbería hay un cartel que dice lo siguiente:

Yo afeito a quienes no se afeitan a sí mismos, y solamente a éstos.


La pregunta es: ¿quién afeita al barbero? Si el barbero se afeita él mismo, entonces forma parte de las personas que se afeitan a sí mismas, por lo que no podría afeitarse a sí mismo. Si no se afeita a sí mismo, entonces formaría parte de las personas que no se afeitan a sí mismas, por lo que debería afeitarse él mismo. Como se ve, el barbero no puede cumplir con lo que puso en el cartel. Bertrand Russell descubrió que no puede existir un conjunto que se contenga a sí mismo. Así, por ejemplo, el conjunto de todas las cosas que no sean manzanas no puede existir, porque el mismo conjunto no es una manzana, por lo que debería entrar dentro del conjunto de cosas que no son manzanas.
Esta paradoja tiene consecuencias muy profundas, tan profundas que dictaminan qué puede o no conocer la ciencia, qué puede o no conseguir la medicina, qué creencias nuestras son o no válidas, etc., e incluso algunas limitaciones de Dios, si existe.

La paradoja de clasificación consiste en lo siguiente:
Se toman a todas las personas del mundo, y se las clasifica en interesantes y no interesantes. En la lista de no interesantes debe estar la persona menos interesante del mundo. Sin embargo, este hecho ya la hace interesante, por lo que hay que pasarla a la lista de personas interesantes. Ahora, habrá otra persona que será la menos interesante del mundo, por lo que se repite el proceso. De esta forma, al final todas las personas pasan a la lista de personas interesantes, quedando la lista de personas no interesantes vacía. Por tanto, todas las personas del mundo son interesantes.

Esta es una divertida paradoja derivada de otra paradoja de Edwin F. Bechenbach, que demostraba que todo número entero positivo es interesante.

¿Que ocurriría si en vez de buscar a la persona menos interesante en la lista de no interesantes, buscásemos a la persona más interesante de la lista de interesantes?. Las listas quedarían como están. La paradoja se presenta cuando se busca en la lista de no interesantes. Se puede utilizar cualquier criterio, y la paradoja se presenta.
La paradoja del cocodrilo ya era conocida por los antiguos griegos.

Un cocodrilo atrapó al bebé de una madre.
Cocodrilo: ¿Voy a comerme a tu niño?. Si respondes correctamente, te lo devolveré ileso. Si no, me lo comeré.
Madre: Sí, te lo vas a comer.
Cocodrilo: Si te lo devuelvo, habrías respondido erróneamente, así que me lo comeré.
Madre: Pero si te lo comes, yo habría respondido correctamente, así que tienes que devolvérmelo.
El cocodrilo quedó tan confundido que dejó escapar al niño.

La paradoja del Quijote aparece en el capítulo LI del libro segundo del Quijote. Es similar a la paradoja del cocodrilo. El hecho ocurre en el puente hacia una isla. Hay un guardia al que cada visitante le preguntaba para qué va allí. Si el visitante respondía con verdad, el guardia le dejaba pasar y no había ningún tipo de problema. Sin embargo, si el visitante respondía con mentira, era ahorcado en el acto.

Un día llegó un visitante. Cuando el guardia le preguntó que para qué iba a la isla, el visitante le respondió:

He venido aquí para ser ahorcado


Los guardias quedaron confusos, pues no sabían qué debían hacer.

Como se ve, esta paradoja es similar a la del cocodrilo.

Si el visitante decía la verdad, debían dejarle pasar. Pero puesto que dijo la verdad, debía ser ahorcado, pues si no, habría mentido.

Si el visitante había mentido, debían ahorcarle. Como había mentido, no podía ser ahorcado, pues si no, habría dicho la verdad y debían dejarle pasar a la isla.

En la historia narrada se cuenta que los guardias consultaron al gobernador de la isla. Tras pensarlo, el gobernador concluyó que, hiciera lo que hiciera, quebrantaría la ley, así que decidió ser clemente y dejar en libertad al visitante.

La paradoja del mentiroso es, sin duda, una de las más famosas que se conocen. Se atribuye a Epiménides haber dicho la siguiente afirmación:

Todos los cretenses son mentirosos.


Sabiendo que el mismo Epiménides era cretense, ¿decía Epiménides la verdad? Una versión simplificada de esta paradoja es la siguiente:

Esta frase es falsa.


Se puede ver claramente que esta frase contiene la paradoja del mentiroso. La diferencia aquí es que esta frase se alude a sí misma directamente, mientras que Epiménides lo hace indirectamente. Si una persona oye decir su frase sin saber que Epiménides es cretense, no vería paradoja en su declaración. Sin embargo, al ver la frase, sí que la ve claramente.

La paradoja de la gallina y el huevo es muy popular:

¿Qué fue primero
La gallina o el huevo?

Esta es una paradoja de la naturaleza para la que todavía no existe respuesta y es del tipo de regresión infinita. Podemos ir atrás en el tiempo eternamente, pasando por la alternancia huevo-gallina-huevo-gallina-…, sin llegar a ninguna respuesta. Otro ejemplo de regresión infinita es el de dos espejos colocados uno enfrente del otro. Se observa un sinfín de reflejos. La paradoja consiste en determinar cuál de los dos espejos produce el último reflejo.

· Paradojas numéricas. Por ejemplo, la del testamento, que es muy antigua:

Un hombre poseía 11 camellos, y dejó un curioso testamento, que decía que a su hijo mayor le daba la mitad de los camellos, a su hijo mediano le daba la cuarta parte, y al hijo menor la sexta parte. Cuando el hombre murió, los hijos quisieron repartir los camellos tal y como decía el testamento, pero vieron que no podían.

Mientras los hijos estaban pensando en cómo repartir los camellos, pasó por allí un sabio montado en su camello, al cual pidieron ayuda. El sabio juntó su camello con los 11 de los hijos.

Sabio: Bien, decidme cuántos camellos hay ahora.
Hijos: Hay doce camellos.
Sabio: Bien, la mitad de ellos, es decir, seis, serán para el hijo mayor. La cuarta parte de ellos, tres, para el hijo mediano. La sexta parte de ellos, dos, para el pequeño. He repartido en total los doce camellos, y sobra uno, el mío. El testamento se ha cumplido.

Los tres hijos quedaron conformes con el reparto, y el sabio se fue con su camello. En realidad el testamento no se ha cumplido al 100%, pues el hijo mayor tiene 6 camellos de 11, es decir, 6/11, que es algo más que 1/2. El mediano tiene 4 camellos de 11, es decir, 3/11, algo mayor que 1/4. Y el pequeño tiene 2 camellos de 11, es decir, 2/11, algo mayor que 1/6. Como se ve, el 1/12 sobrante se lo han repartido entre todos.

Otra numérica es la las seis sillas. Seis personas reservan una mesa en un restaurante. En el último momento se une una séptima persona al grupo. Cuando llegan al restaurante, el acomodador se encuentra con que tiene que acomodar a siete personas en lugar de a seis, y no tiene más sillas libres. El acomodador razona:

Acomodador: Vaya, tengo que acomodar a siete personas en seis sillas. ¿Cómo lo voy a hacer?. Bueno, lo que haré será sentar al primero en la primera silla y le diré al segundo que se siente unos momentos sobre el primero. Sentaré al tercero al lado de los otros dos, y al cuarto al lado del tercero. Al quinto lo sentaré en la siguiente silla, y al sexto en la siguiente silla. Tengo así acomodados a seis clientes, y me sobra una silla, así que le diré al que está sentado sobre el primero que ocupe la sexta, y ya los tengo acomodados a todos.

Esta divertida paradoja es muy sutil. ¿Dónde falla el razonamiento? En el momento en que sobra una silla, falta por acomodar a la séptima persona, que está esperando de pie, y no es la que está sentada sobre la primera persona. El fallo es contar a la persona que está sentada sobre la primera como la séptima persona, cuando en realidad es la segunda. Esta paradoja es una variante de otra más antigua, en la que una mujer es capaz de dar habitación individual a 21 personas con tan sólo 20 habitaciones.

· Paradojas probabilísticas

La paradoja del ascensor o de Gamow-Stern es contraria a la intuición.

En un edificio hay un ascensor. Suponemos que los tiempos medios de parada del ascensor en cada planta son iguales. Un señor que vive en una de las últimas plantas está muy molesto porque la mayoría de las veces que toma el ascensor está subiendo, cuando él quiere bajar. Algo parecido le ocurre a otro vecino que vive en una de las primeras plantas del edificio. Este vecino normalmente quiere subir, pero casi todas las veces que toma el ascensor está bajando.

¿Cómo es posible que la mayor parte de los ascensores esté subiendo y a la vez bajando?. La explicación se encuentra en que, para el vecino que vive arriba, sólo bajarán los ascensores que provengan de pisos superiores, y subirán los que provengan de pisos inferiores. Como hay menos pisos por encima del suyo que por debajo, hay menos probabilidad de que los ascensores bajen.

Lo mismo ocurre con el vecino que vive abajo, pero al revés. Sólo subirán los ascensores que estén por debajo de su piso, y bajarán los que estén por encima de su piso. Como hay menos pisos debajo del suyo que encima, habrá más posibilidades de que los ascensores bajen.

· Paradojas temporales

Son conocidísimas las del escéptico Zenón. La primera de ellas consiste en un corredor, que razona de la siguiente manera:

Corredor: Para llegar a la meta, tendré que pasar por el punto medio. Una vez que sobrepase este punto medio, tendré que pasar por el punto 3/4, que es el punto medio de la distancia restante. Antes de recorrer la cuarta parte final, tendré que pasar por otro punto medio del trayecto restante, y luego la otra mitad del restante, y así sucesivamente. Estos puntos medios no acaban nunca, no podré alcanzar la meta.

El fallo de este razonamiento es identificar tiempo y espacio: el corredor piensa que en cada tramo empleará el mismo tiempo, cuando en realidad, para recorrer la mitad de un tramo, empleará la mitad de tiempo. Una variante más famosa de esta paradoja es también de Zenón: la de Aquiles y la tortuga. Aquiles quería alcanzar a una tortuga que distaba un kilómetro de él. Cuando Aquiles llega al punto que dista un kilómetro, se encuentra con que la tortuga ha avanzado 10 metros más. Cuando ha avanzado estos 10 metros, la tortuga ha avanzado un poco más, y así sucesivamente. La tortuga razonaba: “Aquiles nunca podrá alcanzarme, porque cuando llegue donde yo estaba, habré avanzado un poco más”.

De la web:

http://retorica.librodenotas.com/Recursos-estilisticos-semanticos/paradoja-antilogia-o-endiadis

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