des 18 2008
R.DESCARTES. La Geometria / Introducció, traducció i notes de J. Pla i Carrera, P. Viader i Canals
L’any 1999 es va publicar aquesta obra del francès René Descartes traduïda al català. El llibre està dividit en quatre parts comptant una extensa bibliografia i dos índexs del llibre: un d’onomàstic i un altre d’analític. La primera part serveix com a introducció i és l’espai on els autors fan una magnífica introducció a aquesta referència dins de la història de la matemàtica. La Geometria és un dels tres assaigs del Discurs del Mètode, obra que en la seva totalitat va aparèixer en 1637 a Leiden (Holanda). Descartes volia mostra que el seu mètode era totalment nou i el va aplicar a la geometria i també a l’òptica i l’astronomia. Segons ens explica el seu primer biògraf Adrien Baillet, la nit del 10 de novembre de 1619, a Descartes “li fou revelada la clau màgica que li obria l’accés al tresor de la naturalesa i que el col·locava en situació de posseir els vertaders fonaments de totes les ciències“. Amb aquesta obra, Descartes “crea” la geometria algebraica reduint tots els problemes geomètrics a equacions polinòmiques. Així, el llibre I es titula “Dels problemes que es poden construir fent ús exclusiu de les circumferències i de les línies rectes” i en ell, comença donant les regles per multiplicar, dividir i extraure l’arrel quadrada de segments donats usant únicament regle i compàs. Ell mateix ens avisa que “sovint no cal dibuixar aquestes línies sobre el paper. És suficient designar-les mitjançant lletres, una lletra per cada línia. Així per tal d’addicionar la línia BD a GH, anomeno a una d’elles i b, a l’altra, i escric a + b. Escriuré a – b per indicar que he sostret b de a. I ab, per indicar la multiplicació de l’una per l’altra. Posaré a/b [usant la notació habitual per les fraccions] per tal de dividir. I aa, o a2 per indicar que he multiplicat a per ella mateixa…“. Amb aquesta premisa, el plantejament dels problemes de tot el llibre serà el següent: “si volem, doncs, resoldre un problema qualsevol, caldrà d’antuvi suposar-lo ja resolt i aleshores donar nom a totes les línies que ens semblin necessàries per a la seva construcció, tant les que són desconegudes com les altres. Aleshores, sense fer cap mena de distinció entre les línies conegudes i les que no, cal recórrer la dificultat d’acord amb l’ordre que ens mostri de la forma més natural possible les relacions que hi ha entre elles, fins a aconseguir expressar una mateixa quantitat de dues maneres: això és el que s’anomena equació, atès que els temes d’una de les expressions són iguals als de l’altra“. Si l’equació que obté és de 2n grau, diu que es pot resoldre amb regle i compàs i d’aquesta manera, resol l’equació general de segon grau mitjançant la construcció d’un triangle rectangle i una circumferència. 
També resol el problema d’Apol·loni de les tres i quatre rectes. Aquest problema consisteix en, donades les rectes AB, AD, EF, GH… en posició (i.e. coneixem la seva posició relativa), hem de determinar els punts C tals que si tirem rectes CB, CD, CF, CH… formant angles donats amb les anteriors, es compleixi la relaió CB · CD = k · CF · CH amb k constant. Descartes resol el problema fent servir l’àlgebra bàsica i arriba a la conclusió que el lloc geomètric dels punts C és una cònica.
El llibre II porta el títol “De la naturalesa de les línies corbes” i és l’espai on Descartes fa geometria algebraica pròpiament dita. S’ha de tenir en compte que els grecs tenien tres tipus de problemes: els plans (regle i compàs), els sòlids (còniques) i els linelas (on s’havia d’usar una corba arbitrària). Descartes inventa un compàs per generar corbes i es dedica a investigar quin tipus de corbes pot obtenir: el resultat són les corbes x4n = a2 (x2 + y2)2n-1 per n > 0. Un cop resolt, classifica les corbes segons el gènere (i no el grau!): 1r gènere per les corbes de 1r i 2n grau, 2n gènere per les de 3r i 4t, 3r gènere per les de 5è i 6è… Després d’explica un altre compàs generador, Descartes diu que el seu mètode pot resoldre el problema de les cinc rectes d’Apol·loni que els grecs no sabien resoldre. Tanmateix, només resol el cas de quatre paral·leles equidistants i una perpendicular. Una altra de les innovacions del francès és la de plantejar-se trobar l’angle entre dues corbes. Descartes busca la recta normal a una el·lipse i introdueix el mètode dels coeficients indeterminats per resoldre el problema.
Finalment, en el llibre III, sota el títol “De la construcció de problemes sòlids i més que sòlids“, Descartes desenvolupa la seva àlgebra i l’escriu igual que ho faríem actualment nosaltres: x, y… per les incògnites i a, b… per les constants. També desenvolupa la coneguda com regla dels signes de Descartes on pot determinar el nombre d’arrels positives i el de negatives tan sols analitzant el nombre de canvis de signe dels coeficients d’un polinomis. També dóna la regla de Ruffini i resol gràficament la cúbica, la quàrtica, la quíntica i la sèxtica.
La segona part d’aquesta edició catalana és la traducció íntegra del text amb més de tres-centes notes explicatives que fan que el text esdevingui una font d’informació molt interessant tant des del punt de vista històric, com des del punt de vista matemàtic.
FITXA TÈCNICA:
NIVELL: Batxillerat. Nº PÀGINES: 169. ISBN: 84-7283-453-0
EDITORIAL: Institut d’Estudis Catalans/Eumo Editorial/Editorial Pòrtic
René Descartes va néixer el 31 de març de 1596 a la localitat bretona de La Haye. El seu pare Joachim Descartes era conseller del parlament de la Bretanya a Rennes i René és el tercer fill del seu matrimoni amb Jeanne Brochard. Quan tenia un any, la seva mare va morir i va passar a ser educat per la seva àvia i per una dida que no podrà oblidar en la resta de la seva vida. Cap als onze anys, entra al col·legi de La Flèche on viu dins de l’activitat pròpia d’una institució educativa: se sap, per exemple, que en 1611 els descobriments de Galileu Galilei hi van ser molt celebrats amb el que el podem situar assebentat dels avenços científics del seu temps. Hi va estar fins el 1614, un any abans d’entrar als estudis de dret de la universitat de Poitiers (es llicencia un any més tard). En 1618 es traslladà a Breda on es va allistar als exèrcits protestants de Maurice de Nassau que estaven en guerra contra el catolicisme dels reis espanyols. En aquesta etapa holandesa es produeix el seu trobament amb el científic i filosòf Isaac Beeckman (1588-1637). Beeckman s’havia graduat en medicina a Caen el mateix any 1618 éssent alumne del matemàtic flamenc Simon Stevin (1548/9-1620). Únicament com a apunt, s’ha de dir que Beeckman va desenvolupar la teoria atomista oposant-se als ensenyaments d’Aristòtil i teoremes com el de la inercia o el de la freqüència de la corda vibrant. Descartes tenia per aquell moment 22 anys i estava a punt de viure la gran revelació: la nit del 10 de novembre de 1619 té els tres somnis que són la seva iniciació a una nova ciència i que donaran lloc al seu futur Discurs del Mètode. En 1622 va tornar a França i concretament a París on comença a fer estudis en òptica, camp on cinc anys més tard serà capaç d’enunciar la llei de Snell. Tanmateix, el seu desig de conèixer Galileu el porten a viatjar a Itàlia en 1623 aprofitant un possible promès pelegrinatge a Loreto. Val a dir que no el troba però a la seva tornada en 1624 se situa el seu possible contacte amb Marín Mersenne (1588-1648). L’interès del pare mínim Mersenne l’havia anat convertint en el nucli fonamental de la ciència europea del moment. Es cartejava amb les grans ments contemporànies i fins i tot organitzava trobades on els diferents científics i filòsofs es dedicaven a opinar i compartir els seus descobriments. La vida de Descartes viu alts i baixos i arriba a batre’s en dol per una dama fins que en 1629 comença la seva etapa holandesa que durarà vint anys En els primers anys a Holanda, va escriure un perdut Tractat de la metafísica, l’obra titulada El món i el Tractat de la llum i de l’home. També resol el problema de Pappus de les tres i quatre rectes el qual serà la base de la seva Geometria. Tal i com passarà amb molts dels grans científics d’aquesta etapa històrica, la seva gran activitat intel·lectual es va veure frenada per la condemna de la Inquisició a Galileu (1633) i va decidir no publicar res per si de cas. L’obra més damnificada per aquesta decisió va ser el Discurs del Mètode i els seus tres apèndixos: la Diòptrica, els Meteors i la Geometria. El 8 de juny de 1637 es van imprimir a Leiden aquests tres apèndixos en francès però de forma anònima i de seguida van tenir un gran èxit: set anys més tard va aparèixer la traducció llatina. Va ser un home de caràcter difícil que el va enfrontar amb els grans matemàtics Pierre de Fermat i Gilles Personne de Roberval i que el van portar a salvar les aparences al reconèixer la filla Francine que va tenir amb la seva minyona com a una neboda. Francine va morir en 1640, el mateix any de la mort del seu pare i de la publicació de les seves Meditacions metafísiques, obra que va ahaver de defensar sempre i que va fer que fos condemnat per heretge des de la universitat d’Utrecht. En 1649, Descartes va acceptar la invitació de la reina Cristina de Suècia per establir-se a Estocolm i redactar un projecte d’estatuts de l’Acadèmia Sueca. A començaments de febrer de 1650 va contraure una pulmonia que va acabar amb la seva vida el dia 11. O no? Johann van Mullen, el metge de la cort que el va atendre en els seus últims dies va escriure “com vostè ja sap, uns mesos enrera, Descartes va arribar a Suècia per a retre homentage a Sa Majestat la Reina [...]. Justament ara, abans de la quarta hora de l’alba, aquest home va expirar… La reina va voler veure aquesta carta abans d’enviar-la i va voler saber què vaig escriure als meus amics sobre la mort de Descartes. Em va ordenar estríctament que la meva carta caigués en mans d’estranys“. A més, el metge va redactar els símptomes dels seus últims dies ”durant els primers dos dies, la seva son va ser profunda i no va menjar, ni va beure ni va prendre cap medicament. El tercer i quart dia estava agitat i no va dormir seguint sense menjar ni medicar-se. Em van cridar al cinquè dia però nop va voler ser tractat. Com els senyals de la seva mort eren evidents, vaig acceptar mantenir-me gustosament allunyat del moribund. Al passar el cinquè i sisè dies, es va queixar de mareig i febre interna. Al vuitè dia, de singlot i de vòmits negres. Després va tenir respiració inestable i la mirada extraviada presagiant la mort. Al novè dia, tot estava perdut. Al matí del desè dia, la seva ànima va tornar a Déu“. Els símptomes són més propis d’un enverinament amb arsènic que els d’una pulmonia però, qui sap. Descartes era un estranger a la cort sueca i va despertar moltes enveges que potser van acabar amb la seva vida. En 1667, les seves despulles mutilades es van traslladar a París i en 1819 es va enterrar el seu cos a l’església de Saint-Germain-des-Prés de París. Només el seu cap se’n va quedar fora i actualment es pot contemplar al Museu de l’Home de la capital francesa.
Respecte del pintor: Frans Hals (1580/5-1666) va néixer a Antwerpen i pertany a l’escola barroca flamenca. De jove va treballar al costat del mestre Karel van Mander (1548-1606) fins que en 1610 va entrar en ontacte amb el gremi d’artistes de Haarlem, ciutat on actualment es pot visitar el Museu Frans Hals (
L’altre dia, per casualitat, vaig trobar un exemplar del llibre “Opúsculos sobre el moimiento de la Tierra” publicat per Alianza Editorial en 1983. En ell hi podem llegir fragments de tres obres que tenen una gran importància dins de la història de la ciència i, concretament, dins de la història de l’astronomia: el Commentariolus de Copèrnic, una Perfecta descripció de les esferes celests [...] de Digges i les Consideracions sobre l’opinió copernicana de Galileu. Aquí ara anem a dedicar-nos al Commentariolus. Abans de publicar el De Revolutionibus (1543) que canviaria la història, Copèrnic no estava massa segur de l’acollida que tindrien les noves idees geocèntriques i va decidir escriure aquest petit opuscle que va fer circular entre els seus amics. L’obra va tenir molt d’impacte: mentre des de Roma, se li va demanar que enviés una còpia per poder conèixer el nou sistema del món, en 1539 Martin Luter criticava les noves idees i al seu autor. Per a fer-nos una idea del que va escriure Copèrnic, anem aquí a reproduir una petita part:
Tal dia com avui, un 14 de novembre de 1716, va morir el gran Gottfried W. Leibnitz. Aquest gran matemàtic alemany va néixer a Leipzig en 1646 en l’àmbit d’una família prou acomodada: el pare era professor de filosofia de la moral i la mare era filla d’un notable advocat la qual va ser criada en uns estrictes valors morals. Aquest tipus d’educació religiosa va ser heretada per Leibnitz a partir dels sis anys, edat en la qual va quedar orfe de pare. Un any més tard va entrar a l’escola Nicolai de Leipzig i el desig de poder llegir els llibres de son pare va fer que fos un alumne avançat que als dotze anys ja era capaç de llegir perfectament en llatí i grec. Un cop la biblioteca de son pare va ser accessible va començar a llegir Aristòtil i a no estar-hi d’acord amb el que va començar a desenvolupar les seves pròpies idees filosòfiques. La seva dotació intel·lectual el van fer ingressar a la universitat a l’edat de 14 anys per aprendre matemàtiques, hebreu, llatí, grec i filosofia i en 1663 va presentar la tesi De principio individui (Sobre el principi de la persona) amb la que es va llicenciar en filosofia i lletres. Les idees de Leibnitz estaven d’acord amb l’ús del raonament matemàtic per demostrar qualsevol dissertació lògica i aquest va ser el camí que més li va interessar. Va seguir estudiant els doctorats de filosofia i la llicenciatura de dret però les seves idees es van plasmar en 1666 en la Dissertatio de Arte Combinatoria (Debat sobre l’art combinatòria) on va reduir qualsevol raonament a la combinació de nombres, sons, colors i lletres. Un any més tard va doctorar-se en dret a la universitat d’Altdorf on posteriorment va rebutjar la càtedra per dedicar-se a diversos projectes científics, jurídics i filosòfics. Les seves preocupacions científiques van portar els seus estudis cap a l’estudi del moviment dels cossos i en 1671 va publicar la Hypothesis Physica Nova (Les noves hipòtesis físiques) on va teoritzar sobre la dependència entre el moviment i l’ànima.
Blaise Pascal va néixer a la localitat francesa de Clermont-Ferrand el 19 de juny de 1623. Quan només tenia 3 anys va quedar orfe de mare i va quedar al càrrec únicamen del seu pare Étienne Pascal. Étienne era jutge de la cort de Montferrand i estava considerat com un dels personatges més influents de la societat de l’Auvernia i li va procurar al seu fill una bona educació. Després de morir la seva muller, Étienne va traslladar la seva família a París. Blaise va sobresortir de seguida en l’estudi i passió per les matemàtiques (possiblement heretada del seu propi pare) i malgrat la prohibició contundent de dedicar-s’hi va seguir dedicant-s’hi d’amagat. Potser és estrany veure com un enamorat de les matemàtiques com era Étienne prohibís al seu fill l’estudi d’aquesta ciència però el jutge volia que Blaise se centrés en el llatí, el grec i la literatura i deixés les passions per un altre moment. Tanmateix, Étienne va descobrir el seu fill de dotze anys fent una demostració independent sobre que la suma dels tres angles d’un triangle és 180º i això va fer que aixequés aquesta prohibició. A més a més, es va passar del blanc al negre de cop i volta: Étienne era asidu del cercle científic de Marín Mersenne i va començar a portar a Blaise a les lectures que allí s’hi feien en companyia dels grans matemàtics francesos del moment com Girard Desargues i Gilles Personne de Roberval. Aquest nou “hàbitat” li va ser molt propici i amb 16 anys va ser capaç d’escriure l’Essai pour les coniques la qual va agradar molt i que per llàstima hem perdut una gran part. El nomenament del seu pare com a recaptador d’impostos va fer que Blaise ideés una “calculadora” mecànica capaç de fer operacions senzilles (la Pascalina) i aquí no va quedar el seu talent matemàtic. Estem davant del pare de les probabilitats i la llàstima és que Pierre de Fermat no hi estigués interessat i el seu debat sobre aquesta “nova ciència” quedés reduït a un parell o tres de cartes.
Acabo en aquest post amb la traducció del capítol II, on Euler dóna les definicions de nombres positius, negaitus i, en general, de nombres enters:
305è ANIVERSARI DE LA MORT DE JOHN WALLIS
